辽宁高考数学试题及参考答案理科.docx
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辽宁高考数学试题及参考答案理科
2011年辽宁高考数学试题及答案（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）a为正实数，i
为虚数单位，
a
i
2，则a
i
（A）2
（B）
3
（C）
2
（D）1
（2）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NeI
M
，则M
N
（A）M
（B）N
（C）I
（D）
（3）已知F是抛物线
y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，
AF
BF=3，则线
段AB的中点到
y轴的距离为
（A）3
（B）1
（C）5
（D）7
4
4
4
（4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=
2a，
则b
a
（A）23
（B）22
（C）
3
（D）
2
（5）从1，2，3，4，5中任取2
各不同的数，事件
A=“取到的2
个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P
（B︱A）=
（A）1
（B）1
（C）2
（
1
8
4
5
2
（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是
1/11
（A）8
（B）5
（C）3
（D）2
（7）设sin（+）=1，则sin2
4
3
（A）
7
1
1
7
9
（B）
（C）
（D）
9
9
9
（8）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确
．．．
的是
（A）AC⊥SB
（B）AB∥平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
（9）设函数
21
x,x
1
f（x）
log2
，则满足f（x）2的x的取值范围是
1
x,x1
（A）[
1，2]
（B）[0，2]
（C）[1，+
）
（D）[0，+
）
（10）若a，b，c均为单位向量，且
a
b
0，（a
c）（b
c）
0，则|a
b
c|的最
大值为
（A）
21
（B）1
（C）2
（D）2
（11）函数f（x）的定义域为R，f（
1）
2
，对任意x
R，f（x）
2，则f（x）
2x
4
的解集为
（A）（1，1）
（B）（1，+
）（C）（
，1）（D）（
，+
）
（12）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=
3，ASC
BSC30，
则棱锥S—ABC的体积为
（A）33
（B）23
（C）
3
（D）1
第Ⅱ卷
2/11
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必
须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共
4小题，每小题5分．
（13
）已知点（2，3）在双曲线C：
x2
y21（
a
0,
b
0）上，C的焦距为4，则它的
a2
b2
离心率为
．
（14
）调查了某地若干户家庭的年收入
x（单位：
万元）和年饮食支出
y（单位：
万元），
调查显示年收入
x与年饮食支出
y具有线性相关关系，并由调查数据得到
y对x
的回归直线方程：
?
0.321
.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加
1
y0.254x
万元，年饮食支出平均增加
____________万元.
（15
）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
23，它的
三视图中的俯视图如右图所示，
左视图是一个矩形，则这个矩
形的面积是
．
（16
）已知函数f（x）=Atan（
x+
）（
0,|
|
2
），y=f（x）的部分图像如下图，
则f（）
．
24
三、解答题：
解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列
an
的前n项和．
2n
1
（18）（本小题满分12分）
3/11
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，
1
PD∥QA，QA=AB=PD．
2
（I）证明：
平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种
乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随
机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布
列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：
kg/hm2）如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
1
附：
样本数据x1,x2,,xn的的样本方差s2[（x1x）2（x2x）2（xnx）2]，其中
x为样本平均数．
（20）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点
M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，
这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设e
1
，求BC与AD的比值；
2
（II）当e变化时，是否存在直线
l，使得BO∥AN，并
说明理由．
4/11
（21）（本小题满分
12分）
已知函数f（x）
lnxax2
（2
a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a0，证明：
当0
x
1时，f（
1
x）
f（
1
x）；
a
a
a
（III）若函数y
f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
x0，
证明：
f（x0）＜0．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（I）证明：
CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：
A，B，G，F四点共圆．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系统与参数方程
x
cos
为参数），曲线C2
在平面直角坐标系
xOy中，曲线C1的参数方程为
（
y
sin
x
acos
b0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极
的参数方程为
（a
y
bsin
轴的极坐标系中，射线
l：
θ=
与C1，C2各有一个交点．当
=0时，这两个交点间的
距离为2，当=
时，这两个交点重合．
2
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当
=
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=
时，l与C1，C2
4
4
的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
（24）（本小题满分
10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2||x-5|．
（I）证明：
3≤f（x）≤3；
（II）求不等式
f（x）≥x2
8x+15的解集．
5/11
参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正
确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数，选择题不给中间分.
一、选择题
1—5BACDB6—10CADDB11—12BC
二、填空题
13．2
14．0.254
15．23
16．3
三、解答题
17．解：
a1
d0,
（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
12d
10,
2a1
解得
a1
1,
d
1.
故数列{an}的通项公式为an2n.
5分
an
a2
an
故S1
1，
（II）设数列{n1
}的前n项和为Sn，即Sna1
n1
2
2
2
Sn
a1
a2
an.
2
2
4
2n
所以，当n
1时，
6/11
Sn
a1
a2
a1
an
an1
an
2
2
2n1
2n
1
（1
1
1
2n）
2
4
2n1
2n
1
（1
1n1）
2
nn
2
2
nn.
2
n
所以Sn
.
2n1
综上，数列{
an
}的前n项和Sn
n
n1
n1.12分
2
2
18．解：
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则DQ（1,1,0）,DC（0,0,1）,PQ
（1,1,0）.
所以PQDQ0,PQDC0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
6分
（II）依题意有B（1，0，1），CB,0）,1（
（12,BP.）1
设n（x,y,z）是平面PBC的法向量，则
n
CB
0,
x
0,
即
x
2yz0.
n
BP
0,
因此可取n（0,1,
2）.
m
BP
0,
设m是平面PBQ的法向量，则
m
PQ
0.
可取m（1,1,1）.所以cosm,n
15
.
5
故二面角Q—BP—C的余弦值为
15
12分
.
5
19．解：
（I）X可能的取值为
0，1，2，3，4，且
7/11
P（X
0）
1
1,
C84
70
P（X
1）
C41C43
8
C4
35
8
P（X
2）
C42C42
18
C84
35
P（X3）
C43C41
8,
C84
35
P（X
4）
1
1
C84
.
70
即X的分布列为
4分
X的数学期望为
E（X）
0
1
8
18
3
8
1
2.
6分
1
2
35
4
70
70
35
35
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x甲
1（403
397
390
404
388
400
412
406）
400,
8
S甲
1（32
（3）2
（
10）2
42
（
12）2
02
122
62）
57.25.
8
8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x乙
1（419
403
412
418
408
423
400
413）
412,
8
S乙2
1（72
（9）2
02
62
（
4）2
112
（
12）2
12）
56.
8
10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的
样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
20．解：
（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
x2
y2
b2y2
x2
C1:
a2
b2
1,C2
:
a4
a2
1,（ab
0）
设直线l
:
x
t（|t
|
a），分别与
C1，C2的方程联立，求得
8/11
A（t,a
a2
t2）,B（t,b
a2
t2）.4
b
a
e
1时,b
3a,分别用yA,yBAB
2
2
2|yB|
b2
|BC|:
|AD|
a2
2|yA|
IIt=0l.tkAN
3
.6
4
0BO//ANBOkBOAN
b
a2
t2
aa2
t2
a
b
t
t
a
t
ab2
1
e2
a.
a2
b2
e2
|t|
a,又0e
1,所以1
e2
1,解得
2
e1.
e2
2
0
e
2
lBO//AN
2
2
e1
lBO//AN.
12
2
21
If（x）的定义域为（0,
）,
f
（x）
1
2ax
（2a）
（2x1）（ax1）.
x
x
ia
0,则f（x）
0,所以f（x）在（0,
）.
ii
a
0,则由f
（x）
0得x
1,
a
x
（0,1）时,f
（x）
0,当x
1时,f
（x）
0.
a
a
f（x）在（0,1）（1,
）.4
a
a
IIg（x）
f（1
x）
f（1
x）,
a
a
g（x）
ln（1
ax）
ln（1
ax）
2ax,
a
a
2a3x2
g（x）
1ax1ax
2a
1a2x2.
0
x
1时,g（x）
0,而g（0）
0,所以g（x）
0.
a
9/11
1
1
x）
f（
1
故当0x
时，f（
x）.8分
a
a
a
（III）由（I）可得，当a
0时,函数y
f（x）的图像与x轴至多有一个交点，
故a0，从而f（x）的最大值为
f
（1）,且f
（1）
0.
a
a
不妨设A（x1,0）,B（x2,0）,0
x1
x2,则0
x1
1
x2.
由（II）得f（2
f（1
1
a
x1）
x1）
f（x1）
0.
a
a
a
2
x1,于是x0
x1
x2
1
从而x2
2
.
a
a
由（I）知，f
（x0）
0.
12分
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