高一数学必修四三角函数公式推导.docx
《高一数学必修四三角函数公式推导.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修四三角函数公式推导.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高一数学必修四三角函数公式推导
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以
a=2R*sinA
b=2R*sinB
c=2R*sinC
加起来a+b+c=2R*（sinA+sinB+sinC）带入
（a+b+c）/（sinA+sinB+sinC）=2R*（sinA+sinB+sinC）/（sinA+sinB+sinC）=2R
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
倍角公式
Sin2A=2SinA?
CosA
对数的性质及推导
用^表示乘方，用log（a）（b）表示以a为底，b的对数
*表示乘号，/表示除号
定义式：
若a^n=b（a>0且a≠1）
则n=log（a）（b）
基本性质：
1.a^（log（a）（b））=b
2.log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;
3.log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;
4.log（a）（M^n）=nlog（a）（M）
推导
1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得（把定义式中的[n=log（a）（b）]带入a^n=b）
2.
MN=M*N
由基本性质1（换掉M和N）
a^[log（a）（MN）]=a^[log（a）（M）]*a^[log（a）（N）]
由指数的性质
a^[log（a）（MN）]=a^{[log（a）（M）]+[log（a）（N）]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1（换掉M和N）
a^[log（a）（M/N）]=a^[log（a）（M）]/a^[log（a）（N）]
由指数的性质
a^[log（a）（M/N）]=a^{[log（a）（M）]-[log（a）（N）]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1（换掉M）
a^[log（a）（M^n）]={a^[log（a）（M）]}^n
由指数的性质
a^[log（a）（M^n）]=a^{[log（a）（M）]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log（a）（M^n）=nlog（a）（M）
其他性质：
性质一：
换底公式
log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）
推导如下
N=a^[log（a）（N）]
a=b^[log（b）（a）]
综合两式可得
N={b^[log（b）（a）]}^[log（a）（N）]=b^{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}
又因为N=b^[log（b）（N）]
所以
b^[log（b）（N）]=b^{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}
所以
log（b）（N）=[log（a）（N）]*[log（b）（a）]{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）
性质二：
（不知道什么名字）
log（a^n）（b^m）=m/n*[log（a）（b）]
推导如下
由换底公式[lnx是log（e）（x）,e称作自然对数的底]
log（a^n）（b^m）=ln（a^n）/ln（b^n）
由基本性质4可得
log（a^n）（b^m）=[n*ln（a）]/[m*ln（b）]=（m/n）*{[ln（a）]/[ln（b）]}
再由换底公式
log（a^n）（b^m）=m/n*[log（a）（b）]
--------------------------------------------（性质及推导完）
公式三:
log（a）（b）=1/log（b）（a）
证明如下:
由换底公式log（a）（b）=log（b）（b）/log（b）（a）----取以b为底的对数,log（b）（b）=1
=1/log（b）（a）
还可变形得:
log（a）（b）*log（b）（a）=1
平方关系：
sin^2（α）+cos^2（α）=1
tan^2（α）+1=sec^2（α）
cot^2（α）+1=csc^2（α）
·商的关系：
tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
一般的最常用公式有:
Sin（A+B）=SinA*CosB+SinB*CosA
Sin（A-B）=SinA*CosB-SinB*CosA
Cos（A+B）=CosA*CosB-SinA*SinB
Cos（A-B）=CosA*CosB+SinA*SinB
Tan（A+B）=（TanA+TanB）/（1-TanA*TanB）
Tan（A-B）=（TanA-TanB）/（1+TanA*TanB）
平方关系：
sin^2（α）+cos^2（α）=1
tan^2（α）+1=sec^2（α）
cot^2（α）+1=csc^2（α）
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中
sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）
cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）
·倍角公式：
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]
·三倍角公式：
sin（3α）=3sinα-4sin^3（α）
cos（3α）=4cos^3（α）-3cosα
·半角公式：
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
·降幂公式
sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=vercos（2α）/2
tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
·万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
·其他：
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及
sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：
sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）
cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2
tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！
＋z^2/2！
＋z^3/3！
＋z^4/4！
＋…＋z^n/n！
＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3None
cotaNone√31√3/30
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）
c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式（幂级数展开法）:
f（x）=f（a）+f'（a）/1!
*（x-a）+f''（a）/2!
*（x-a）2+...f（n）（a）/n!
*（x-a）n+...
实用幂级数：
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+...+xn/n!
+...
ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<1）
sinx=x-x3/3!
+x5/5!
-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+...（-∞ cosx=1-x2/2!
+x4/4!
-...（-1）k*x2k/（2k）!
+...（-∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<1）
arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<1）
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）
sinhx=x+x3/3!
+x5/5!
+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+...（-∞ coshx=1+x2/2!
+x4/4!
+...（-1）k*x2k/（2k）!
+...（-∞ arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<1）
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<1）
--------------------------------------------------------------------------------
傅立叶级数（三角级数）
f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）
a0=1/π∫（π..-π）（f（x））dx
an=1/π∫（π..-π）（f（x）cosnx）dx
bn=1/π∫（π..-π）（f（x）sinnx）dx
注意：
正切也可以表示为“Tg”如：
TanA=TgA
Sin2a=2SinaCosa
Cos2a=Cosa^2-Sina^2
=1-2Sina^2
=2Cosa^2-1
Tan2a=2Tana/1-Tana^2
升级会员 