第三章作业及答案学生版.docx
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第三章作业及答案学生版
第三章作业及答案（学生版）
习题3-1
1.
而且P{X1X20}1.求X1和X2的联合分布律.解X1和X2的联合分布律
2.设随机变量（X,Y）的概率密度为
k（6xy）,0x2,2y4,
f（x,y）
其它.0,
求:
（1）常数k;
（2）P{X1,Y3};（3）P{X1.5};（4）P{XY≤4}.
解
（1）k
1
.8
38
.
（2）P{X1,Y3}
（3）P{X1.5}
2732
（4）P{XY≤4}
.3
3.二维随机变量（X,Y）的概率密度为
2
kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1,
f（x,y）
其它.0,
试确定k,并求P{（X,Y）G},G:
x2≤y≤x,0≤x≤1.
解k6.P{（X,Y）G}
1
.4
4.设二维随机变量（X,Y）概率密度为
4.8y（2x）,0≤x≤1,0≤y≤x,
f（x,y）
其它.0,求关于X和Y边缘概率密度.
解
fX（x）
x4.8y（2x）dy,0x1,
f（x,y）dy0
其它.0,
fY（y）
2.4（2x）x2,0x1,
其它.0,
14.8y（2x）dx,0y1,
f（x,y）dxy
其它.0,
2
2.4y（34yy）,0y1,
其它.0,
5.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量
1,若U≤1,1,若U≤1,
XY
1,若U1,1,若U1.试求：
（1）X和Y的联合概率分布；
（2）P{XY≤1}.
解
（1）
P{X1,Y1}P{U≤1,U≤1}P{U≤1}
同理,P{X1,Y1}P{U≤1,U1}0；
1
14
2
x
14
;
P{X1,Y1}P{U1,U≤1}
12
；
2
P{X1,Y1}P{U1,U1}P{U1}
于是得到X和Y的联合概率分布为
1
1
1x.44
（2）P{XY≤1}1P{XY1}1P{X1,Y1}1
习题3-2
1.设（X,Y）的分布律为
13
.44
求:
（1）在条件X=2下Y的条件分布律;
（2）P{X≥2Y≤2}.
解
（1）P{X2}0.6,所以在条件X=2下Y的条件分布律为
1,2
P{Y2|X2}0,
P{Y1|X2}
1,61
P{Y4|X2},
3P{Y3|X2}
或写成
（2）注意到P{Y≤2}=0.6.P{X≥2,Y≤2}0.5因此P{X≥2Y≤2}
P{X≥2,Y≤2}
P{Y≤2}
2.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
0.55
.0.66
f（x,y）
1,0x1,0y2x,
0,其它.
11X≤22
求：
（1）（X,Y）的边缘概率密度fX（x）,fY（y）；
（2）P{Y≤
y
2x,0x1,1,0y2,
fY（y）2解
（1）fX（x）
0,其它.其它.0,
z
1,0z2,
（2）fZ（z）Fz（z）2
其它.0,
113
PX≤，Y≤
11322
.（3）PY≤X≤
11224PX≤
42
3.设G是由直线y=x,y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量（X,Y）在G上服从二维均匀分布.求:
（1）（X,Y）的联合概率密度；
（2）P{YX≤1}；（3）关于X的边缘概率密度.解
（1）
1,（x,y）G,
f（x,y）2
0,（x,y）G.
（2）P{YX≤1}=
3
.4
1
（1x）,x[1,3],
（3）fX（x）2
其它.0,
习题3-3
1.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:
求二维随机变量（X,Y）的分布律.
解
1
P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i1,,0;j0,2,5,6.
2
2.设（X,Y）的分布律如下表:
问,为何值时X与Y相互独立?
2
1,3
解可得方程组
111（）.939
解得
29
19
.
经检验,当因此当
29
19
时,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.
时,X与Y相互独立..
99
3.设随机变量X与Y的概率密度为
2
1
be（xy）,0x1,y0,
f（x,y）
其它.0,
（1）试确定常数b.
（2）求边缘概率密度fX（x）,fY（y）.（3）问X与Y是否相互独立？
1
解
（1）b.
1e1
（2）fX（x）
fY（y）
ex
0x1,
f（x,y）dy1e1
其它.0,
ey,y0,
f（x,y）dx
其它.0,
（3）X与Y相互独立.
4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在（0,1）上服从均匀分布,Y的
概率密度为
y
12e,
fY（y）2
0，
y0,
y≤0.
（1）求X和Y的联合概率密度.
（2）设关于a的二次方程为a2XaY0,试求a有实根的概率.
解
（1）
y
12
e,0x1,y0
f（x,y）fX（x）fY（y）2
其它.0,
2
（2）{方程有实根}{X2≥Y}.P{X2≥Y}0.1445习题3-4
1.设二维随机变量（X,Y）的概率分布为
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a,b.
解解得a0.4,b0.1.
2.设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为
求随机变量Z=X+Y的分布律.解
3.设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X服从正态分布N（μ,σ2）,Y服从均匀分布U（-a,a）（a0）,试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.
解
fZ（z）
fX（zy）fY（y）dy
12aa
（zy）2
22
dy
=
1zμazμa[Φ（）Φ（）].2aσσ
4.设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={（x,y）|1≤x≤3,1≤y≤3}上
的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f（u）.
解随机变量U|XY|的概率密度为
1
（2u）,0u2,p（u）2.
其它.0,
总习题三
1.设随机变量（X,Y）的概率密度为
1,|y|x,0x1,
f（x,y）
0,其它.
求条件概率密度fY|X（y|x）和fX|Y（x|y）.
解
1
yx1,
当0y1时,fX|Y（x|y）1y
0,x取其它值.
1
yx1,
当1y≤0时,fX|Y（x|y）1y
0,x取其它值.1
|y|x,
当0x1时,fY|X（y|x）2x
y取其它值.0,
2.设随机变量X与Y相互独立,下表列出二维随机变量（X,Y）的分布律及
关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值,试将其余数值填入表中空白处.
解得到下表
3.设随机变量（X,Y）的概率密度为
ke（3x4y）,x0,y0,
f（x,y）
其它.0,
1,0Y≤2};
（1）求常数k；
（2）求（X,Y）的分布函数；（3）计算P{0X≤
（4）计算fx（x）,fy（y）；（5）问随机变量X与Y是否相互独立?
解
（1）k12.
（2）（X,Y）的分布函数
（1e3x）（1e4y）,x0,y0,
F（x,y）
其它.0,
1,0Y≤2}F（1,2）F（0,0）（1e3）（1e8）.（3）P{0X≤
3e3x,x0,4e4y,y0,
（4）fX（x）fY（y）
0,其它.其它.0,
（5）X与Y相互独立.
4.解
（1）X与Y不相互独立.
（2）Z
（3）V
（4）Umin{
（5）WU
V5.2xy,0x1,0y1,
f（x,y）
其它.0,
（1）求P{X
（2）求Z=X+Y的概率密度fZ（z）.
解
（1）P{X2Y}
7.24
（2）Z=X+Y的概率密度为
2zz2,0z1,
fZ（z）FZ（z）（2z）2,1≤z2,
0,其它.
6.设随机变量（X,Y）得密度为
21
xxy,
（x,y）3
0,
0≤x≤1,0≤y≤2,
其它.
试求:
（1）（X,Y）的分布函数;
（2）（X,Y）的两个边缘分布密度;（3）（X,Y）的两个条
11
件密度;（4）概率P{X+Y1},P{YX}及P{Y|X}.
22
解
（1）分布函数为
x≤0或y≤0,0,
1
x2y（xy）,0x≤1,0y≤2,
43
1
F（x,y）x2（2x1）,0x≤1,y2,
31
x1,0y≤2,12y（4y）,
x1,y2.1,
22
2xx,0≤x≤1,
（2）X（x）3
其它.0,11
y,0≤y≤2,
Y（y）36
其它.0,
（3）当0≤y≤2时,X关于Y=y的条件概率密度为
（x,y）6x22xy
（x|y）.
Y（y）2y
当0≤x≤1时,Y关于X=x的条件概率密度为
（y|x）
（4）参见图
3-10.
（x,y）3xy
.
X（y）6x2
图3-10第9题积分区域图3-11第9题积分区域
P{XY1}
xy1
（x,y）dxdydx（x2xy）dy
1x
1
2
x
12
1365.72
P{YX}
yx
2
dx（x（x,y）dxdyxy）dy
1
317.24
1111P{X,Y}F（,）
11P{Y|X
1122P{XFX（）22
12yxy（x）|1134（2,2）5.1
322
（x）dxX
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