九年级数学下册223二次函数的图象与性质教案2新版北师大版.docx
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九年级数学下册223二次函数的图象与性质教案2新版北师大版
课题：
2.2 二次函数的图象与性质 （3）
教学目标：
2
1．能够作出 y=a（x-h）2 和 y=a（x-h）2+k 的图象，并能够理解它与 y=ax 的图象的关系，
理解 a,h 和 k 对二次函数图象的影响.
2．能正确说出 y=a（x-h）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标解决问题.
教学重点与难点：
重点：
能够作出 y=a（x-h）2 和 y=a（x-h）2+k 的图象，并能理解它与 y=ax2 的图象的关系，理解
a,h 和 k 对二次函数图象的影响.
难点：
能够利用二次函数的图象和性质解决问题．
课前准备：
（老师）多媒体课件．
（学生）每名学生至少准备 2 张透明度较高的纸并在上面各作一个单位长度为1cm 的坐标系．
教学过程:
一、情景创设，引入新课
师：
生活中有很多的建筑造型不仅大气美观，而且也与我们数学中的抛物线相关，请同
学们看下面的图片．（多媒体出示）你认为它们可以抽象成怎样的抛物线形状？
师：
（等同学们七嘴八舌说个大概之后，不要太追究他们说的准确度，有个大概就行）
大家看，是否是下面的抛物线形状？
（多媒体出示）你认为这种抛物线与我们所学习过的函
数 y=ax2、y=ax2＋c 的图象有什么不同？
1
处理方式：
老师点题的同时播放图片，学生看图片的同时思考老师提出的问题，等同学
们七嘴八舌把自己的想法说个大概之后，（不要追究学生语言表达的准确度，只要能表达出
与上节课所学的函数图象不同就行）老师再展示抽象出来的抛物线图片，并让学生比较所得
图象与所学函数 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象的不同，大部分同学能够说出：
函数图象的开口大
小不同，函数图象的顶点坐标不同，抛物线既有左右平移又有上下平移.在此基础上，老师
即
再说，这就是我们本节课要探究的抛物线的左右上下平移问题， y=a（x-h）2 和 y=a（x-h）2+k，
老师边说边板书课题 2.2 二次函数的图象与性质 （3）.
设计意图：
由生活中的图片让学生抽象出数学中的抛物线，并与所学过的抛物线相比，
一方面告知学生“数学来源于生活又反作用于生活，要学习有用的数学” 另一方面也提示
了学生本节课要探究的是抛物线的左右上下平移问题.
二、复习旧知，导入新课
师：
为了更好的研究函数 y=a（x-h）2 和 y=a（x-h）2+k 的图象和性质，我们先来回顾上节
课所学的函数 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象和性质. 试着解答下列三个问题：
活动内容：
（多媒体出示）
问题 1．二次函数 y=3x2 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是什么？
y=3x2-2 的图象呢？
比较二者的联系．
问题 2．二次函数 y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-5 的图象之间有什么关系，它们是如何通过平
移得到的？
处理方式：
1．教师点题：
首先回顾上节课我们所认识的二次函数 y=ax2 和 y=ax2＋c 的
图象及性质.2．给学生 2 分钟的时间回顾和阅读题目，两个小题的答案以抢答的形式给出．关
（
于第二题的平移说法不唯一，学生只要说对即可，老师不要做统一要求．y=2x2 的图象向上
平移 1 个单位可以得到 y=2x2+1 的图象，y=2x2+1 的图象向下平移 6 个单位可以得到 y=2x2-5
2
的图象，y=2x2 的图象向下平移 5 个单位也可以得到 y=2x2-5 的图象）．
设计意图：
老师点题，回顾上一节课二次函数图象之间的上下平移关系并用两个小题加
以巩固，为新课的学习做好预设．
三、动手操作，探究新知
师：
我们先来探究二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质．
活动内容 1：
探究二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质（多媒体出示）
1．请同学们在同一坐标系中作出二次函数 y=2x2、y=2（x－1）2 和 y=2（x+1）2 的图象．
（1）完成下表：
x
„
－3
－2 －1
0
1 2 3 „
y=2x2
„
„
y=2（x－1）2„
y=2（x+1）2„
„
„
（2）分别作出二次函数 y=2x2、y=2（x－1）2 和 y=2（x+1）2 的图象．
（3）二次函数 y=2（x－1）2 和 y=2（x+1）2 的图象是什么形状?
它与二次函数 y=2x2 的图象有
什么相同点和不同点?
它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值分别是什么?
试
填写下表：
抛物线
y=2x2 y=2（x－1）2 y=2（x+1）2
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
开口大小
（4）你认为函数图象的左右平移由什么来决定？
是怎么样来决定的？
处理方式：
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤．2．学生在准备好的坐标系内
做出以上函数的图象（C 层学生作 y=2x2 的图象；B 层学生作 y=2（x－1）2 的图象；A 层学生作
y=2（x+1）2 的图象）．3．小组成员 A、B、C 层之间把图象重叠，互相交流，总结问题（3）的
答案，思考问题（4）的答案．4．在学生画图、交流的过程中，老师巡视指导．5．各小组
3
选派代表展示问题（3）、（4）的答案，对于问题（3）：
函数 y=2（x－1）2、y=2（x+1）2 的图象
与函数 y=2x2 的图象的相同点与不同点学生在图象的重叠过程中可以直观的得出，有的同学
也可能会由列表中的数据分析得出，老师应予以及时的鼓励；对于它们的开口方向、对称轴、
顶点坐标、增减性和最值在小组交流中也应能得出正确结果；对于问题（4）的答案，学生
在图象的重叠过程中可以直观的得出，有的学生可能会回答：
“抛物线的左右平移是由加减
“
某个常数来决定的，加就左移，减就右移”；此时，有的同学可能会质疑：
不对，要是 y=2x2
加 2（或减 2）就变成 y=2x2+2（或 y=2x2-2），这样就变成上节课所学的抛物线的上下平移了，
“
不是左右平移了”；细心的同学可能马上会补充说：
是括号里 x 加减某个常数来决定抛物线
的左右平移，x 加几抛物线就整体向左平移几个单位长度，x 减几抛物线就整体向右平移几
个单位长度”，„„此时老师不要急于给出统一的言语说明，可以融入学生的争论中，只要
学生的表意清晰，老师就予以鼓励，待学生达成统一意见又正好是正确结论时，老师就可以
（
说：
“同学们表现得都很棒，总结的也很好．下面我们就把结论归纳如下． 多媒体出示）
4
设计意图：
通过让不同层次的学生自己动手作图，识图，让更多的学生能参与到学习中
来，从而带动学生的思考，真正让学生借助图象用自己的语言归纳得出函数 y=a（x-h）2 的性
质，直观形象地用移动的观点掌握二次函数图象左右平移的规律．
师：
探究完函数y=a（x-h）2 的图象和性质以后，我们再来探究再复杂一点的函数
y=a（x-h）2+k 的图象和性质．
活动内容 2：
探究二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质（多媒体出示）
CB
1．在同一直角坐标系内：
层学生作函数 y=2x2+3 的图象； 层学生作函数 y=2（x－1）2+1
的图象；A 层学生作函数 y=2（x+1）2-1 的图象，并与自己在活动内容 1 中所作的函数 y=2x2、
y=2（x－1）2 和 y=2（x+1）2 的图象相比，说出你的发现．
2．你能给出函数 y=2（x－1）2+1 的对称轴、顶点坐标和最值吗？
函数 y=2（x+1）2-1 的对称
轴、顶点坐标和最值又是怎样的？
你能类比归纳二次函数y=a（x-h）2+k 的图象的对称轴、顶
5
点坐标和最值吗？
你有什么发现？
试填写下表：
·
抛物线
y=2x2 y=2x2+1 y=2（x－1）2+1 y=2（x+1）2-1
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
开口大小
3．由函数 y=2x2 的图象，能得到函数 y=2x2+1，y=2（x－1）2，y=2（x－1）2+1 的图象吗？
你是怎样得到的？
由此你认为二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象如何由二次函数 y=ax2 的图象平
移得到？
4．二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象具有那些性质？
处理方式：
四个问题不是一次性的展示给学生的，而是根据课堂的进度，由老师的过
渡语按顺序出现的．具体如下：
1. 问题 1 让 A、B、C 三个层次的学生在活动内容 1 的基础上独立完成作图，给学生充
足的时间画图、重叠比较、小组交流、归纳性质，老师巡视并加以针对性的指导，力争让每
一个学生都能用语言描述这两个函数图象直观呈现的内容：
函数y=2x2 的图象整体向上平移
3 个单位长度得到函数 y=2x2+3 的图象（上节课已学）；：
函数 y=2（x－1）2 的图象整体向上平
移 1 个单位长度得到函数 y=2（x－1）2+1 的图象；函数 y=2（x+1）2 的图象整体向下平移 1 个单
位长度得到函数 y=2（x+1）2-1 的图象．学生会发现：
所作的两个图象之间的关系就是上节课
所学的函数图象之间的上下平移，只不过这里需要把（x－1）和（x+1）看成一个整体而已，从
而把知识融会贯通．
2．在学生充分感知了问题 1 的答案，明晰图象整体上是上下平移之后，老师说：
借助于
你们所作的图象，我们来解决一个问题．展示问题2，前两问的答案，应该是所有的学生在
图象的直观作用下能够圆满解答，第三问有点难度，每一小组的 B、C 层次学生在 A 层次学
生的帮助下，也应该能归纳出结论．对于实在归纳不出结论的小组，可以去别的小组“取经”
（
亦或是老师去个别指导，都得出结论后，老师表扬同学后出示结论． 多媒体出示）
6
3．在学生已明确了抛物线的上下左右平移规律以后，老师说：
利用我们所探究出来的
抛物线的上下左右平移规律，尝试看一下由一个函数图象能否得到以下几个函数图象？
它们
之间有怎样的平移关系？
展示问题 3，对于前两问，A 层次的学生可能会直接得出答案，B、
C 层次的学生也会在自己所作图象的再次重叠比较中，得出答案，对于由函数y=2x2 的图象
得到函数 y=2（x－1）2+1 的图象，学生有可能只会说“先向右平移一个单位长度再向上平移
一个单位长度”而考虑不到“先向上平移一个单位长度再向右平移一个单位长度”，此时老
师要做适时的引导；对于第三问的答案，学生可能只会由函数关系式的表面得出“二次函数
y=ax2 的图象先向右平移 h 个单位长度再向上平移 k 个单位长度得到函数 y=a（x-h）2+k 的图
象”或者“二次函数 y=ax2 的图象先向上平移 k 个单位长度再向右平移 h 个单位长度得到函
数 y=a（x-h）2+k 的图象”这样的结论，考虑不到 h 和 k 的正、负性和绝对值问题，此时老师
要根据学生的具体表现做一定的讲解和引导，必要时再举几个实例说明，要让绝大部分学生
真正明白之后，再出示结论．（多媒体出示）
7
4．老师：
顺利解决了前三个问题，我们对于二次函数y=a（x-h）2+k 的图象有了最基
本的感知，知道它是由函数 y=ax2 的图象平移得到的，那它又具有哪些性质呢？
让我们共同
4
来总结一下吧．展示问题（ ），学生以小组为单位讨论交流，此环节要充分发挥学生的自主
能动性，让组内的每一个组员都动嘴去说，老师巡视并融入到各小组中听取学生的讨论并适
（
时插话讲解和引导，然后再对学生的归纳进行强调． 多媒体出示）
二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象是一条抛物线 ,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与
a,h,k 的值有关. 下面我们就一般形式来进行总结：
设计意图：
学生在经历了前面二次函数学习过程的基础上，已具有一定的经验，此环节
意在让学生经历作图、类比、猜测、归纳、抽象等活动过程，渗透数形结合的思想方法，在
已有的知识经验基础上生成新的知识经验，并将新旧知识同化，及时总结，形成方法．平移
口诀的给出，又增添了学生学习的趣味性．
四、巩固练习，应用新知
8
师：
学习的目的是为了更好的应用，就让我们利用函数 y=a（x-h）2 与 y=a（x-h）2+k 的图
象和性质解决以下几个小问题吧. （多媒体出示）
1．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y= 2（x+3） 2
-
1 1 1
（2） y= - （x+1） 2 -5 （3） y= - （x+1） 2
2 3 2
（4） y= - 3
4
x 2 -1 （5）y= （x+1） 2 +2 （6）y= -3x 2 +2
2．函数y= 3x 2 图象向左平移2个单位得到函数图象．
3．函数 y= -3（x-2）2 -5 的图象向左平移个单位，再向上平移 ______单位得到
函数 y=-3（x+1）2+4 的图象．
4
4．一条抛物线的形状与y=2x²的形状和开口方向相同，且顶点坐标为（ ，-2），试写出它
的关系式．
解：
设抛物线为y=a（x-h）2+k
∵顶点坐标为（4，-2）
∴h=4,k=-2
又∵抛物线的形状与 y=2x²的形状和开口方向相同
∴ a=2
∴抛物线的关系式为 y＝2（x－4）2-2
1
处理方式：
给学生 5 分钟左右的时间独立完成， 分钟左右的时间小组内成员互对答案，
（好帮差讲解），期间，老师巡视、询问并指导．然后小组派代表展示汇报：
1、2、3 题以
抢答的形式展示；4 题以在黑板上板演的形式或实物投影的形式展示，师生共同完善做题步
骤．
设计意图：
此环节以多种题型考查学生对本节课所学知识点的掌握，从而加深学生对二
次函数 y=a（x-h）2+k 的性质理解应用，特别是函数关系式中三个常数 a,h,k 对函数图象的影
响．
五、回顾反思，提炼升华
师：
时间留给我们最好的礼物就是记忆，现在就让我们来分享这即将逝去的 40 分钟带
给我们的礼物吧：
通过这节课的学习，你有哪些收获？
有何感想？
学会了哪些方法？
处理方式：
给学生 2 分钟左右的时间结合课本和板书回顾知识点并在小组内交流，然后
选两个小组的代表发言，老师再用多媒体展示探究活动中所展示过的知识点，加以强化和巩
固.
（多媒体出示）
9
设计意图：
由学生的回顾与语言描述，再现本节课的知识，让本节课的知识浓缩升华，
培养自我反馈，自主发展的意识，多媒体的进一步展示，是对本节课知识点的强化．
六、达标检测，反馈提高
师：
本节课的探究活动已经结束了，下面就让我们来检测一下我们的探究成果吧！
相
信大家一定会成功的！
（多媒体出示）
A 组：
1
2
_______值是_______.
2．将抛物线 y=x²的图象先沿 x 轴向左平移 4 个单位,再沿对称轴向下平移 3 个单位 ，
得到的抛物线的表达式是.
3．已知 y＝5x2 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴分别向上、向右平移 3 个单位，
那么在新坐标系下抛物线的表达式是________.
B 组：
抛物线 y＝2（x-2）2-6 的顶点为 C,已知 y=-kx+3 的图像经过点 C,求这个一次函数图
象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
处理方式：
A 组题要求 C 层次学生独立完成，B 组题要求 A、B 层次学生独立完成．学生
做题期间，老师巡视，一是及时批阅做完同学的答案；二是对做题的确有困难的学生进行针
对性讲解．做完后，教师出示答案（B 组题要有完整的做题过程），指导学生校对，学生根
据答案进行纠错．
设计意图：
学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调
动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：
课本 39 页，习题 2.4 第 1 题、第 2 题．
选做题：
课本 39 页，习题 2.4 第 3 题、第 4 题．
设计意图：
分层布置作业使不同层次的学生都有事可做，同时也能培养学生课下自主学
习的好习惯，提高学生的竞争意识，拓宽学生的知识面．
结束语：
师：
高斯曾说：
给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东
西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登．希望同学们在数学的天地
里飞的更高，飞的更远！
（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）
板书设计：
2.2二次函数的图象与性质（3）
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一、画出 y=2x2、y=2（x-1）2、
y=2（x+1）2 的图象
4．一条抛物线的形状与y=2x²的形
状和开口方向相同，且顶点坐标为
（4，-2），试写出它的关系式．
解：
设抛物线为y=a（x-h）2+k
∵顶点坐标为（4，-2）
∴h=4,k=-2
二、总结归纳
y=a（x-h）2+k 顶点坐标
对称轴
平移口诀：
又∵抛物线的形状与 y=2x²的形状和“左右平移在括号
开口方向相同
∴ a=2
∴抛物线的关系式为
y＝2（x－4）2-2
上下平移在末梢
左加右减须牢记
上加下减错不了”
11
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