平面上直线的位置关系和度量关系.docx

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平面上直线的位置关系和度量关系

平面上直线的位置关系和度量关系

【本讲教育信息】

一.教学内容：

暑假专题——平面上直线的位置关系和度量关系

二.教学目的：

1.通过专题复习，梳理这一章的有关内容，综合运用本章知识解决一些问题。

2.正确识别线段、角、平行、垂直等有关概念。

准确理解并掌握几何图形的性质。

3.并能准确画出平面几何图形，解决平面几何图形问题的推理计算。

三、教学重点、难点：

重点：

线段、角、平行、垂直等有关概念、几何图形的性质与判定。

难点：

平面几何图形的画图、平面几何图形问题的推理计算。

四、本周教学的知识要点：

1.直线、射线、线段的联系和区别

联系：

射线、线段是直线的一部分，把射线反向延长，而线段向两方延长，就得到一条直线。

区别：

直线没严密的定义，只能说明像一根拉紧无限长的线，可用两个大写字母或一个小写字母表示，无始无终，没有端点，向两方向延伸，并且两点确定一条直线。

射线是直线上一点和它一旁的部分，可用两个大写字母表示，顶点字母写在前面，也可用小写字母表示，有一端点，可向一方向延伸，线段是直线上两点和它们之间的部分。

可用两大写字母表示，或一个小写字母表示，有两个端点，不可延伸，并且两点之间，线段最短。

2.角的定义：

①有公共端点的两条射线组成的图形。

②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置组成的图形。

3.线段的比较、角的比较：

方法一：

度量法

线段的度量工具是刻度尺。

角的度量工具是量角器。

方法二：

叠合法。

4.线段与角的换算：

5.线段的中点：

它是把一条线段分成两条相等的线段的点。

6.角的平分线是把一个角分成两个相等的角，并且以这个角的顶点为端点的一条射线。

7.角的分类：

特殊角：

周角、平角、直角、0°角

关系角：

数量关系的角：

互为余角、互为补角

位置关系的角：

对顶角、同位角、内错角、同旁内角

数、位关系角：

邻补角

范围角：

钝角、锐角

8.角的性质：

①互余的两个角和为90°

②互补的两个角和为180°

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等

9.点与直线的位置关系

①点在直线上

②点在直线外

10.平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。

11.平行线的几个结论：

①平行公理及推论：

公理：

过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

推论：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

②平行线的性质与判定：

两直线平行

12.垂直的概念、结论

①两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中每一条直线叫另一条的垂线，交点叫垂足。

②在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

③在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条。

④在平面内通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。

⑤垂线段最短。

⑥两平行线的所有公垂线段都相等。

⑦两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短。

【典型例题】

例1.（几何图形中的角的简单计算）

如图，AB//CD，P为AB、CD之间的一点，若∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC。

分析：

要求∠BPC的大小，先要联想它与已知的∠1、∠2可建立什么联系，及由AB//CD得到什么结论，可尝试过P点引AB的平行线（在∠BPC内部或外部）也可以延长CP交AB于一点E。

此题只要想到辅助线的作法一点都不难了。

解：

方法一：

过P作PL//AB，如图

则∠1=∠3

又∵AB//CD

∴PL//CD

∴∠2=∠4

又∵∠1=32°，∠2=25°

∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=32°+25°=57°

方法二：

延长CP交AB于E

∵AB//CD

∴∠5=∠2

∵∠2=25°，∴∠5=25°，又∵∠1=32°

∴∠BPC=∠1+∠5=32°+25°=57°

说明：

此方法二里涉及三角形一外角等于不相邻两内角的和，还可尝试过C点作PB的平行线。

例2.（线段长度的计算）已知AB=11cm，C为AB上一点，M、N分别是AC、CB的中点，求MN的长。

分析：

这道题要根据已知准确地画图，理解中点的含义，观察MN与已知线段的联系。

解：

根据已知画出草图如下：

∵M、N分别为AC、CB的中点

答：

MN的长为5.5cm。

例3.如图A、B、C、D在一条直线上，那么图中共有多少条线段？

n个点在一条直线上，图中共多少条线段？

分析：

这是一道根据线段的定义按照一定的顺序归纳线段的条数，可按从左到右的顺序去数线段的条数，分别以A、C、D为端点，做到不重复不遗漏。

譬如，AB与BA是同一条线段，不能重复。

解：

如图中以A为端点，从左往右数有线段AC、AD、AB共3条

以C为端点，从左往右有CD、CB共2条

以D为端点，只有DB1条

所以A、B、C、D在同一直线上，共有3+2+1=6条线段

如果图中有n个点在一条直线上，方法一样。

对于左边起第一个点它与后面（n-1）点构成（n-1）条线段

对于左边起第二个点，可构成（n-1-1）=（n-2）条

……

对于右边起第二个点，可构成1条

所以n个点在一条直线上，图中有

例4.（角的换算）

①把18.18°化成度、分、秒的形式。

②把59°31’30’’化成度的形式。

③当钟表的时间为12点30分钟时，时针与分针构成多少度的角？

④一个角∠α的余角是∠β的补角的

，且∠α：

∠β＝2：

3，求∠α与∠β的度数。

分析：

①把度化成度、分、秒形式，要用度的小数乘以60，化成分，再以分的小数部分乘以60化成秒，秒的小数部分四舍五入。

记住以大化小要乘60。

②把度、分、秒化为度的形式，以小化大要除以60，或3600，

每小格对应6°。

④根据∠α、∠β的关系列出方程组来解，用代数的方法解决几何问题。

解：

①

∴18.18°＝18度10分48秒

③12点30分钟时针位于钟表上12与1的中间位置，分针位于6的位置。

它们之间有5格半的差距，∴它们所构成的角=5.5×30°=165°

答：

时间为12点30分钟时，时针与分针构成165°的角。

④根据已知得

答：

∠α为60°，∠β为90°。

例5.如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证，BD//CE。

分析：

这道题要利用分类讨论和转化的方法，通过分类转化，在证明或计算过程中，使大家在对各类图形及性质、判定有了深刻的认识，通过已知结合所学的概念、公理、定理一步一步转化出结论，此题要证明BD//CE可想办法证得∠D=∠CEF或∠D+∠CED=180°，

因此只需证得∠C=∠CEF或∠C+∠CED=180°，

这要先证得AC//DF，这里只用一种情况来证明，余下由同学自己证。

证明：

∵∠A=∠F（已知）

∴AC//DF（内错角相等，两直线平行）

∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）

又∵∠C=∠D（已知）

∴∠D=∠CEF（等量代换）

∴BD//CE（同位角相等，两直线平行）

例6.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED//BC，求证：

∠1=∠2。

分析：

这道题要用到化归和比较的方法，解题时要把生避的问题化归为简单的熟悉的几何知识，从而轻易解决。

同时通过比较的方法找到一个中间量，从而更熟悉各类几何知识。

此题可以找一个中间角∠3与∠1、∠2加以比较。

证明：

∵BD⊥AC，FG⊥AC（已知）

∴BD//FG（同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）

又∵ED//BC（已知）

∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）

∴∠1=∠2（等量代换）

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一、填空

1.∠A与∠B互为邻补角，∠A=124°，∠B=________。

2.如图，OA⊥OB，∠1：

∠2=2：

1，则∠1=________，∠2=________。

3.如一个角两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角的关系为________。

4.小明沿南偏东60°方向到某地，然后又沿路返回，其返回方向为________。

5.如图所示，∠1=∠2=100°，∠5=65°，则∠3=________，∠4=________。

6.如图所示，∠1=∠2，再添条件________，可使AB//CD。

7.如图，AD//BC，BD、AC交于O，且OC=2OA，△AOB的面积为

，则△BDC的面积=________。

8.①5.18°=________度________分________秒。

②9°30’12’’=________度。

③3点钟时，时针与分针所构成的角=________。

9.AB=16cm，点C为AB中点，点D为CB中点，则AC=________，AD=________。

二、解答与证明：

1.如图所示，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过O点，∠DOF=36°，求∠AOE的度数。

2.如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的关系，并说明理由。

3.如图，M为AC上一点，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D，那么BM与DM的位置关系怎样？

说明理由。

【试题答案】

一、填空

1.56°

2.60°30°

3.互补或相等

4.北偏西60°

5.35°，65°

6.∠EBD=∠FDN或∠MBE=∠MDF或∠EBD+∠BDF=180°

7.

8.①51048②约9.503③90°

9.8cm12cm

二、解答与证明：

1.解：

又

2.解：

可判断

理由如下：

（对顶角相等）

（已知）

（等量代换）

（同旁内角互补，两直线平行）

（两直线平行，同旁内角互补）

又

（已知）

（等量代换）

∴DE//BC（同旁内角互补、两直线平行）

∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）

3.解：

BM⊥DM

理由如下：

过M作ML//AB

又

又

第3章平面上直线的位置关系和度量关系

第1课时

教学课题：

3.1.1直线、射线和线段

教学目标：

1、认识直线、射线和线段。

2、能正确区分直线、射线和线段；掌握它们的联系和区别。

3、掌握点与直线的两种位置关系及直线的基本性质。

教学重点：

1、直线、射线、线段的概念2、直线的性质3、点与直线的位置关系

教学难点：

点与直线的位置关系、直线的性质

教学过程：

一、启发谈话，引出线，认识直线。

在我们日常生活中经常可以看到各种各样的线，如电线、电话线、电视天线、广播线、电话机的话绳、跳绳的绳子，写字的时候铅笔尖移动会画出各种各样的线。

小结：

这些线有的是直的，有的是弯曲的。

１、两团毛线中间是一条曲线，能不能把它变成一条直线呢？

（把线拉紧,就成一条直线）

2、假设线球的线是无限长的，这样就形成一条直线。

小结：

今天我们一起来讨论一下它的性质及有关知识。

直线可以向两端无限延长，那么它有没有端点？

板书：

没有端点

直线没有首尾无法度量，我们就说直线是无限长的。

二、认识线段和射线。

在黑板上画一条直线,这是一条直线，在直线上加上两个点,一点A一点B，指出：

直线上两点之间的一段叫线段。

（1）观察线段，它有几个端点？

两个端点

（2）小结：

它有头有尾，所以它的长度是有限的。

小结：

我们可以用直尺度量出它的长度。

（3）如果我们把线段的一端端点去掉，这一端就可怎样？

这样我们就得到一种新的线，这种只有一个端点的线叫做射线。

（4）仔细观察射线并和线段进行比较后思考：

<1>射线有几个端点？

<2>它的长度是不是固定的？

<3>能否用直尺度量出它的长度？

（5）在日常生活中我们经常可以看到一些直线、射线、线段，谁来举一些例子？

小结：

刚才我们和大家一起认识了直线、线段和射线。

打开课本38页仔细阅读课文，并准备回答以下几个思考题。

<1>直线有什么特点？

<2>什么叫线段？

<3>射线有什么特点？

<4>线段、射线和直线有什么关系？

（6）同学们不仅认识了直线、射线和线段，了解了它们之间的联系和区别。

在黑板上画出不同的线，要求学生说出哪些是直线？

哪些是线段和射线？

（7）线段、射线、直线的表示方法

三、点与直线的位置关系

（1）画出点与直线的两种位置关系，引导学生观察它们的特点

（2）自己画出点与直线的两种位置关系

（3）师生共同举出一些生活上的点与直线的位置关系的例子

四、直线的基本性质

（1）经过一点画直线

（2）经过两点画直线

（3）经过三点画直线，经过n个点呢？

（4）归纳：

经过两点有一条并且只有一条直线。

五、巩固

通过刚才的学习，我们不仅认识了直线、线段和射线及直线的特点，下面老师考考大家，看你是否真掌握。

1、判断：

<1>一条直线长12CM。

（）

<2>直线比射线长。

（）

<3>线段是直线的一部分。

（）

<4>两个端点之间可连成一条直线。

（）

2、下面图形有几条线段？

哪条线段最长？

哪条线段最短？

<1>学生自由数线段各抒己见。

<2>教给学生数线段的方法。

方法一：

以线段的端点为顺序，从左向右观察以A为左端点的线段有几条？

AB、AC、AD一共有三条。

以B为左端点的线段有几条？

BC、BD一共有两条。

以C为左端点的线段有几条？

CD一条。

一共有几条线段？

哪条线段最长？

哪条线段最短？

方法二：

以基本线段的条数为顺序基本线段有AB、BC、CD三条。

线段上有一个分点的线段有AC、BD共两条。

线段上有两个分点的线段有AD一条。

一共有几条线段？

3＋2＋1＝6（条）

<3>小结：

数线段的方法有多种，同学们应灵活运用。

<4>发展：

同学们你们有没有发现有两条基本线段的图形就有（2＋1）条线段；有三条基本线段的图形就有（3＋2＋1）条线段；那么有四条、五条基本线段的图形又有几条线段呢？

课后好好动动脑筋想一想。

3、练习P40

六、总结：

这堂课你了解了哪些知识？

七、作业：

完成基础训练册的有关内容

第2课时

教学课题：

3.1.2线段长短的比较

教学目标：

1、掌握比较线段长短的方法，会比较线段的长短。

2、会作一条线段等于已知线段的几倍；会作两条线段的和与差。

3、掌握线段中点的概念。

4、会度量线段的长度；会画指定长度的线段。

培养学生动手能力以及良好的空间观念。

教学重点：

1、比较线段长短的方法2、按要求画出线段

教学难点：

按要求画出线段

教学过程：

一、复习

1、线段的概念，学生动手画出

（1）直线AB。

（2）射线OA。

（3）线段CD。

2、提出问题：

能否量出直线、射线、线段的长度？

二、讲解P40动脑筋

1、怎样比较两个学生的身高？

得出为什么要站在一起，脚底要在一个平面上？

2、怎样比较两座大山的高低？

只要量出它们的高度。

3、通过实例，引导学生发现线段大小的比较方法

教师设计以下过程由学生完成。

由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法：

重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置。

教师为学生演示，步骤有三：

（1）将线段AB的端点A与CD的端点C重合。

（2）线段AB沿着线段CD的方向落下。

（3）若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记作AB=CD。

若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB

若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB>CD.

　CDCDCD

└─────┘　└─────┴─┘　　└─────┴──┘

ABABAB

数量比较法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.可以用推理的写法,培养学生的推理能力。

写法如下：

因为量得AB=5cm，CD=5cm，所以AB=CD（或ABCD），

三、度量线段的长度

1、这里有一条线段，要知道它的长度，该怎么测量？

教师讲解：

把线段的一个端点A对准直尺0刻度线，读出另一个端点B所对直尺的刻度就是线段的长度。

2、同学们已经会度量线段的长度，现在老师要同学们画一条3.5CM长的线段,会不会画？

你准备怎样画？

（相互讨论一下后交流汇报）

（1）、定点<定位置>画线段

（2）、找点（板书）

（3）、连线

3、在练习本上画一条4.5CM长的线段，巩固画线段的方法。

4、提出数与形的问题：

线段是一个几何图形，而线段的长度可用一个正数表示。

这就是数与形的结合。

5、线段的两种度量方法：

（1）直接用刻度尺。

（2）圆规和刻度尺结合使用。

（教师可让学生自己寻找这两种方法）

四、线段的性质

1、阅读P41的动脑筋

2、归纳线段的性质：

连续两点的所有连线中，线段最短。

画图说明。

3、两点的距离：

连结两点的线段的长度。

4、线段的中点：

如果B在线段AC上，并且AB＝BC，那么B点叫作线段AC的中点。

5、画一条线段，找出它的中点

五、讲解P42的例1和例2

例1已知线段a,作一条线段使它等于2a。

（启发引导学生画出图形，并写出作法）

例2已知线段a，b（a>b），1、作一条线段使它等于a－b。

2、作一条线段使它等于　a＋b。

（启发引导学生分析，画出图形，并写出作法）

六、练习及小结

1、P42的练习

补充练习：

（1）如图，根据图形填空。

ABCD

┕━━┷━━━━┷━━┛

　　　　AD=AB+______+_____,　AC=_____+_____，CD=AD—_____。

（2）如图，已知线段AB，量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点。

A　B　ABA　　B

2、小结本节课内容

七、作业：

P43，A组3题

　　　　　　　　　　　第3课时

课题：

3.2.1角与角的大小比较

教学目标：

1、理解角及角的有关概念，巩固平角及周角的认识。

2、学会比较角的大小，能估计一个角的大小，在操作活动中认识角平分线，能画出一个角的平分线。

3、能用符号语言叙述角的大小关系，解决实际问题，能通过角的测量、折叠等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段。

教学重点：

角的大小的比较方法

教学难点：

对角的有关概念的理解，比较角的大小的方法。

课前准备：

三角板

教学过程

一、引入：

小明家新买了一台电冰箱，包装箱上标明：

将冰箱向后倾斜可推动冰箱，但倾斜角不能走过30度。

什么叫角？

什么叫角的度数呢？

二、观察P44的图形

1、讲解角的概念：

一条射线绕着它的端点旋转到另一位置时所成的图形叫角。

画图示意

2、角的有关概念

角的顶点、角的始边、角的终边、角的边、角的内部

3、平角、周角

当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫平角。

当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫周角。

画图示意

4、角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边位置时旋转量的大小决定。

5、角的表示方法

∠BAC　∠A　∠1　　等

6、角也可以看成是具有公共端点的两条射线组成的图形。

7、说一说我们生活中的角

三、比较角的大小

1、画出P46的几个图形，说明角的大小的不同情况

2、P47做一做，折出一个角的平分线

以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

3、学生画一个角，然后再画出它的平分线　　　　　　D

四、练习及小结　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C

1、练习P46的练习1－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B

2、补充练习

（1）根据图形填空：

　　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　A

①∠DOB=∠DOC+_______②∠DOC=∠DOA-_____=∠DOA-_____

③∠DOB+∠AOB-∠AOC=______

（2）写出图形中的所有的角。

3、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

（学生回答）

五、作业

P50　A组　2题

补充：

从一个顶点A引出五条射线，AB、AC、AD、AE、AP，写出所有的角，并说明最大的角。

第4课时

课题：

3.2.2角的度量

教学目标：

1、会用量角器测量角的大小，理解1度的角的概念，掌握周角、平角、直角的大小及它们之间的关系。

2、理解余角及补角的概念，并掌握求一个角的余角和补角的方法。

3、掌握角的大小的计算。

教学重点：

测量角的大小，角的大小的计算

教学难点：

对余角及补角的概念的理解，角的大小的计算方法。

教学过程：

一、P48的第一个做一做

1、画出P47的图3－26中的各个角，并用量角器测量它们的大小。

2、1度的角的大小的确定

3、角的换算单位：

1°＝60′＝3600″　　1″＝1/60′=1/3600°

4、直角、平角、周角、锐角、钝角的概念

二、P48的第二个做一做

1、测量P48的两个图形的角的大小，并求出它们的和与差。

2、从两个图形的角的大小的计算，可以发现∠1＋∠2＝180度，∠3＋∠4＝90度

3、互为余角和互为补角的概念

两角之和等于180度，这样的两个角叫做互为补角。

两角之和等于90度，这样的两个角叫做互为余角。

4、互为余角及互为补角的性质

同角或等角的余角相等；同角的或等角的初角相等。

三、讲解P49的例题

例　如图，已知∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的角平分线，∠AOB＝29.66°，求∠COD的度数。

按P49的例题写出解答

四、巩固

1、练习P49　1－3题　

2、小结讲课内容

五、作业

P50的第1题　每3题

第5课时

课题：

3.3.1平行、相交、重合

教学目标：

1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；

2．理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容；

3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；

教学重点：

平行线的概念与平行公理

教学难点：

对平行公理及直线平行关系的传递性的理解。

教学过程：

一、复习提问

1、经过一点可以画几条直线？

经过两点呢？

经过三点呢？

2、线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？

二、讲授新内容

1、观察P51的图形

说出这些直线的不同的位置关系？

相交、重合、不相交也不重合（平行）

平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合。

归纳得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念。

关键：

有没有公共点

2、平行线概念：

在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。

3、直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。

4、用三角板画平行线AB∥CD。

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：

一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）。

　　5、P52的注意内容。

6、说一说：

生活中的平行线的实例。

7、