反三角函数及最简三角方程docx.docx
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标准实用
反三角函数及最简三角方程
一、知识回顾：
1、反三角函数：
概念：
把正弦函数ysinx，x,时的反函数，成为反正弦函数，记作
22
yarcsinx.
ysinx（xR），不存在反函数.
含义：
arcsinx表示一个角；角,；sinx.
22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
名称
函数式
定义域
值域
奇偶性
单调性
反正弦函数
y
arcsinx
1,1增
2
奇函数
增函数
2
y
arccosx
arccos（x）
arccosx
反余弦函数
1,1减
0,
减函数
非奇非偶
反正切函数
y
arctanx
R
增
2
奇函数
增函数
2
y
arccotx
arccot（x）
arccotx
反余切函数
R
减
0,
减函数
非奇非偶
其中：
（
）．符号
arcsin
x可以理解为
－
，
]
上的一个角弧度
，也可以理解为
1
[
2
（）
2
区间
[－
，
]
上的一个实数；同样符号
arccos
x可以理解为
[0
，π上的一个角
2
]
2
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（弧度），也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
（2）．y＝arcsinx等价于siny＝x,y∈[－，],y＝arccosx等价于cosy
22
＝x,x∈[0,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
（3）．恒等式sin（arcsinx）＝x,x∈[－1,1],cos（arccosx）＝x,x∈[－1,1],
tan（arctanx）=x,x∈R
arcsin（sinx）＝x,x∈[－，],arccos（cosx）＝x,x∈[0,
22
π],arctan（tanx）=x,x∈（－，）的运用的条件；
22
（4）．恒等式arcsinx＋arccosx＝,arctanx＋arccotx＝的应用。
22
2、最简单的三角方程
方程方程的解集
a
1
x|x
2k
arcsina,k
Z
sinx
a
a
1
x|xk
1karcsina,kZ
cosx
a
a
1
x|x
2k
arccosa,k
Z
a
1
x|x
2k
arccosa,k
Z
tanx
a
x|x
k
arctana,k
Z
cotx
a
x|x
k
arccota,k
Z
其中：
（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三
角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；
（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的
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基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；
（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：
若sin
sin
，则sin
k
（1）k
；若cos
cos
，则
2k；
若tan
tan
，则ak
；若cot
cot
，则a
k
；
（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
二、典型例题：
例1.
例2.
2
2
-
2
-
O
O
2
2
2
-
2
（A）
（B）
1
1
-
2
-
O
O
2
2
2
-1
（C）
（D）
例3.
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例4.使arcsinxarccosx成立的x的取值范围是（）
例5.
例6.
求值：
（1）sin2arcsin
3
（2）tan1arccos1
5
2
3
分析：
问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
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例
7.画出下列函数的图像
（1）yarcsin（sinx）
（2）
y
sin（arccosx）,x[1,1]
例8.已知cos2
7,
（0,）,sin
5,
（,
3）求
（用反三角函数
25
2
13
2
表示）分析：
可求
的某一三角函数值，再根据
的范围，利用反三角
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函数表示角。
例9.已知函数f（x）arccos（x2x）
（1）求函数的定义域、值域和单调区间；
（2）解不等式：
f（x）f（2x1）
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例10.写出下列三角方程的解集
（1）sin（x）2;
（2）2cos3x10;（3）cotx3
82
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例11.求方程tan（3
）3在
0,2
上的解集.
x
4
例12.解方程2sin2x3cosx10
例13.解方程①3sinx
2cosx
0
②2sin2x3sinxcosx
2cos2x
0
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例14.解方程：
（1）3sin2xcos2x1
（2）5sin3x12cos3x6.5
思考：
引入辅助角，化为最简单的三角方程
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例15.解方程2sin2x3cosx0．
例
16.
解方程：
tan（
x
x
）2cot
x
4
）tan（
4
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例17.已知方程sinx3cosxa0在区间0,2上有且只有两个不同的解，求
实数a的取值范围。
[说明]对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得
到方程的解．
（1）sin
sin
，则
2k
或
2k
kZ；
（2）cos
cos
，则
2k
或
2k
kZ；
（3）tan
tan
，则
k
kZ．
三、同步练习：
反三角函数
1.
arctan（tan3
）的值是（
）
5
A.
3
B.2
C.2
D.3
5
5
5
5
2.下列关系式中正确的是（）
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5
5
sin
arcsin
A.arccoscos
B.
3
4
4
3
C.arccoscos
cosarccos
D.arctan
（2）
arccot（
1）
4
4
2
3.函数f（x）
arcsin（tanx）的定义域是
（
）
A.
B.k
k
k
Z
4
4
4
4
C.k
（k
1）
4
kZ
D.2k
2k
kZ
4
4
4
4.在
1,3上和函数y
x相同的函数是
（
）
2
A.yarccos（cosx）
B.yarcsin（sinx）
C.y
sin（arcsinx）
D.ycos（arccosx）
函数
y
arctan
x的反函数是
.
5.
2
6.求y
sinx在,3
上的反函数.
2
2
7.比较arccos5与arccot
（1）的大小.
42
8.研究函数yarccosxx2的定义域、值域及单调性.
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9.计算:
cosarccos4
arccos
5
5
13
10.求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝arccos1;
（2）y＝arcsin（－x2＋x）;（3）y＝arccot（2x－1）,
x
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11.求函数y＝（arccosx）2－3arccosx的最值及相应的x的值。
简单的三角方程
1.解下列方程.
（1）tan2x1
（2）sin5xsin3x
2.方程sin2x＝sinx在区间（0,2π）内的解的个数是.
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3.
（1）
方程tan3x＝tgx的解集是
.
（2）
方程sinx＋cosx＝
2在区间[0,
4π]上的所有的解的和是
.
2
4.解方程sin2x
23
sinxcosxcos2x
0．
3
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参考答案：
典型例题:
例1.分析与解：
例2.分析与解：
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例3.分析与解：
例4.分析与解：
该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范
围，故需把x从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时
取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
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例5.分析与解：
这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。
例6.解：
例7.
（1）函数是以2为周期的周期函数
当x[,]时，arcsin（sinx）x
22
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当x
[,
3
x其图像是折线，如图所示：
]时，arcsin（sinx）
2
2
（2）
∵arccosx[0,]
y
∴y
1
cos2（arccosx）1x2（x
1）
其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：
例8.
解：
∵（0,）∴sin
1cos2
3,cos
4
2
2
5
5
x
又∵
（
3）∴cos
1
sin2
12
2
13
sin（
）
sin
cos
cos
sin
3
12
4
5
56
（
）
（
）
65
5
13
5
13
∵
（0,
）,sin
3
2
∴0
5
2
4
2
又∵sin
5,
（
3）,∴
arcsin5
13
2
13
又∵0
5
∴
5
3
arcsin
4
∴
2
13
4
从而
arcsin56
65
讲评：
由题设
（0,
）,
（
3），得
（,2
）由计算sin（
）
56
2
2
65
∴
arcsin56或
2
arcsin56，但,
是确定的角，因而
65
65
的值也是唯一确定的。
所以必须确定
所在的象限，在以上的解法中，由,
的范围，再根据
sin
cos的值，进一步得到
（0,
）,
（
5
）从而确定
4
4
（,3），故得出正确的答案：
arcsin56
2
65
例9.
解：
（1
）由1
x2
x1得1
5
x
1
5
又
2
2
x2
x
（x
1）2
1
[
1,1]
2
4
4
∴f（x）的定义域为[1
2
5,1
5
]，值域为[0,
arccos1
]
2
4
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又∵x
[
1
5
1
]时，g（x）
x2
x单调递减，y
arccosx单调递减，从而f（x）
2
2
递增
∴f（x）的单调递增区间是[
1
5
1
]，同理f（x）的单调递减区间是[
1
1
2
5
]
2
2
2
（2）f（x）
f（2x
1）即arccos（x2
x）
arccos[（2x
1）2
（2x
1）]
2
1
2
2
即arccos（x2
x）
arccos（4x2
）
4
1
x2
x
1
∴1
4x2
1
1
解不等式组得
1
x
1
∴不等式的解集为（
1,1）
4
2
6
2
6
x2
x4x2
1
4
例10.
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解集{x|x=（kπ+arctg3）2，k∈Z}
例11.
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说明如何求在指定区间上的解集？
（1）先求出通解，
（2）让k取适当的整数，一
一求出在指定区间上的特解，（3）写指定区间上的解．
例12.解：
方程化为2cos2x3cosx30
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说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解．
例13.
②除以cos2x化为2tg2x-3tgx-2=0．
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明关于sinx，cosx的次方程的解法：
方程两都除cosnx（n=1，2，3，⋯）（∵
cosx=0不是方程的解），化关于tgx的方程来解．
例14.思考：
引入助角，化最的三角方程
2x-30°=k180°+（-1）k30°
∴x=k90°+（-1）k15°+15°（k∈Z）所以解集是
{x|x=k90°+（-1）k15°+15°，k∈Z}
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于是x=k60°+（-1）k10°+22°38′，（k∈Z）
∴原方程的解集为{x|x=k60°（-1）k10°+22°38′，k∈Z}
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最简单的三角方程．
例15.解原方程可化为2（1cos2x）3cosx0，
即2cos2x3cosx20．
解这个关于cosx的二次方程，得
cosx2，cosx
1．
2
由cosx2，得解集为；
由cosx
1，得解集为xx2k
2
kZ．
2
3
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所以原方程的解集
xx2k
2
kZ．
3
[明]方程中的sin2
x可化1
cos2x，原方程便可看成以cosx未知数的
一元二次方程，当
0，可用因式分解将原方程化成两个最方程，从而
求得它的解．
例16.解：
tg（x＋
）＋tg（x－
）＝2ctgx⋯⋯⋯①∴1
tgx＋1
tgx＝2⋯⋯⋯
4
4
1
tgx1
tgxtgx
②,
去分母整理得tg2x＝1,tgx＝±3,∴x＝kπ±,k∈Z,
336
由①根据定知x＋
≠kπ＋,x－
4
≠kπ＋,x≠kπ,k∈Z,
4
2
2
即x≠kπ＋,x≠kπ＋3
x≠kπ,而②中又增加了限制条件
x＝kπ＋,k∈
4
4
2
Z,
即从①到②有可能根，x＝kπ＋,算x＝kπ＋是原方程的根，
22
∴原方程的解集是{x|x＝x＝kπ±或x＝kπ＋,k∈Z}
62
例17.
解：
由sinx＋3
cosx＋a＝0得2sin（x＋
）＝－a,sin（x＋
3
）＝－a,－
3
2
2≤a≤2
∵x∈[0,2π],∴x＋
3
∈[
2π＋],
3
3
又原方程有且只有两个不同的解，∴a≠2,a≠－2,即|a|＝2，原方程只有
一解；
又当a＝－
3，sin（x＋
）＝
3，得x＋
3
＝
或2
或7
3
2
3
3
3
解得x＝0或x＝
或x＝2π,此原方程有三个解，∴a∈（－2,
－3）∪（－3,
3
2）.
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