相交线与平行线专题复习.docx

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相交线与平行线专题复习

2017年08月15日sun****chun的初中数学组卷

一．选择题（共10小题）

1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠AOD=3∠FOD，∠AOE=120°，则∠FOD的度数为（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

2．如图，已知AO⊥OB，CO⊥DO，∠BOC=β°，则∠AOD的度数为（　　）

A．β°﹣90°B．2β°﹣90°C．180°﹣β°D．2β°﹣180°

3．在下列4个判断中：

①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

4．如图所示，下到说法错误的是（　　）

A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角

C．∠2与是∠B同位角D．∠2与∠3是内错角

5．已知：

如图所示，∠1=∠B，则下列说法正确的是（　　）

A．AB与CD平行B．AC与DE平行

C．AB与CD平行，AC与DE也平行D．以上说法都不正确

6．如图，直线l1∥l2，∠2=65°，∠3=60°，则∠1为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．50°

7．如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB和直线CD相交于点P和点Q，PG⊥CD于G，若∠APE=48°，则∠QPG的度数为（　　）

A．42°B．46°C．32°D．36°

8．下列画图语句中正确的是（　　）

A．画射线OP=5cmB．画射线OA的反向延长线

C．画出A、B两点的中点D．画出A、B两点的距离

9．如图，已知∠1=30°，下列结论正确的有（　　）

①若∠2=30°，则AB∥CD

②若∠5=30°，则AB∥CD

③若∠3=150°，则AB∥CD

④若∠4=150°，则AB∥CD．

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．如图，AB∥CD，AB与EC交于点F，如果EA=EF，∠C=110°，那么∠E等于（　　）

A．30°B．40°C．70°D．110°

二．填空题（共8小题）

11．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有　　．

12．如图，设P是直线l外的一点，取细线一根，一端用图钉固定在P点，将细线拉直使它与l垂直，在垂足O处作一标志，然后拉紧细线左右旋转至PA，PB等位置，比较PO，PA，PB的长度，你从实验中得到的结论是　　．

13．如图，能与∠α构成同旁内角的有　　对．

14．如图，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ于O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE=　　，∠NOF=　　，∠PON=　　．

15．如图，过直线AB外一点O，画射线OM，ON，OP，OF，分别交AB于点M，N，P，F，其中ON⊥AB于点N，则能表示点O到直线AB的距离的是线段　　的长度．

16．如图，AB∥CB，EF⊥CD于F，∠1=40°，则∠2=　　．

17．如图，AB∥DE，若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的大小是　　．

18．如图，已知EF⊥EG，GM⊥GE，∠1=35°，∠2=35°，EF与GM的位置关系是　　，AB与CD的位置关系是　　．

三．解答题（共4小题）

19．已知：

如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：

CD⊥AB．

20．如图，已知∠1=∠2，∠MAE=45°，∠FEG=15°，∠NCE=75°，EG平分∠AEC，

求证：

AB∥EF∥CD．

21．如图，已知：

OE平分∠AOD，AB∥CD，OF⊥OE于O，∠D=50°，求∠BOF的度数．

22．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．

（1）说明：

∠O=∠BEO+∠DFO．

（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．

（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论请写出你的结论．

2017年08月15日sun****chun的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠AOD=3∠FOD，∠AOE=120°，则∠FOD的度数为（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【分析】首先，根据邻补角的性质求得∠AOF=60°；然后由已知条件“∠AOD=3∠FOD”来求∠FOD的度数．

【解答】解：

如图，∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=120°，

∴∠AOF=60°．

又∵∠AOD=3∠FOD，∠AOF+∠FOD=∠AOD，

∴60°+∠FOD=3∠FOD

∴∠FOD=30°，

故选：

A．

【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角的计算．解题时，要注意数形结合．

2．如图，已知AO⊥OB，CO⊥DO，∠BOC=β°，则∠AOD的度数为（　　）

A．β°﹣90°B．2β°﹣90°C．180°﹣β°D．2β°﹣180°

【分析】首先根据垂直定义可得∠COD=90°，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等可得∠BOD=∠AOC，再由条件∠BOC=β，可表示出∠BOD=∠AOC的度数，进而得到答案．

【解答】解：

∵AO⊥BE，CO⊥DO，

∴∠COD=90°，∠AOB=90°，

即：

∠AOD+∠BOD=∠AOD+∠AOC=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∵∠BOC=β°，

∴∠BOD=∠AOC=（β﹣90）°，

∴∠AOD=90°﹣β°+90°=180°﹣β°．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

3．在下列4个判断中：

①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：

平行或相交或重合进行判断．

【解答】解：

在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；

在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．

故正确判断的个数是2．

故选C．

【点评】本题考查了平行线和相交的定义．

同一平面内，两条直线的位置关系：

平行或相交或重合，对于这一知识的理解过程中要注意：

①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．

4．如图所示，下到说法错误的是（　　）

A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角

C．∠2与是∠B同位角D．∠2与∠3是内错角

【分析】根据同旁内角、同位角、内错角的意义，可得答案．

【解答】解：

由图可知：

∠1与∠3是内错角，故B说法错误，

故选：

B．

【点评】本题考查了同旁内角、同位角、内错角，根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案．

5．已知：

如图所示，∠1=∠B，则下列说法正确的是（　　）

A．AB与CD平行B．AC与DE平行

C．AB与CD平行，AC与DE也平行D．以上说法都不正确

【分析】∠1与∠B是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，所以能得出AB与CD平行．

【解答】解：

∵∠1=∠B，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故选A．

【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

6．（2015瑶海区三模）如图，直线l1∥l2，∠2=65°，∠3=60°，则∠1为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．50°

【分析】先根据平行线的性质求出∠6，再根据三角形内角和定理即可求出∠4的度数，由对顶角的性质可得∠1．

【解答】解：

如图所示：

∵l1∥l2，∠2=65°，

∴∠6=65°，

∵∠3=60°，

在△ABC中，

∠3=60°，∠6=65°

∴∠4=180°﹣60°﹣65°=55，

∴∠1=∠4=55°

故选C．

【点评】本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理，是一道较为简单的题目．

7．（2015重庆模拟）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB和直线CD相交于点P和点Q，PG⊥CD于G，若∠APE=48°，则∠QPG的度数为（　　）

A．42°B．46°C．32°D．36°

【分析】求出∠PGC=90°，根据平行线的性质求出∠APG=90°，即可求出答案．

【解答】解：

∵PG⊥CD，

∴∠PGC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠APG=180°﹣∠PGC=90°，

∵∠APE=48°，

∴∠QPG=180°﹣90°﹣48°=42°，

故选A．

【点评】本题考查了邻补角，垂直定义，平行线的性质的应用，注意：

两直线平行，同旁内角互补．

8．（2014秋海陵区校级月考）下列画图语句中正确的是（　　）

A．画射线OP=5cmB．画射线OA的反向延长线

C．画出A、B两点的中点D．画出A、B两点的距离

【分析】利用射线的定义，线段中点及距离的定义判定即可．

【解答】解：

A、画射线OP=5cm，错误，射线没有长度，

B、画射线OA的反向延长线，正确．

C、画出A、B两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的，

D、画出A、B两点的距离，错误，画出的是线段不是距离．

故选：

B．

【点评】本题主要考查了射线及线段的中点，距离，解题的关键是熟记射线的定义，线段中点及距离的定义．

9．如图，已知∠1=30°，下列结论正确的有（　　）

①若∠2=30°，则AB∥CD

②若∠5=30°，则AB∥CD

③若∠3=150°，则AB∥CD

④若∠4=150°，则AB∥CD．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据∠1=30°求出∠3=∠2=150°，推出∠2=∠4，∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可．

【解答】解：

∵∠1=30°，∴∠2=150°，∴①错误；

∵∠4=150°，

∴∠2=∠4，

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴④正确；

∵∠1=30°，

∴∠3=150°，

∵∠5=30°，

∴∠4=150°，

∴∠3=∠4，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴②正确；

根据∠1=30°，∠3=150°不能推出AB∥CD，∴③错误；

即正确的个数是2个，

故选B．

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：

平行线的判定定理有：

①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．

10．（2015阜新二模）如图，AB∥CD，AB与EC交于点F，如果EA=EF，∠C=110°，那么∠E等于（　　）

A．30°B．40°C．70°D．110°

【分析】先根据平行线的性质求出∠BFC的度数，再由对顶角的性质求出∠AFE的度数，根据EA=EF可得出∠A的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠C=110°，

∴∠BFC=180°﹣110°=70°．

∵∠BFC与∠AFE是对顶角，

∴∠AFE=70°．

∵EA=EF，

∴∠A=∠AFE=70°，

∴∠E=180°﹣∠A﹣∠AFE=180°﹣70°﹣70°=40°．

故选B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：

两直线平行，同旁内角互补．

二．填空题（共8小题）

11．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有　45　．

【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．

【解答】解：

十条直线相交最多的交点个数有

=45，

故答案为：

45．

【点评】本题考查了相交线，n每条直线都与其它直线有一个交点，可有（n﹣1）个交点，n条直线用n（n﹣1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有

个交点．

12．如图，设P是直线l外的一点，取细线一根，一端用图钉固定在P点，将细线拉直使它与l垂直，在垂足O处作一标志，然后拉紧细线左右旋转至PA，PB等位置，比较PO，PA，PB的长度，你从实验中得到的结论是　垂线段最短　．

【分析】根据垂线段的性质：

垂线段最短进行解答即可．

【解答】解：

由题意得：

PA＞PB＞PO，由此可得：

垂线段最短，

故答案为：

垂线段最短．

【点评】此题主要考查了垂线段的性质．

13．如图，能与∠α构成同旁内角的有　2　对．

【分析】根据同旁内角的定义结合图形找出∠α的同旁内角，即可得出答案．

【解答】

解：

能与∠α构成同旁内角的角有∠1，∠2，共2对，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了同旁内角的应用，注意：

两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线之间，那么这两个角叫同旁内角．

14．如图，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ于O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE=　135°　，∠NOF=　90°　，∠PON=　45°　．

【分析】首先根据垂直的定义，即可求得∠MOQ的度数，根据对顶角相等求得∠PON的度数，然后根据∠NOE=∠EOP+∠PON，∠NOF=180°﹣∠PON﹣∠QOF即可求解．

【解答】解：

∵OE⊥PQ于O，

∴∠EOQ=∠EOP=90°，

又∵∠MOE=45°，

∴∠MOQ=90°﹣45°=45°，则∠QOF=∠MOQ=45°，

∴∠PON=∠NOQ=45°，∠NOE=∠EOP+∠PON=90°+45°=135°，

∠NOF=180°﹣∠PON﹣∠QOF=180°﹣45°﹣45°=90°．

故答案是：

135°；90°；45°．

【点评】本题考查了角度的计算，以及对顶角相等，理解垂直的定义，以及图形中角之间的关系是关键．

15．如图，过直线AB外一点O，画射线OM，ON，OP，OF，分别交AB于点M，N，P，F，其中ON⊥AB于点N，则能表示点O到直线AB的距离的是线段　ON　的长度．

【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂足间的线段长，可得答案．

【解答】解：

过直线AB外一点O，画射线OM，ON，OP，OF，分别交AB于点M，N，P，F，其中ON⊥AB于点N，则能表示点O到直线AB的距离的是线段ON的长度．

故答案为：

ON．

【点评】本题考查了点到直线的距离，利用了点到直线的距离的定义．

16．（2014重庆模拟）如图，AB∥CB，EF⊥CD于F，∠1=40°，则∠2=　50°　．

【分析】由平行线的性质推知∠1=∠3=40°，然后根据“直角三角形的两个锐角互余”来求∠2的度数．

【解答】解：

如图，∵AB∥CB，

∴∠1=∠3=40°．

又∵EF⊥CD，

∴∠EFC=90°，

∴∠2=90°﹣∠3=50°．

故答案是：

50°．

【点评】本题考查了平行线的性质：

两直线平行，同位角相等．

17．（2014碑林区校级模拟）如图，AB∥DE，若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的大小是　70°　．

【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质可得到∠BCF和∠DCF，可求得答案．

【解答】解：

如图，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠BCF=∠B=30°，∠DCF+∠D=180°，

∴∠DCF=180°﹣∠D=180°﹣140°=40°，

∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=30°+40°=70°，

故答案为：

70°．

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补是解题的关键．

18．如图，已知EF⊥EG，GM⊥GE，∠1=35°，∠2=35°，EF与GM的位置关系是　EF∥GM　，AB与CD的位置关系是　AB∥CD　．

【分析】根据垂直的定义以及同位角相等两直线平行得出即可．

【解答】解：

∵EF⊥EG，GM⊥GE，

∴EF∥GM，

∵EF⊥EG，GM⊥GE，∠1=35°，∠2=35°，

∴∠AEG=∠CGN，

∴AB∥CD．

故答案为：

EF∥GM，AB∥CD．

【点评】此题主要考查了垂直的定义以及平行线的判定，根据同位角相等两直线平行得出是解题关键．

三．解答题（共4小题）

19．（2017春自贡期末）已知：

如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：

CD⊥AB．

【分析】由已知条件结合图形再灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．

【解答】证明：

∵DG⊥BC，AC⊥BC，

∴DG∥AC，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴EF∥DC，

∴∠AEF=∠ADC；

∵EF⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠ADC=90°，

∴DC⊥AB．

【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．

20．如图，已知∠1=∠2，∠MAE=45°，∠FEG=15°，∠NCE=75°，EG平分∠AEC，

求证：

AB∥EF∥CD．

【分析】首先根据平行线的判定得出AB∥EF，进而利用已知角度之间的关系得出∠FEC=∠ECN，进而得出EF∥CD，即可得出答案．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），

∴∠MAE=∠AEF=45°，

∵∠FEG=15°，

∴∠AEG=60°，

∴∠GEC=60°，

∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=75°，

∵∠NCE=75°，

∴∠FEC=∠ECN，

∴EF∥CD，

∴AB∥EF∥CD．

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质得出∠FEC=∠ECN是解题关键．

21．（2013春鼓楼区校级期中）如图，已知：

OE平分∠AOD，AB∥CD，OF⊥OE于O，∠D=50°，求∠BOF的度数．

【分析】利用平行线的性质首先得出∠D=∠DOB=50°，即可得出∠AOD的度数，再利用角平分线的性质得出∠AOE的度数，最后利用邻补角关系求出∠BOF的度数．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠D=∠DOB=50°，

∴∠AOD=180°﹣∠DOB=130°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=

AOD=65°，

∵OF⊥OE于点O，

∴∠EOF=90°，

∴∠BOF=180°﹣∠EOF﹣∠AOE=25°．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质等知识，根据已知得出∠AOE的度数是解题关键．

22．（2013春滨江区校级期中）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．

（1）说明：

∠O=∠BEO+∠DFO．

（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．

（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论请写出你的结论．

【分析】

（1）过O作OM∥AB，根据平行线性质推出∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，相加即可求出答案；

（2）过O作OM∥AB，PN∥AB，根据平行线性质求出∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，代入求出即可；

（3）根据

（1）

（2）总结出规律，即可得出当折点是1，2，3，4，…，n时∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．

【解答】

（1）证明：

过O作OM∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥OM∥CD，

∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，

∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，

即∠EOF=∠BEO+∠DFO．

（2）∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足的关系式是：

∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，

解：

过O作OM∥AB，PN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥OM∥PN∥CD，

∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，

∴∠EOP﹣∠OPF=（∠EOM+∠MOP）﹣（∠OPN+∠NPF）=∠EOM﹣∠NPF，

∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF，

∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF，

∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC．

（3）解：

令折点是1，2，3，4，…，n，

则：

∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是正确作辅助线，并根据证出的结果得出规律，题目比较典型，但是有一定的难度．