美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析.docx
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美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析
美国数学竞赛AMC8--2010年真题解析（英文解析+中文解析）
Problem1
Answer:
C
Solution:
GiventhatthesearetheonlymathteachersatEuclidMiddleSchoolandwearetoldhowmanyfromeachclassaretakingtheAMC8,wesimplyaddthethreenumberstofindthetotal.11+8+9=28.
中文解析:
参加竞赛的学生总人数是：
11+8+9=28.答案是C。
Problem2
Answer:
D
Solution:
Substitutea=5,b=10intotheexpressionfora@btoget:
5@10=（5*10）/（5+10）=50/15=10/3.
中文解析：
（5*10）/（5+10）=50/15=10/3.答案是D。
Problem3
Answer:
C
Solution:
ThehighestpricewasinMonth1,whichwas$17.ThelowestpricewasinMonth3,whichwas$10.17is17/10=170%of10,andis170-100=70%morethan10.Therefore,theansweris70.
中文解析：
最高价是1月，17美元。
最低价格是3月10美元。
最高价比最低价多：
（17-10）/10=70%。
答案是C。
Problem4
Answer:
C
Solution:
Puttingthenumbersinnumericalorderwegetthelist0,0,1,2,3,3,3,4Themodeis3,Themedianis（2+3）/2=2.5.Theaverageis2.isThesumofallthreeis3+2.5+2=7.5.
中文解析：
这组数按照从小到大的顺序排列是：
0，0，1，2，3，3，3，4.中位数Median是2.5；mode是3，mean是16/8=2.因此mean,median,mode的和是:
2.5+3+2=7.5.答案是C。
Problem5
Answer:
B
Solution:
Converteverythingtothesameunit.Theceilingis240centimetersabovethefloor.ThecombinedheightofAliceandthelightbulbwhenshereachesforitis10+150+46=206centimeters.Thatmeansthestool'sheightneedstobe240-206=34.
中文解析：
房高240cm.灯离天花板10cm,Alice身高150cm,手臂能伸高46cm.因此还需要：
240-10-150-46=34cm.答案是B。
Problem6
Answer:
E
Solution:
Anequilateraltrianglehas3linesofsymmetry.Anon-squarerhombushas2linesofsymmetry.Anon-squarerectanglehas2linesofsymmetry.Anisoscelestrapezoidhas1lineofsymmetry.Asquarehas4linesofsymmetry.Therefore,theanswerisE.
中文解析：
选项A的对称线有3条；选项B,菱形的对称线有2条；选项C长方形的对称线有2条；选项D等腰三角形的对称线有1条。
选项E正方形的对称线有4条。
答案是E。
Problem7
Answer:
B
Solution:
Youneed2dimes,1nickel,and4penniesforthefirst25cents.From26centsto50cents,youonlyneedtoadd1quarter.From51centsto75cents,youalsoonlyneedtoadd1quarter.Thesamefor76centsto99cents.Thus,thecorrectansweris3quarters+2dimes+1nickel+4pennies.
中文解析：
25分以内的任意钱数，可以使用2个1角,1个5分，4个1分来组成。
从26分到50分，只需要在此基础上增加1个25分的硬币即可。
增加到75分，需要再增加一个25分硬币；增加到1元，需要再增加一个25分。
因此若想表示小于1元的钱数，可以使用3个25分，2个1角，1个1分，4个1分硬币。
共需要10个硬币。
答案是B。
Problem8
Answer:
D
Solution:
Becausetheyarebothmovinginthesamedirection,EmilyisridingrelativetoEmerson12-8=4mph.NowwecanlookatitasifEmersonisnotmovingatall[onhisskateboard]andEmilyisridingat4mph.Ittakesher（1/2）/4=1/8hourtoridethe1/2miletoreachhim,andthenthesameamountoftimetobe1/2mileaheadofhim.Thistotalsto1/8+1/8=1/4hour=15minutes.
中文解析：
两人是相同的方向，一个速度是12，一个速度是8，其相对速度是4，因此我们可以认为Emily的速度是4，Emerson不动。
当Emerson在Emily前面1/2mile的距离时，Emily需要（1/2）/4=1/8小时才能到达Emerson处。
然后Emily超过了Emerson，当两人的距离还在1/2mile内时，Emily能看到Emerson。
这个1/2英里，同样需要Emily1/8小时。
因此从Emerson在Emily的前方1/2英里，到Emily超出Emerson1/2英里，共需要1/8+1/8小时，即15分钟。
答案是D。
Problem9
Answer:
D
Solution:
Ryananswered0.8*25=20problemscorrectonthefirsttest,0.9*40=36onthesecond,and0.7*10=7onthethird.Thisamountstoatotalof20+36+7=63problemscorrect.Thetotalnumberofproblemsis25+40+10=75.Therefore,thepercentageis63/75=84%.
中文解析：
25题对80%，即20题；40题对90%，即36题；10题对70%，即7道。
总共答对了20+36+7=63题，总题目数是：
25+40+10=75题。
正确率是：
84%。
答案是D。
Problem10
Answer:
B
Solution:
Thepepperonicircles'diameteris2,since12/6=2.Fromthatweseethattheareaofthe24circlesofpepperoniis24*Pi*1*1=24Pi.Thelargepizza'sareaisPi*6*6.Therefore,theratiois24Pi/36Pi=2/3.
中文解析：
大圆的直径是12，因此小圆的直径是2.半径是1，小圆的面积是Pi.24个小圆的面积是24Pi。
大圆的半径是6，大圆的面积是36Pi。
因此题目所求的比值是：
24Pi/36Pi=2/3.答案是B。
Problem11
Answer:
B
Solution:
Lettheheightofthetallertreebehandlettheheightofthesmallertreebeh-16.Sincetheratioofthesmallertreetothelargertreeis3/4,wehave（h-16）:
h=3:
4;.Solvingforhgivesusk64.
中文解析：
假设这两棵树的高度分别是3x和4x.则较高的树比较低的树高x.题目告知高16英尺，因此x=16.较高的那棵树的高度是4*16=64英尺。
答案是B。
Problem12
Answer:
D
Solution:
Since80percentofthe500ballsarered,thereare400redballs.Therefore,theremustbe100blueballs.Forthe100blueballstobe25%or1/4ofthebag,theremustbe400ballsinthebagso100redballsmustberemoved.Theansweris100.
中文解析：
原来有500*80%=400颗红色的球。
假设拿走x颗红球后，剩余的小球是500-x个。
其中有75%的红球，即（500-x）*75%颗红色的球。
从另一个角度，原来400颗红色的球，拿走x颗红色后，剩余红色的球是：
400-x.因此我们得到等式：
（500-x）*75%=400-x.求得x=100.拿走的红球数是100个。
答案是D。
Problem13
Answer:
E
Solution:
Letn,n+1,n+2bethelengthsofthesidesofthetriangle.Thentheperimeterofthetriangleisn+n+1+n+2=3n+3.Usingthefactthatthelengthofthesmallestsideis30%oftheperimeter,itfollowsthat:
n=0.3*（3n+3）=>n=9.Thelongestsideisthenn+2=11.
中文解析：
假设三条边长分别是n,n+1,n+2.则其周长是3n+3.最对的边是周长的30%。
即n=（3n+3）*30%.求得：
n=9.最长的边是n+2,即11.答案是E。
Problem14
Answer:
C
Solution:
First,wemustfindtheprimefactorizationof2010.2010=2*3*5*67.Weaddthefactorsuptoget77.
中文解析：
2010的质因数序列是：
2*3*5*67.其质因数的和是77.答案是C。
Problem15
Answer:
C
Solution:
Wedo100-30-20-15-10tofindthepercentofgumdropsthataregreen.Wefindthat25%ofthegumdropsaregreen.Thatmeansthereare120gumdrops.Ifwereplacehalfofthebluegumdropswithbrowngumdrops,then15%ofthejar'sgumdropsarebrown.35%*120=42.
中文解析：
30%是蓝色，20%是棕色，15%是红色，10%是黄色，剩下25%（1-30%-20%-15%-10%）是绿色。
绿色是30个，因此总数是30/25%=120个。
蓝色有120*30%=36个，棕色有120*20%=24个。
把一半的蓝色换成棕色，则棕色是：
24+18=42个。
答案是C。
Problem16
Answer:
B
Solution:
Letthesidelengthofthesquarebes,andlettheradiusofthecircleber.Thuswehaves*s=Pi*r*r.Dividingeachsidebyr*r,wegets*s/r*r=Pi.So,s/r=sqrt（Pi）.
中文解析：
假设正方形的边长是s，圆形的半径是r.正方形的面积是s*s，圆形的面积是Pi*r*r.其面积相等，我们得到：
s*s=Pi*r*r.因此（s*s）/（r*r）=Pi.s/r=sqrt（Pi）.答案是B。
Problem17
Answer:
D
Solution:
Weseethathalftheareaoftheoctagonis5.Weseethatthetriangleareais5-1=4.Thatmeansthat5*h/2=4=>h=8/5.QY=8/5-1=3/5.Thus,XQ=2/5.Theansweris2/3.
中文解析：
整个图形的面积是：
10*1=10.PQ把图形分成了上下面积相等的两部分，下半部分的面积是5.小正方形YABC的面积是1，因此三角形PQA的面积应该是5-1=4.三角形PQA的底是5，因此高是：
4*2/5=1.6.qizhongAY=1,因此QY=1.6-1=0.6.由于XY=1，其中QY=0.6，因此XQ=0.4.则XQ/QY=0.4/0.6=2/3.答案是D。
Problem18
Answer:
C
Solution:
AD:
AB=3:
2,AB=30,so,AD=45.
WecalculatethecombinedareaofsemicirclebyputtingtogethersemicircleABandCDtogetacirclewithradius15.Thus,theareais225Pi.Theareaoftherectangleis30*45=1350.Wecalculatetheratio:
1350:
225Pi=6:
PI
中文解析：
AD：
AB=3:
2，AB=30，因此AD=（30/2）*3=45.AB是半圆的直径，因此圆的半径是15.两个半圆的面积合起来就是一个圆的面积，一个圆的面积是：
Pi*15*15=225Pi.长方形ABCD的面积是：
45*30.因此题目所求的比值是：
（45*30）:
（225*Pi）,即6:
Pi.答案是C。
Problem19
Answer:
C
Solution:
SincetriangleACDisisosceles,CBbisectsAD.ThusAB=BD=8.FromthePythagoreanTheorem,CB=6.Thustheareabetweenthetwocirclesis100Pi-36Pi=64Pi.
中文解析：
大圆的半径是AC，长度是10，大圆的面积是：
Pi*10*10.在直角三角形ABC中，AC=10，AB=16/2=8，根据勾股定理，可得CB=6.因此小圆的半径是6，小圆的面积是Pi*6*6.两个圆之间的面积是：
100Pi-36Pi=64Pi.答案是C。
Problem20
Answer:
A
Solution:
Letxbethenumberofpeoplewearingbothahatandaglove.Sincethenumberofpeoplewearingahatoraglovemustbewholenumbers,thenumberofpeopleintheroommustbeamultipleofLCM（4,5）=20.Thus,thereare20*2/5=8peoplewearinggloves,20*3/4=15peoplewearinghat.8+15-x=20=>x=3.
中文解析：
戴手套，戴帽子的人数都必须是整数，因此球5和4的最小公倍数，是20.至少戴手套的是20*（2/5）=8人，戴帽子的是20*（3/4）=15人。
在房间总人数是20人的前提下，戴手套的有8人，戴帽子的有15人，则既戴帽子又戴手套的有：
8+15-20=3人。
答案是A。
Problem21
Answer:
C
Solution:
Letxbethenumberofpagesinthebook.Afterthefirstday,Huihad4x/5-12pageslefttoread.Afterthesecond,shehad3/4*（4x/5-12）-15=3x/5-24left.Afterthethird,shehad2/3*（3x/5-24）-18=2x/5-34left.Thisisequivalentto62.2x/5-34=62thusx=240.
中文解析：
假设这本书有n页，第四天只剩下62页，62+18=80，80页是第三天没读书之前的页数的2/3，则第三天没读书之前，有120页。
120+15=135，135页是第二天没读书之前的页数的3/4，则第二天没读书之前有180页。
180+12=192，192页是第一天没读书之前的页数的4/5，则第一天没读书之前的页数是215页。
即这本书原本有240页。
答案是C。
Problem22
Answer:
E
Solution:
Theresultmustholdforanythree-digitnumberwithhundredsdigitbeing2morethantheunitsdigit.301issuchanumber.Evaluating,weget301-103=198.Thus,theunitsdigitinthefinalresultis8.
中文解析：
假设这个3位数的个位数是n,则百位数是n+2,这个三位数反转后，个位数是n+2.原数-新数，其个位数是n-（n+2）=-2，不够减，从十位数借位，结果个位数应该是8.答案是E。
或者我们假设这个三位数是321.反转后是123.321-123的个位数是8.
Problem23
Answer:
B
Solution:
BythePythagoreanTheorem,theradiusofthelargercircleturnsouttobesqrt（1*1+1*1）=sqrt
（2）.Therefore,theareaofthelargercircleis2Pi.Usingthecoordinateplanegiven,wefindthattheradiusofeachofthetwosemicirclestobe1.So,theareaofthetwosemicirclesisPi*1.Finally,theratioofthecombinedareasofthetwosemicirclestotheareaofcircleOis1/2.
中文解析：
由上图可知，半圆POQ的半径是1，在直角三角形QTO中，OT是半径也是1，TQ=1，根据勾股定理，QO是根号2.即大圆的半径是根号2.两个半径为1的半圆的面积合起来是Pi。
大圆的面积是：
2Pi。
题目所求的面积的比值是Pi:
2Pi=1/2.答案是B。
Problem24
Answer:
A
Solution:
Sincealloftheexponentsaremultiplesoffour,wecansimplifytheproblembytakingthefourthrootofeachnumber.Evaluatingweget10^2=100,5^3=125,2^6=64.Since64<100<125.itfollowsthat2^24<10^8<5^12.
中文解析：
10^8=（10^2）4.（10的8次方等于10的2次方，然后再4次方）.5^12=（5^3）^4.（5的12次方等于5的三次方，再4次方）。
2^24=（2^6）^4.（2的24次方等于2的6次方，然后再4次方）。
这样我们只需比较10^2，5^3,2^6的大小。
10的2次方是100，5的3次方是125，2的6次方是64.大小顺序是64<100<125,即2^6<10^2<5^3,所以2^24<10^8<5^12.答案是A。
Problem25
Answer:
E
Solution:
Userecursiveapproach.Thenumberofwaystoclimbonestairis1.Thereare2waystoclimbtwostairs:
1,1or2.For3stairs,thereare4ways:
（1,1,1）,（1,2）,（2,1）,（3）.Forfourstairs,theycouldhavehoppedstraightfromthe1st,doneadoublefrom#2,orusedasinglestepfrom#3.Thewaystogettoeachofthesestepsare1+2+4=7waystogett
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