空间向量1教师.docx

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空间向量1教师

第三章　空间向量与立体几何

3．1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减法

【考点同步解读】

1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.

2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.

考点1：

空间向量基本概念及理解

例1:

给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

其中假命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

正解：

模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．

C

正解依据：

（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：

空间向量加减法及运算律

例2

．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用、、表示向量，则＝________．

正解：

解析　＝＋＋

＝＋＋（＋）

＝＋＋（－＋）

＝＋＋.

正解依据：

（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

考点3：

对数函数的性质

例4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．

正解：

解　连结CG并延长交AB于D，

则D为AB中点，且CG＝2GD，

∴＋＋

＝＋＋＋＋＋

＝3＋＋＋

＝3＋2＋

＝3－＋＝3.

∴λ＝3.

正解依据：

（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；

（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.

【易错题纠正案】（不少于3道例题）

例1下列说法正确的是（　A　）．

A．向量

与

的长度相等

B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

例2在空间四边形ABCD中，2

＋

＋

－

＋

＝__________．

答案：

0　

例3已知空间四边形

，连结

，设

分别是

的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）

；

（2）

；（3）

．

正解：

解：

如图，

（1）

；

（2）

；

（3）

．

【高考试题链接】

例1（2011·上海高考理科·T17）设

是平面上给定的5个不同点，则使

成立的点

的个数为（）

（A）0.

（B）1.（C）5.

（D）10

.

正解：

在平面中我们知道“三角形ABC的重心

G满足：

”则此题就能很快的答出，点M即为这5个点的重心，即点M只有一个点。

【双基夯实训练】

一、选择题（答案直接附在题后）

1．下列说法中正确的是（　B　）．

A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有＋＝

2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有（　C　）．

A．0个B．3个C．7个D．9个

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的共有（　D　）

（1）（＋）＋

（2）（＋）＋

（3）（＋）＋

（4）（＋）＋.

A．1个　　B．2个　　

C．3个　　D．4个

4．已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋＝（　A　）

A．4B．3

C．2D.

5．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c,点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于（B　　）

A.a－b＋c

B．－a＋b＋c

C.a＋b－c

D.a＋b－c

6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于（　D　）

A.＋＋B.＋＋

C.＋＋D.＋＋

二、填空题（答案直接附在题后）

7．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：

①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是_　②_______．

8．设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.

[答案]　

9．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________．

答案　0

10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋－的化简结果为________．

[答案]　2

三、解答题（答案直接附在题后）

11

．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

（1）单位向量共有多少个？

（2）试写出模为的所有向量；

（3）试写出与相等的所有向量；

（4）试写出的相反向量．

解　

（1）由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．

（2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有、、、、、、、，共8个．

（3）与向量相等的所有向量（除它自身之外）共有、及，共3个．

（4）向量的相反向量为、、、，共4个．

12．在四面体ABCD中，E、F分别为棱AC、BD的中点，求证：

＋＋＋＝4.

[证明]　左＝（＋）＋（＋）

＝2＋2＝2（＋）＝4＝右．得证．

13．A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝4试求MN的长．

[解析]　连AM并延长与BC相交于E，又连AN并延长与CD相交于F，则E、F分别是BC和CD之中点，

由＝－

＝－

＝（－）＝

＝（－）＝（－）

＝（－）＝

∴||＝||＝.

14．如图所示，在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，试用a，b，c表示向量.

[解析]　∵E为AD的中点，根据向量的平行四边形法则．得＝（＋），

同理，可得＝（＋），

＝＋＋

＝a＋b＋c.

15．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x、y、z的值．

[解析]　在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连结MF，则＝＋

而＝－＝－

＝＝（－），＝＝＝－.

∴＝－－＋，

∴x＝－　y＝－　z＝.

第三章　空间向量与立体几何

3．1空间向量及其运算

3.1.2空间向量的数乘运算

【考点同步解读】

1．理解空间向量数乘运算的含义及运算律，并能进行向量数乘运算.

2．掌握向量的共线与共面定理,能够运用定理证明线线,线面,面面之间的平行关系.

考点1：

考点2：

空间向量共线,共面定理

例1有下列命题：

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；

②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.

③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；

④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.

其中真命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

正解：

解析　其中①③为正确命题．

答案　B

正解依据：

（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：

空间向量的数乘向量的含义及运算

例2已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝，＝.求证：

四边形EFGH是梯形．

正解：

　∵E、H分别是AB、AD的中点，

∴＝，＝，

＝－

＝－

＝（－）＝＝（－）

＝（－）

＝（－）

＝，∴∥且||＝||≠||.

又F不在上，∴四边形EFGH是梯形．

正解依据：

（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

考点3：

综合应用

例3．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

（1）证明E，F，G，H四点共面；

（2）证明BD∥平面EFGH.

正解：

　如图，连结EG，BG.

（1）∵＝＋

＝＋（＋）

＝＋＋＝＋，

由向量共面的充要条件知：

E，F，G，H四点共面．

（2）法一　∵＝－＝－＝，

∴EH∥BD.

又EH⊂面EFGH，BD⊄面EFGH，

∴BD∥面EFGH.

法二　∵＝＋＝2＋2

＝2＝2（＋）＝2＋2，

又，不共线，∴与，共面．

又BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH.

正解依据：

（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；

（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.

【易错题纠正案】

例1设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（　　）．

A．点P一定在直线AB上

B．点P一定不在直线AB上

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

D.与的方向一定相同

正解：

解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝（1－n）＋n＝－n＋n⇒－＝

n（－）⇒＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.

答案　A

例2以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．

正解：

解析　根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．

答案　②④

例3已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.

正解：

＝－2x－3y－4z，

由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，

∴2x＋3y＋4z＝－1.

【高考试题链接】

例1对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．

正解：

如图所示，空间四边形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得，

＝＋＋，＝＋＋.①

又E、F分别是AB、CD的中点，故有

＝－，＝－.②

将②代入①后，两式相加得，2＝＋，

∴＝＋.

即与、共面，

∴EF与AD、BC可平行于同一平面．

【双基夯实训练】（6道选择题+4道填空题+5道解答题）

一、选择题（答案直接附在题后）

1．给出的下列几个命题：

①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；

②零向量的方向是任意的；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为（　B　）．

A．0B．1C．2D．3

2.设空间四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段BA的延长线上

D．点P不一定在直线AB上

5．A　[解析]∵0

1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R且λa＋μb＝0，则（　B　）

A．a＝b＝0　　　　　　B．λ＝μ＝0

C．λ＝0，b＝0D．μ＝0，a＝0

3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则（D　　）

A．m、n、p共线B．m与p共线

C．n与p共线D．m、n、p共面

4．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　B　）

A.＝＋＋

B.＝＋＋

C.＝－＋＋

D．以上皆错

5．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为（　D　）．

A．1B．0C．3D.

6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于（　　）．

A．2－B．－＋2

C.－D．－＋

解析　由已知得2（－）＋（－）＝0，∴＝2－.答案　A

二、填空题

7．给出下列几个命题：

①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a＝3b；

②（a＋b）＋λc＋λ（a＋d）＝b＋（1＋λ）a＋λ（c＋d）；

③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l.

其中正确的命题是________．[答案]　①②③

8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z等于________．[答案]　

9．如图所示，在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______（用a，b，c表示）．答案　a＋b＋c

10．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．答案　0

三、解答题（答案直接附在题后）

11．已知

，

，若

，求实数

的值.

解：

∵

∴

∴

∴

.

12．已知非零向量e1，e2不共线，如果

＝e1＋e2，

＝2e1＋8e2，

＝3e1－3e2，求证：

A、B、C、D共面．

证明令λ（e1＋e2）＋μ（2e1＋8e2）＋v（3e1－3e2）＝0.

则（λ＋2μ＋3v）e1＋（λ＋8μ－3v）e2＝0.

∵e1，e2不共线，∴易知是其中一组解，

则－5

＋

＋

＝0.∴A、B、C、D共面．

13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点，若点M满足＝＋＋.

（1）判断、、三个向量是否共面．

（2）判断点M是否在平面ABC内．

[解析]　如图所示，

（1）由已知得＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－）．

∴＝＋＝－－，∴向量、、共面．

（2）由

（1）知向量、、共面，三个向量的基线又过同一点M，

∴四点M、A、B、C共面．∴点M在平面ABC内．

14．在四面体ABCD中，P在面ABC内，Q在面BCD内，且满足＝x＋y，＝s＋t＋u，若＝，试判断线段AQ与DP的位置关系．

[解析]　由＝，则＝.不妨假设＝＝λ，则＝λ＋u，

所以A、P、D、Q四点共面．又AQ与DP不平行，

所以线段AQ与线段DP相交．

15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．

证明：

向量、、是共面向量．

证明　法一　＝＋＋＝－＋

＝（＋）－＝－.

由向量共面的充要条件知，、、是共面向量．

法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，

则有FG綉DD1，BE綉DD1，

∴FG綉BE.

∴四边形BEFG为平行四边形．

∴EF∥BG.

∴EF∥平面A1BD.

同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，

∴、、都与平面A1BD平行．

∴、、共面．

第三章　空间向量与立体几何

3．1空间向量及其运算

3.1.3空间向量的数量积运算

【考点同步解读】

1．理解空间向量数量积运算的含义及运算律，掌握空间向量数量积运算的性质及几何意义.

2．能够进行空间向量数量积运算,.

3.掌握空间向量的夹角的概念并能证明垂直和求角.

考点1：

空间向量数量积运算的含义及运算律

例1:

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：

①（＋＋）2＝32；

②·（－）＝0；

③与的夹角为60°；

④正方体的体积为|··|.

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

正解：

解析：

选B.

如图所示，

（＋＋）2＝（＋＋）2＝2＝32；·（－）＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为

||||||.综上可知，①②正确，故选B.

考点2：

空间向量数量积运算,

例2已知正四面体OABC的棱长为1.求：

（1）·；

（2）（＋）·（＋）；

（3）|＋＋|.

正解：

（1）·＝||·||·cos∠AOB

＝1×1×cos60°＝.

（2）（＋）·（＋）

＝（＋）·（－＋－）

＝（＋）·（＋－2）

＝12＋1×1×cos60°－2×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.

（3）|＋＋|＝

＝＝.

考点3：

利用数量积证明垂直

例3如图所示，已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．

正解：

∵点F是BC的中点，∴＝（＋）．

∴＝－＝（＋）－.

又||＝||＝|－|，

∴＝2－2·＋2①

同理＝2＝2－2·＋2.②

由①代入②可得

2＝2－2·＋2－2·＋2，

∴22－2·（＋）＝0

∴·（＋－）＝0.∴·（＋－）＝0.∴·＝0.∴⊥.

同理可得⊥.∴EF是AD与BC的公垂线．

考点3：

利用数量积求角

例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

（1）·；　

（2）·；

（3）EG的长；　（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值．

正解：

　设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

（1）＝＝c－a，＝－a，＝b－c，

（2）·＝·（－a）＝a2－a·c＝，

·＝（c－a）·（b－c）＝（b·c－a·b－c2＋a·c）＝－；

（3）＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.

（4）＝b＋c，

＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是（0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

【易错题纠正案】

例1设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　　）

A．钝角三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．不确定

正解：

解析：

选B.如图所示，

设＝a，＝b，＝c，

∴·＝（a－b）·（c－b）

＝a·c－b·c－a·b＋b2

＝b2＞0.

同理·＞0，·＞0.

∴△BCD的各内角均为锐角，即△BCD为锐角三角形．

例2设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：

①（a·b）·c－（c·a）·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③（a·b）·c－（c·a）·b不与c垂直；

④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有（　　）

A．①②　　　　　　　　　　　B．②③

C．③④D．②④

正解解析：

选D.①③不正确，②④正确．

例3在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱）ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

正解：

解析如图，＝＋＋＝＋＋，

所以|AC′|＝||＝|＋＋|

＝

＝＝.

答案

【高考试题链接】

例1设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

正解：

解析：

选B.∵＋－2＝（－）＋（－）＝＋，

∴（＋）·（－）＝||2－||2＝0，∴||＝||.

例2已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.

正解：

cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.

例2[2013·南京二模]直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

（1）求证：

CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

正解：

解：

（1）证明：

设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D.

（2）＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.

·＝（－a＋c）·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

【双基夯实训练】

一、选择题（答案直接附在题后）

1．在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是（　C　）

A．|＋＋|＝|＋－|

B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2

C．（＋＋）·＝0

D.·＝·＝·

2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是（　B　）

A.与B.与C.与D.与

3.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝（　B　）

A.－1　　B.0

C.1　　D.不确定

4．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　C　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

5．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于（　D　）

A.B.C．－D．0

6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　B　）

A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定

二、填空题（答案直接附在题后）

11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①（

＋

＋

）2＝3

2；②

·（

－

）＝0；③向量

与向量

的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|

·

·

|.其中正确命题的序号是________．

解析由

⊥

，

⊥

，

⊥

⊥

，得（

＋

＋

）2＝3（

）2，故①正确；②中

－

＝

，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但

与

的夹角为120°，故③不正确；④中|

·

·

|＝0.故④也不正确．答案①②

7．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．

X

答案　

8．已知a，b，c两两夹角都是60°，其模都是1，则|a－b＋2c|＝________.答案:

.

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________答案:

a2.

10.

如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________，与所成角为________．答案:

2,,90°

三、解答题（答案直接附在题后