第七章轮廓表示.docx

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第七章轮廓表示

第七章轮廓表示

把边缘连接起来就成为轮廓（contour）.轮廓可以是断开的，也可以是封闭的，封闭轮廓对应于区域的边界，而区域内的象素可以通过填充算法来填满，断开的轮廓可能是区域边界的一部分，也可能是图像线条特征，如手写体笔画、图画中的线条等，区域之间的对比度太弱或边缘检测阈值设置太高都有可能产生间断的轮廓。

轮廓可以用边缘序列表或曲线来表示，曲线通常称为轮廓的数学模型，曲线表示包括线段、二次曲线、三次样条曲线等，下面几种轮廓表示的评价标准：

高效：

轮廓应该是一种简洁的表示。

精确：

轮廓应能精确地逼近图像特征。

有效：

轮廓应适合于后处理阶段的计算。

轮廓表示的精确性由以下三个方面因素决定：

①用于轮廓建模的曲线形式；②曲线拟合算法的性能；③边缘位置估计的精确度，轮廓的最简单表示形式是边缘有序表，这种表示的精确度就是边缘估计的精确度，但其表示的紧凑性是最差的，因此不是一种高效的图像分析表示方法.用适当的曲线模塑来拟合边缘会提髙精确度，这是因为曲线模型拟合边缘时往往具有均值化效应，因而可以减少边缘位置误差.曲线模型也会提高轮廓表示的经济性，为后处理提供了一种更简单、更紧凑的表示，例如，一条直线上的边缘集用一直线来拟合是表示这些边缘的最简单和最有效的方法，这一表示也简化了后处理（如确定线的长度和方向）；另外，由于估计直线与真实直线的均方差小于真实直线与任何其它边缘之间的均方差，因此可以说这种表示也增加了精确度.

轮廓曲线拟合通常采用内插曲线或逼近曲线来实现，已知一组称为控制点的坐标点，内插是指一条曲线拟合这组控制点，使得曲线通过所有的控制点；逼近是指一条曲线拟合这组控制点，使得这条曲线非常接近这些控制点而无需一定通过这些点，在下面几节中，假定由边缘检测器得到的边缘十分准确，并使用内插值方法进行边缘曲线拟合.

在无特别说明的情况下，边缘通常是指边缘点.对大多数曲线拟合算法来说，只需要边缘的位置信息.在很少的几种情况下，既铺要边缘位置信息，也需要方向信息，此时的边缘称为边缘段.

平面曲线函数可以表示为三种形式：

显式y=f（x）;隐式f（x，y）;或参数式（x（u），y（u））,其中u是某一参数.函数的显式表示很少用在机器视觉中，主要原因是平面上的曲线可能卷曲，使得一个x值可能对应曲线上多个y值.

7.1数字曲线及其表示

本节将讨论一组计算曲线几何元素的算法，几何元素包括轮廓长度、正切方向和曲率等.由于相邻象素之间的量化增量是45°,因此，精确计算斜率和曲率是很困难的.

估计正切方向的基本思路是使用边缘表中非邻接的边缘点，这就允许存在一个较大的可能的正切方向集合，设

是边缘表中第i个边缘坐标，k斜率是在边缘表相距k个边缘点的两个边缘点之间的方向矢量，左k斜率是

指向pi-k的方向，右k斜率是

指向pi+k方向，k曲率是左右k斜率之差值。

假定在边缘表中有n个边缘（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）数字曲线的长度可以近似为象素之间的线段和

7.1.1链码

链码是沿着轮廓记录边缘表的一种表示方法.链码规定了边缘表中每一个边缘点所对应的轮廓方向，其中的轮廓方向被量化为4邻点链码或8邻点链码也称4方向链码或8

方向链码，如图7.1所示.图7.2所示的是一条曲线及其8邻点链码的表示，8邻点链码从一个边缘点开始，沿着轮廓按逆时针方向行走，行走方向用八个链码中的一个表示。

链码有一些很特殊的性质.一个物体很容易实现45°角旋转.如果一个物体旋转n×45°,旋转后的物体链码可由原链码加上n倍的模8得到.链码的微分，也称差分码，可由原码的一阶差分求得.链码差分是关于旋转不变的边界描述方法.比如，

图7.2曲线的链码是:

60222220210134444454577012

其真差分链码是2200006277121000017120111

图7.3是图7.2曲线逆时针旋转90°后得到的，

曲线的链码是：

024*********

其差分链码是：

22000062771210000017120111

由此可见，一条曲线旋转到不同的位置将对应不同的链码，但其差分链码不变，即差分链码关于曲线旋转是不变的。

区域的一些其它性质,如面积和角点，也可以由链码直接求得.这种表示的局限性是表示某一点正切方向的集合是有限的（4邻点链码有4个，8邻点链码有8个），这一局限性可以通过下面几节介绍的曲线表示方法来克服.

7.1.2斜率表示法

用任意的正切方向来表示轮廓可以克服链码的有限正切方向表示轮廓的局限性.假定从边缘表开始，使用上面给出的公式计算正切和弧长，可以画出正切Φ同弧长s关系图，称作Φs图，Φs图是轮廓形状在Φs空间的表示，是一种轮廓形状的紧凑描述.图7.4所示的是包含有直线段和圆弧段的轮廓在Φs空间中的表示,它是一个直线段序列.对于封闭轮廓，Φs图是一个周期曲线.在Φs图中，水平方向的直线段对应轮廓中的直线段，这是由于直线段对应的斜率是恒定值.其它方向的直钱段对应圆弧段，非直线段部分对应曲线基元.

如果把Φs图分割成直线段，也就把轮廓分割成直线段和圆弧段.许多研究人员采用这一方法来分割轮廓，由此产生了多种轮廓分段方法.

7.2曲线拟合

本章将讨论三种常用的曲线模型拟合边缘点的方法：

直线段，圆锥曲线段和三次样条曲线段.一般来说，在用曲线模型拟合边缘点之前应考虑如下两个问題：

1用什么方法进行边缘点曲线模型拟合？

2如何测量拟合的逼近程度？

下面几节将讨论曲线模型拟合边缘点方法，其中假设边缘位置足够精确，不会对拟合结果产生影响.

设d1是边缘点到一条拟合曲线的距离，该距离值有正负符号，在曲线同一侧的边缘具有相同的正负符号.目前有许多种拟合曲线与候选边缘点拟合效果的测量方法，每一种都取决于拟合曲线和候选点之间的误差.下面是一些常用的方法.

1最大绝对误差（maximumabsoluteerror,MAE）

测量最坏情况下边缘点偏离曲线的距离

2均方差（meansquarederror，MSE）

给出边缘点偏离拟合曲线的总的测度

3规范化最大误差（normalizedmaximumerror，NME）

最大绝对误差与曲线长度S之比

4误差符号变化次数

这里的误差就是指d1，即边缘点偏离拟合曲线的距离.误差符号变化次数可作为轮廓边缘模型与边缘点曲线适合程度的测度.

5曲线长度与端点距离之比

曲线复杂程度的测度.

符号变化是一种评价拟合好坏的很有用的参数.比如，用直线段逼近边缘表.如果符号变化一次，则说明边缘点可以由直线段来逼近，符号变化两次，说明边缘可以由二次曲线逼近，符号变化三次，说明边缘模型是三次曲线，依此类推.如果符号变化数量很大，则意味着曲线复杂度增加一点将不能显著地改善拟合效果.一种好的拟合所对应的符号变化具有随机模式.相同符号连续出现多次说明存在拟合系统误差，这种误差可能是由于错误的曲线模型引起的。

曲线拟合模型的选择取决于应用场合.如果场景是由直线段组成，则使用直线段（或多线段）模型比较合适。

直线段模型也可作为其它拟合模型的初始拟合模型.圆弧段是估计曲率的最有用的一种表示，因为曲线可以分割成具有分段恒定曲率的曲线段.圆锥曲线段是一种表示直线段和圆弧段序列以及椭圆和高次弧段序列的有效方法.三次样条曲线适合于平滑曲线模型，因为三次样条曲线并不要求正切矢量和曲率的估计值一定是分段恒定的。

7.2.1多直线段

多直线段是指端点连接端点的直线段序列，直线段序列的连接点称为顶点.多直线段适合具有线段序列的边缘列表的拟合.多线段算法的输入值是边缘点有序表{（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）}。

边缘点坐标可以计算到子象素精度.由于线段的两个端点对应两个边缘点，即线段拟合在这两个边缘点之间进行，因此仅需要精确计算对应端点的两个边缘点的坐标。

拟合边缘表并把第一个边缘点（x1，y1）和最后一个边缘点（xk，yk）连接起来的直线段公式如下：

规范化最大误差常作为线段拟合边缘列

表好坏的置度.需要指出，上面的公式都是在点

向直线段的垂直投影落在线段内这个假设下进

行的.对于其它情况,则应修正公式，以便计算

点到最近的线段端点的距离.下面介绍两种拟

合多线段的方法：

自顶面下的分裂和自底而上

的合并.

1.多直线段分裂

自顶而下的分裂算法（top-downsplitting）

是将整条曲线作为初始曲线，通过反复增加顶点

数来进行直线段拟合曲线。

考虑图7.5所示的边

缘点曲线（可以认为是由离散边缘点构成），将

第一个和最后一个边缘点连成的直线作为曲线的

初始拟合，用AB标记.在边缘表中计算规范化最

大误差，如果该误差值髙于某一阈值，则在离直

线段最远的边缘点上设置一个顶点，用C来标记，

从而形成两个拟合直线段AC和CB,边缘表也分割

成对应于两个新直线段的两个子边缘表.在每一个

子边缘表中，重复上面所述的分裂算法，形成两个新的直线段及对应的两个更小的子边缘表.这样的分裂过程可以一直进行下去，直到所有的直线段对应的规范化最大误差均低于某一阈值为止.多线段分裂也称为迭代分解。

2.线段合并

线段合并（merging）是指用一条直线段尽量多地拟合边缘表中的边缘点.当边缘点离直线段太远而无法用该直线段拟合时，则开始新的直线段拟合.合并方法也称为自底而上合并（boltom-upmerging）的多线段拟合方法.

确定边缘点离直线段的距离有许多种方法.一种方法是使用序贯最小二乘法，完成直线段到边缘点的最小二乘法拟合，并在每次处理新的边缘点时递增地更新线段参数.拟合算法将计算边缘点与直线段模型之间的偏差（残差）平方.当偏差超过某一阈值时，引进一

个顶点，并将上—个线段的端点作为新的起点开始新的直线段拟合。

误差带算法是另一种确定顶点位置的方法，如图7.6所示，主要工作是计算两条平行且离中心线距离为ε的直线段，ε值表示离中心直线的绝对偏离值,拟合直线段就位于误差带内.当新的边缘在误差带内，就可以用当前拟合直线表示该边缘，然后重新计算误差带的位置.拟合直线段不必与误差带边保持平行.位于线段端点的顶点是下一线段的起点.显然，这一方法常产生大量的线段.由于拟合直线段行进到误差带边界时才产生角点，因此，不能精确估计角点位置和角度。

3.分裂和合并

自顶而下的迭代分解方法和自底而上的合并方法组合起来，形成合并和分裂算法.单独使用分裂或合并算法时，成功率往往不是很高，改进的方法是交叉使用分裂和合并算法.分解过程以后，如果新的线段能以很小的规范化误差拟合边缘，则可用单一直线段代替相邻的几个线段.请注意，由于多直线段总是比单直线段的拟合误差小，因此很有必要使用规范化误差.在线段合并后，新的线段可能在不同点处分裂.这样，分裂和合并交替作用直到没有线段被合并和分裂为止，图7.7所示的是先分裂后合并来修补坏顶点位置的示意图。

一种有效的分裂和合并算法是从边缘表中的前k个边缘构成的子列表开始，而不是整个边缘列表.用直线段拟合子表中第一和最后一个边缘点之间的边缘点.如果某点的规范化最大误差太大,则将子列表缩到最大误差对应的边缘点处，这样一直进行下去，就可以得到第一条拟合直线段,这实际上是分裂算法.置当前拟合的直线段为旧线段，再在剩下的边缘点集中取前k个边缘构成新子列表,用分裂算法求取第二条拟合直线段.比较当前直线段和原直线段的方向，如果它们具有相似的方向，则将这两条直线段合并，这是合并算法。

实际的轮廓曲线并不全是由直线段组成，可能还包含有各种弧线或肖由曲线.因此，仅使用直线段得到的拟合结果比较粗糙，人们自然想到了用弧线段逼近.通常的弧线有二次、三次或更高次的曲线，这些通称为多项式曲线，下面主要讨论次曲线和三次样条曲线.

7.2.2二次曲线

下面讨论如何用二次曲线逼近边缘表.二次曲线的一般表示如下：

二次曲线也称圆锥曲线，因为二次曲线都是用平面

切割正圆锥面的截线，如图7.8所示.若平面不通过锥顶

，且不平行任一母线,则截线为椭圆，其中圆是椭圆的一

种特殊情况，此时的平面垂直于锥轴；若平面不通过锥

顶但平行于一条母线时，截线为抛物线；若平面不通过

锥顶，且平行于锥轴，截线为双曲线.当平面通过锥顶时

椭圆变为一点，双曲线变为一对相交的直线，抛物线变

为与圆锥相切的一条直线.由此可见，使用二次曲线来逼

近数字轮廓曲线，可以有效地拟合数字曲线中的直线和

圆弧等各种二次曲线.由于二次曲线中除了特殊的直线

外，最简单的情况是圆弧，因而得到了大量的研究.我

们将单独讨论圆弧逼近方法.

1.圆弧段

用直线段逼近边缘表以后，其中的一些直线段序列可以由圆弧段来代替，比如，用直线段拟合一个圆弧可能需要许多个直线段才能满足拟合误差，如果对这些直线段用圆弧段来拟合，则仅需要一条圆弧段即可，因此可见，圆弧段拟合此直线段能拟合得更紧凑，下面讨论的圆弧拟合是在多边形顶点上进行的。

具有半径r和圆心坐标（x0，y0）的圆弧隐式方程为

子得到圆的半径。

用圆弧段拟合多直线段时，圆弧段的网个端点要经过多直线段的某构个顶点，第三个点位于这两个顶点之间，第三个点可能有如下几种情况：

①离两个顶点定义的直线最远的多直线段顶点；

②离两个顶点定义的直线最远的边缘点；

③两个顶点之间所有顶点的中点；

3两个顶点之间所有边缘的中点。

计算所有边缘点和圆弧段之间的距离误差，检查最大绝对误差和符号变化次数，如果规范化最大误差低于某一阈值，而符号变化次数很大,则接受这一圆弧段；否则，保留多线段逼近.关于圆弧段逼近的文献很多,感兴趣的读者可以参见文献[Jiar1992，Chen1996]。

用直线段和圆弧段可以有效地表示数字轮廓曲线，但是用两种不同的线段基元表示轮廓会造成不便.下一节讨论的圆锥曲线允许直线段、圆弧段和其它基元共同出现在同一种表示中.圆锥曲线段表示也提供了曲线之间平滑过渡的方法，也是角点的显式表示。

2.圆锥曲线

圆锥曲线可以拟合轮廓多直线段上的三个顶点.将圆锥曲线段连接在一起的点称为结点.圆锥样条曲线是圆锥曲线的一个序列，它们的端点和端点连接在一起，在结点处具有相等的正切，使两个邻接曲线段之间平滑过渡.设多直线段端点为Vi，圆锥逼近如图7.9所示。

圆锥样条中的每一个圆锥曲线由两个端点、两个正切和第三点确定.结点位于多线段顶点之间

这里所示的计算圆锥样条算法使用了一个圆锥曲线的引导形式，以表示由三条直线约束的圆锥曲线，如图7.11所示.直线方程为

设多直线段中的第一和最后一个顶点为A和B，C是多线段的中间顶点，用弦连AB连接第一和最后一个顶点.圆锥曲线导向形式是端点位于A和B的圆锥曲线族，正切AC和BC由下面方程定义

锥曲线来代替.软顶点序列对应于缓变方向角的直线段序列,很可能是对光滑曲线的采样点进行拟合的结果.角点对应的顶点角大180°+T1,或小于180°-T1，其中T1是阈值，角点不可能成为圆锥曲线的一部分.结点位于某一条直线段上，该直线段的端点上具有软顶点.一个圆锥曲线不可能有拐点，所以两个圆锥曲线只能通过结点来连接.结点在直线段上的位置由直线段端点的软顶点相对角度确定.设两个软顶点Vi和Vi+1的角度分別是Ai和Ai+1.如果Ai=Ai+1,那么结点可以位于顶点的中间，也就是说，在式（7.16）中V=1/2.由于圆锥曲线不可能偏离直线段而足够迅速地弯曲去跟踪角点，因此如果角度不相等，那么，结点位置应该偏离具有较大角度的那个角点.式（7.16）的V值可以由下式计算

由软顶点连接的每一个直线段序列可由穿过第一和最后一个顶点（或结点）的导向圆锥代替.第一和最后一个直线段的方向角定义了正切.正切和端点确定圆锥5个自由度的4个.让圆锥穿过位于序列中央的软顶点可以完全确定圆锥。

7.3样条曲线

早期绘图员在制图时,使用一种富有弹性的细长条，称为样条.用压铁将样条固定在若干样点上,然后沿样条可以画出很光滑的曲线，人们将该曲线称为样条曲线.从数学上讲,样条曲线是用分段多项式表示的一个函数，在其连接点处具有连续的一阶和二阶导数。

样条曲线有着许多应用.在数据分析中，当没有合适的函数模型时，可以选用样条函数拟合数据点.在计算机图形和计算机辅助设计中，样条函数用来表示自由曲线.在机器视觉中，若没有表示曲线的合适模型时，样条函数可以提供曲线的通用表示形式。

需要指出，几何等效和参数等效是两个不同的概念.两条曲线在几何上等效，是指它们连接相同的点集，即它们在空间上对应着相同的形状（或点集）.如果两条曲线的方程一样，则两条曲线在参数上等效.显然，参数等效比几何等效更稳定.两条曲线可以是几何上等效但可以具有不同的参数表示式，这是机器视觉中曲线拟合的一个重要概念.比如，机器视觉系统可以产生基于三次样条曲线的表示，其在几何上非常接近于物体轮廓的真实表示，但在参数意义上，表示可能完全不同.在物体识别应用方面和工业零件图像与其模型匹配应用中，通过比较三次样条曲线的参数实现匹配几乎是不可能的，在这种情况下，比较必须基于几何等效性。

7.3.1三次样条曲线

样条函数最常见的形式是三次样条函数，它是分段三次多项式的一个序列.上一节所讨论的直线段、圆弧段和圆锥曲线序列是样条函数的典型实例.三次样条函数可以用很少几个样条段表示很复杂的曲线.二次样条函数已经广泛用于计算机图形学和字符轮廓表示。

三次样条具有足够的自由度来逼近边缘段位置和方向.我们知道，大多数边缘检测算法同时提供边缘方向（梯度角）和边缘位置估计.在直线段、圆弧段和圆锥曲线的拟合中仅仅使用了边缘的位置信息.下面介绍一种在三次样条曲线拟合中如何使用由边缘检测器产生的方向信息的例子。

平面三次曲线方程如下：

和前面讨论的曲线拟合算法一样，把边缘点序列分成一个个子序列，每一个子序列的第一个和最后一个边缘点为样条曲线的结点，然后再用样条段拟合这些结点.由式（7.21）可知，样条中每一个三次曲线段都需要确定四个二维矢量共计八个参数，其中，曲线段的两个端点（或结点）共提供四个约束,结点处的一阶连续性（等正切矢量）提供另两个约束，结点处的方向信息仅提供一个附加约束（由于结点由两个样条段共享），结点处的二阶连续性（等曲率）提供两个约束，这样所产生的方程数量为九个，多于三次样条段所需的八个参数。

在结点处光滑连接样条段是非常重要的.在计算机图形学中，光滑连接是通过增加二阶连续性来实现.由上面分析可知，二阶连续性会提供两个约束，从而对样条段产生过约束.为了避免过约束，同时又要使结点处光滑，可以采用结点处二阶不连续性的极小化条件，也就是说把结点处的曲率差值极小化作为一个约束代替二阶连续性提供的两个约束。

对于整个三次样条曲线，求n-1个节点处二阶导数差值平方和的极小化

换句话说，在结点处的边缘方向可以用一个单位矢量表示，但三次样条需要具有大小及正负号的正切量，以表示穿越结点的方向和速度.用该算法求解线性系统方程，可以得到n个未知数yi，由此提供构造结点之间三次样条段的丢失信息。

本算法没有任何附加参数和阈值，但是，同前面介绍的多线段、圆弧段和圆锥截面拟合算法一样，结点必须从边缘表中选出.使用上面所述的多线段算法进行轮廓多线段逼近可以确定结点位置

.多线段顶点也可以作为结点的位置.调节结点的位置和数量可以改善三次样条对整个边缘点集的拟合效果。

三次样条拟合算法仅仅需要求解一个小的线性系统就可以得到正切值的符号和量值，因此该算法十分有效.如果需要的话，可以使用交互式图形界面，在其上可以很方便地调节三次样条曲线。

7.2.3B样条曲线

B样条曲线是由结点引导的逐段多项式曲线，是一种平滑和内插技术样条与上述样条曲线不同，它不必通过结点（将这种结点称为引导结点）.B样条曲线的三次多项式是最常用的，因为这些样条曲率连续度为最低.已知引导结点序列为P0，p1，…，pn,则三次B样条多项式为:

显然这四个多项式都是非负的，根据式（7.27），曲线上的任何点都是四个控制结点的插补，即曲线段包含在由四个控制结点确定的方块内.如图7,13所示.通常，m次的H样条包含在由m+1控制点确定的多边形内.由于B样条的优良特性和对于任何控制点导数的连续性，故在实际中较为常用。

7.4曲线回归逼近

目前有许多曲线逼近方法，其区别主要取决于边缘点组成轮廓点的可靠度.如果将所有边缘点连接起来可以组成一个轮廓，那么就可以用最小二乘回归法来进行边缘点曲线拟合.如果存在组合误差（groupingerror）,则可以使用鲁棒回归方法来进行曲线逼近.如果边缘点组成的轮廓不可靠，或者边缘点太分散以至于无法用连接或跟踪方法来组成轮廓，那么必须使用聚类分析（dusteranalysis）技术同时进行边缘点的组合和曲线逼近.同时用组合和曲线逼近方法处理分散边缘点算法的最好例子是Hough变换，这一内容将在下面讨论。

前面几节讨论的直线段、圆弧段、圆锥曲线和三次样条拟合边缘点的方法属于一般回归问题，主要用于端点之间的曲线拟合.这些算法都假定边缘的位置可以精确计算.这种回归算法没有使用端点之间的边缘点信息，因此曲线的拟合精度主要取决于端点的位置精度.本节讨论的曲线最佳逼近方法将使用所有边缘点信息.

一般曲线拟合问题是一个曲线的回归问题，曲线用P个参数的隐函数表示

在无噪声情况下，通过P次观测产生的P个方程来求解P个未知曲线参数.徂是在大多数场合，由于噪声的原因，这一直接方法不是很有效.实际的应用常需要使用边缘表中所有信息来获取这些参数的最佳估计。

下一节我们将讨论最小二乘回归方法，这种方法在计算机视觉中主要用于曲线拟合.当误差服从正态分布时,最小二乘方法是最合适的拟合方法.7.4.3节将讨论曲线拟合的鲁棒回归法，这种方法在些边缘点被错误地分配到某一轮廓时特别有用，这种错误点被称为局外点（Outlier）.

7.4.1全回归方法

经典线性回归方法仅仅在一维独立变量空间中对数据与模型的差值求极小化.比如，一个函数模型具有下列形式

全回归方法使用了最小二次误差范数，如果误差服从正态分布，则误差范数是最优的.该方法不适用于数据中有局外点的情况.在用曲线模型拟合边缘点时，如果边缘连接算法从其它轮廓上吸收一个或一个以上边缘点到本轮廓边缘表中，即产生了边缘局外点.即使边缘连接算法完美无缺，也免不了局外点的产生.例如，考虑对应一个矩形两条邻接边的边缘表,在用直线拟合边缘前，必须识别出角点以便把边缘表分割成两条边.如果不能正确地识别角点，那么，一些边缘点可能被分配给错误的边，这些边缘点即为局外点。

通常在分类时产生的误差会引入到回归问题里，其中的误差不服从正态分布.在这种情况下，误差可以由一个混合模型来表示，即把描述正态分布误差的高斯分布函数和描述由于分类不理想而引起局外点的拖尾分布函数混合起来。

7.4.2角点估计

角点估计的最佳方法是使用直线段逼近边缘点来求出直线段序列，然后计算直线段之间的交点.这一方法补偿了由边缘检测算子对角点的平滑作用而引入的误差，并且比利用局部信息的角点检测算子求出的角点更精确。

已知两条直线的隐函数方程为

7.4.3鲁棒回归法

如果误差不服从正态分布，那么最小二乘法就不是最佳拟合方法.图7.14所示的是数据集合包含一些局外点时,使用最小二乘法所遇到的问题的一个例子.在实际中，可能一个局外点就足够把回归直线推向远离其正确的位置.鲁棒回归方法要对数据的各种子集进行测试，从中选择一个产生最佳拟合的子集。

图7.15是一个物理模拟图，可以使问題变的更加清楚.设想一下你准备求出平面上一组点的质心.把具有相同弹簧系数的若干弹簧的一端连接到一个可以自由运动的物体上，另一端分别系在不同的固定点上，物体将会被