巴特沃斯滤波器c语言.docx
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巴特沃斯滤波器c语言
1.模拟滤波器的设计
1.1巴特沃斯滤波器的次数
根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。
做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。
这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。
由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。
在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。
从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。
设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。
首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减
将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有
最后，可以解得次数N为
当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。
1.2巴特沃斯滤波器的传递函数
巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。
其分母多项式
根据S解开，可以得到极点。
这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。
当N为偶数的时候，
这里，使用了欧拉公式
。
同样的，当N为奇数的时候，
同样的，这里也使用了欧拉公式。
归纳以上，极点的解为
上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。
为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。
选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。
1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）
首先，是次数的计算。
次数的计算，我们可以由下式求得。
其对应的C语言程序为
[cpp] viewplaincopy
1.N = Ceil（0.5*（ log10 （ pow （10, Stopband_attenuation/10） - 1） /
2. log10 （Stopband/Cotoff） ））;
然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。
最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，
这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。
其代码实现为
[cpp] viewplaincopy
1.typedef struct
2.{
3. double Real_part;
4. double Imag_Part;
5.} COMPLEX;
6.
7.
8.COMPLEX poles[N];
9.
10.for（k = 0;k <= （（2*N）-1） ; k++）
11.{
12. if（Cotoff*cos（（k+dk）*（pi/N）） < 0）
13. {
14. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos（（k+dk）*（pi/N））;
15. poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin（（k+dk）*（pi/N））;
16. count++;
17. if （count == N） break;
18. }
19.}
计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。
传递的函数的计算，就像下式一样
这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。
很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。
其复数的乘法代码如下，
[cpp] viewplaincopy
1.int Complex_Multiple（COMPLEX a,COMPLEX b,
2. double *Res_Real,double *Res_Imag）
3.
4.{
5. *（Res_Real） = （a.Real_part）*（b.Real_part） - （a.Imag_Part）*（b.Imag_Part）;
6. *（Res_Imag）= （a.Imag_Part）*（b.Real_part） + （a.Real_part）*（b.Imag_Part）;
7. return （int）1;
8.}
有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。
我们做如下假设
这个时候，其传递函数为
将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。
计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。
高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。
其代码为
[cpp] viewplaincopy
1. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
2. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;
3. Res[1].Real_part = 1;
4. Res[1].Imag_Part= 0;
5.
6.for（count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++）
7.{
8. for（count = 0;count <= count_1 + 2;count++）
9. {
10. if（0 == count）
11. {
12. Complex_Multiple（Res[count], poles[count_1+1],
13. &（Res_Save[count].Real_part）,
14. &（Res_Save[count].Imag_Part））;
15. }
16. else if（（count_1 + 2） == count）
17. {
18. Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;
19. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
20. }
21. else
22. {
23. Complex_Multiple（Res[count], poles[count_1+1],
24. &（Res_Save[count].Real_part）,
25. &（Res_Save[count].Imag_Part））;
26.1 Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;
27. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
28. }
29. }
30. *（b+N） = *（a+N）;
到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。
2.双1次z变换
2.1双1次z变换的原理
我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。
这里着重说说双1次z变换。
我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。
和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。
将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，
其中，x（t）表示输入，y（t）表示输出。
然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果
然后使用z变换，再将其化简。
可得到如下结果
从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即
由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。
然后，将关系式
带入上式，可得
到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。
这里的Ω与ω的对应关系很重要。
我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。
而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。
那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。
另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。
2.2双1次z变换的实现（C语言）
我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。
我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子
可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。
其代码为。
[cpp] viewplaincopy
1.for（Count = 0;Count<=N;Count++）
2. {
3. for（Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++）
4. {
5. Res[Count_Z] = 0;
6. Res_Save[Count_Z] = 0;
7. }
8. Res_Save [0] = 1;
9. for（Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++）
10. {
11. for（Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++）
12. {
13. if（Count_2 == 0） Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
14. else if（（Count_2 == （Count_1+1））&&（Count_1 !
= 0））
15. Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];
16. else Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];
17. for（Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++）
18. {
19. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
20. Res[Count_Z] = 0;
21. }
22. }
23. for（Count_1 = （N-Count）; Count_1 < N;Count_1++）
24. {
25. for（Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++）
26. {
27. if（Count_2 == 0） Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
28. else if（（Count_2 == （Count_1+1））&&（Count_1 !
= 0））
29. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];
30. else
31. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];
32. }
33. for（Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++）
34. {
35. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
36. Res[Count_Z] = 0;
37. }
38. }
39. for（Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++）
40. {
41. *（az+Count_Z） += pow（2,N-Count） * （*（as+Count）） *
42. Res_Save[Count_Z];
43. *（bz+Count_Z） += （*（bs+Count）） * Res_Save[Count_Z];
44. }
45. }
到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。
3.IIR滤波器的间接设计代码（C语言）
[cpp] viewplaincopy
1.#include
2.#include
3.#include
4.#include
5.
6.
7.#define pi （（double）3.1415926）
8.
9.
10.struct DESIGN_SPECIFICATION
11.{
12. double Cotoff;
13. double Stopband;
14. double Stopband_attenuation;
15.};
16.
17.typedef struct
18.{
19. double Real_part;
20. double Imag_Part;
21.} COMPLEX;
22.
23.
24.
25.int Ceil（double input）
26.{
27. if（input !
= （int）input） return （（int）input） +1;
28. else return （（int）input）;
29.}
30.
31.
32.int Complex_Multiple（COMPLEX a,COMPLEX b
33. ,double *Res_Real,double *Res_Imag）
34.
35.{
36. *（Res_Real） = （a.Real_part）*（b.Real_part） - （a.Imag_Part）*（b.Imag_Part）;
37. *（Res_Imag）= （a.Imag_Part）*（b.Real_part） + （a.Real_part）*（b.Imag_Part）;
38. return （int）1;
39.}
40.
41.
42.int Buttord（double Cotoff,
43. double Stopband,
44. double Stopband_attenuation）
45.{
46. int N;
47.
48. printf（"Wc = %lf [rad/sec] \n" ,Cotoff）;
49. printf（"Ws = %lf [rad/sec] \n" ,Stopband）;
50. printf（"As = %lf [dB] \n" ,Stopband_attenuation）;
51. printf（"--------------------------------------------------------\n" ）;
52.
53. N = Ceil（0.5*（ log10 （ pow （10, Stopband_attenuation/10） - 1） /
54. log10 （Stopband/Cotoff） ））;
55.
56.
57. return （int）N;
58.}
59.
60.
61.int Butter（int N, double Cotoff,
62. double *a,
63. double *b）
64.{
65. double dk = 0;
66. int k = 0;
67. int count = 0,count_1 = 0;
68. COMPLEX poles[N];
69. COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];
70.
71. if（（N%2） == 0） dk = 0.5;
72. else dk = 0;
73.
74. for（k = 0;k <= （（2*N）-1） ; k++）
75. {
76. if（Cotoff*cos（（k+dk）*（pi/N）） < 0）
77. {
78. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos（（k+dk）*（pi/N））;
79. poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin（（k+dk）*（pi/N））;
80. count++;
81. if （count == N） break;
82. }
83. }
84.
85. printf（"Pk = \n" ）;
86. for（count = 0;count < N ;count++）
87. {
88. printf（"（%lf） + （%lf i） \n" ,-poles[count].Real_part
89. ,-poles[count].Imag_Part）;
90. }
91. printf（"--------------------------------------------------------\n" ）;
92.
93. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
94. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;
95.
96. Res[1].Real_part = 1;
97. Res[1].Imag_Part= 0;
98.
99. for（count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++）
100. {
101. for（count = 0;count <= count_1 + 2;count++）
102. {
103. if（0 == count）
104. {
105. Complex_Multiple（Res[count], poles[count_1+1],
106. &（Res_Save[count].Real_part）,
107. &（Res_Save[count].Imag_Part））;
108. //printf（ "Res_Save :
（%lf） + （%lf i） \n" ,Res_Save[0].Real_part,Res_Save[0].Imag_Part）;
109. }
110.
111. else if（（count_1 + 2） == count）
112. {
113. Res_Save[count].Real_par
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