二元一次方程应用题13种经典习题.docx
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二元一次方程应用题13种经典习题
考点一-----二元一次方程概念与解法
例1．已知
是二元一次方程组
的解，则2m－n=
例2．小明和小佳同时解方程组
，小明看错了m，解得
，小华看错了n，解得
，你能知道原方程组正确的解吗？
总结分析：
灵活学会“方程解”概念解题。
【巩固】已知方程组
和方程组
的解相同，求
的值。
考点二-----解决实际问题
列方程（组）解应用题的一般步骤
1、审：
有什么，求什么，干什么；
2、设：
设未知数，并注意单位；
3、找：
等量关系；
4、列：
用数学语言表达出来；
5、解：
解方程（组
）．
6、验：
检验方程（组）的解是否符合实际题意．
7、答：
完整写出答案（包括单位）．
列方程组思想：
找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.
列二元一次方程----解决实际问题
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
二、工程问题
三个基本量的关系：
工作总量＝工作时间×工作效率；
工作时间＝工作总量÷工作效率；
工作效率＝工作总量÷工作时间
甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，
注：
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
总结升华：
工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
三：
商品销售利润问题
利润问题：
利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%
有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
四、银行储蓄问题
银行利率问题：
免税利息=本金×利率×时间，
税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
五、生产中的配套问题
产品配套问题：
加工总量成比例
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
六、增长率问题
增长率问题：
原量×（1＋增长率）=增长后的量
原量×（1＋减少率）=减少后的量
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
七、和差倍分问题
和差倍总分问题：
较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量
“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
【变式】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
八：
数字问题
首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
九：
浓度问题
溶液×浓度=溶质
现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
【变式】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
十、几何问题
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
十一、年龄问题
人与人的岁数是同时增长的
今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
二、优化方案问题：
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
1.用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身25个，或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
设x张铁皮做盒底，y张铁皮做盒身
40x=2X25y
x+y=36
解得x=20
y=16
2.甲乙两人从A地出发到B地，甲步行乙骑车，若甲先走6千米，则在乙出发45分钟后两人同时到达B地，若甲先走1小时，则乙出发后半小时追上甲，则AB两地的距离是多少？
解：
设甲的速度为x,乙的速度为y,根据题意列方程得：
6+45/60x=45/60y
x=0.5（y-x）
解方程组得：
x=4，y=12，所以
AB两地的距离=12*45/60=6+4*45/60=9（千米）。
3.张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分．两种型号的信封的单价各是多少？
解：
设购买A型号的信封x个，B型号的信封y个，则
解得：
x=15，y=15
∴A型号的信封的单价为1.5÷15=0.1（元），
B型号的信封的单价为1.2÷15=0.08（元）．
4.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼有4道门，其中两道正门，大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：
当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以同时560名学生：
当同时开启一道正门和一道侧门时，1分钟内可以通过200名学生。
（1）；求平均每分钟一道正门和一道侧门个可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%安全检查规定，在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过4道门安全撤离。
假如这栋教学大楼每间教室最多有45名学生。
问：
建造的这4道们是否符合安全规定？
请说明理由
就假设正门每分钟通过的人数为X，侧门每分钟通过的人数为Y
第一问可以列出两个式子：
2（x+2y）=560；x+y=200
得到x=120，y=80
第二问就很简单啦。
一共4层楼，每层8间教室，每间教室最多45人，也就是说学生最多有4*8*45=1440名学生。
2个正门和2个侧门每分钟应该能够通过的人数是400人，而紧急情况时效率降低20%也就是说通过的人数是400*80%=320人/分钟。
那么5分钟内能够通过5*320=1600人。
符合安全规定
5.一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度？
方法一、设净水速度为x水流速度y
3（x+y）=36
3（x-y）=24
两式相加6x=60
求得x=10y=2
方法二、
净水速度和顺水速度速度差为两倍的水流速度
水流速度为：
（36-24）÷3÷2=2
净水速度：
36÷3-2=10
6.某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：
若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。
已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。
（1）初一年级人数是多少？
原计划租用45座汽车多少辆？
（2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？
设计划租用45座客车x辆,60座客车x-1辆，春游的初一学生为y人，则：
45x+15=y
60（x-1）=y
得出45x+15=60x-60,x=5
y=240
（2）若租用45座客车，要使每位同学都有座位，需要6辆，故费用为6*220=1320元
若租用60座客车，要使每位同学都有座位，需要4辆，故费用为4*300=1200元
比较后，不难发现，租用60座客车，比较合算。
6.王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去成本44000元。
其中种茄子每亩成本1700元，获纯利2250元；种西红柿每亩成本用去了1800元，每亩获纯利2400元。
王大伯一共获纯利多少元？
设王大伯种茄子x亩，西红柿y亩：
x+y=25
1700x+1800y=44000
即：
17x+17y=25*17
17x+18y=440
解方程组：
x=10，y=15；
王大伯一共获纯利:
2250x+2400y=2250*10+2400*15=58500（元）.
7.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：
每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？
如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
设粗加工天数为X，精加工天数为Y，则可立方程：
、
X+Y=15
16X+6Y=140
解方程可求得：
X=5,Y=10
即安排5天粗加工，10天精加工
则获得的利润为
5*16*1000+10*6*2000=200000元
8.根据下图给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格。
9.某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助．资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
年级
捐款数额（元）
捐助贫困中学生人数（名）
捐助贫困小学生人数（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
（1）求a、b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三学生年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入表中．（不需写出计算过程）
（1）先由前两个已知条件列方程:
2A+4B=4000
3A+3B=4200
解得:
A=800B=600
（2）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助,现在已经捐款2+4+3+3=12名,所以剩下23-12=11名,设初三年级助贫困中学生人数X名,捐助贫困小学生Y名，列方程得：
X+Y=11
800X+600Y=7400
解得：
X=4Y=7
既初三年级助贫困中学生人数4名,捐助贫困小学生7名
10.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？
若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
解：
设书包的单价为x元，随身听的单价为y元
根据题意，得
解这个方程组，得
答：
该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：
（元）
因为
，所以可以选择超市A购买。
在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：
（元）
因为
，所以也可以选择在超市B购买。
……4分
因为
，所以在超市A购买更省钱。
……5分
11.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，求甲乙股票各买了多少元
设甲股票买了X元，乙股票买了Y元，有方程组
X+Y=24000
X*115%+Y*90%=24000+1350
解得
X=15000
Y=9000
12.某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
这个班有男生x，女生y人
2（x-4）+（y+3）/2=68
x-4+（y+3）/2=40
x=32
y=21
这个班有男生32人，女生21人
13.甲乙两人在A地,丙在B地,他们三人同时出发,甲乙与丙相向而行,甲每分走120米乙每分钟走130米，丙每分钟走150米。
已知丙遇上以后，又过了5分钟遇上甲，求AB两地的距离。
设AB距离为x米
x/（130+150）+5=x/（120+150）
x/280+5=x/270
x=37800米
如果一定要二元一次，那么：
设乙丙相遇用了x分钟，甲丙相遇用了y分钟
y-x=5
（130+150）x=（120+150）y
解得：
x=135
y=140
AB相距：
（130+150）x=280*135=37800米
14.有2个比50大的两位数,它们的差是10;大数的10倍与小数的5倍的和的1/20是11的倍数，求这两个数分别是多少？
所求的两位数为52和62.
解设这两个数中的大数为x，小数为y
则
x-y=10
10x+5y=20*11*n（n为正整数倍数）
当n=1时
y=8不合题意
当n=2时
y=22.7不合题意
当n=3时
y=73.3不合题意
当n=4时
y=52合题意,比50大的两位数
此时x=62
15.某天，一蔬菜经营户用60元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40千克到市场去卖，西红柿和豆角，这天的批发价与零售价分别为：
问：
他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
解：
设批发了西红柿x千克，豆角y千克
1.2x+1.6x=60
x+y=40
（没大括号）
x=20
y=20
西红柿：
20*（1.8-1.2）=12（元）
豆角：
20*（2.5-1.6）=18（元）
共30元。
16.在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．
下面是小明爸爸、妈妈的一段对话．
请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入．（收入-投资=净赚）
老李（爸爸）说：
阿菊，我算了一下，今年我们家菠萝的收入比去年增加了35%，不过投资也增加了10%．
阿菊（妈妈）说：
老李，没关系．你看我们家去年只净赚8000元，今年却净赚了11800元．增加投资值得！
小明：
哎，我们家今年菠萝收入多少钱呢？
解：
设去年的收入为x元，投资为y元，则今年的收入为（1+35%）x元，今年的投资为（1+10%）y元，由题意得：
x-y=8000
（1+35%）x-（1+10%）y=11800
，
解得：
x=12000
y=4000
故今年菠萝收入为：
（1+35%）12000=16200元
答：
今年小明家菠萝收入为16200元．
17.一件商品原价a元,先提价10%,再降价10%,则现价为多少元？
18.初三2班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况：
1.两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元
2.A超市销售额今年比去年增加15％
3.B超市销售额今年比去年增加10％
请你分别求出A、B两个超市去年“五一节”期间的销售额
列方程组：
x+y=150
（1+15%）x+（1+10%）y=170
解得：
x=100,y=50
19.某学校现有校舍面积20000平方米，计划拆除部分旧校舍，改建新教学楼，是校舍面积增加30%，若建造新教学楼面积为拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，新教学楼面积是多少？
设拆除旧校舍x平方米，建新校舍y平方米
20000-x+y=20000x（1+30%）
且y=4x
解得
x=2000平方米
y=8000平方米
拆除2000平方米旧校舍，新教学楼面积8000平方米
20.某跑道一圈长400米若甲乙两运动员从同一起点同时出发相背而行25秒后相遇若甲从起点先跑2秒钟，乙从该点同向出发追甲，再过3秒钟后乙追上甲，求甲乙两人的速度
解设甲的速度为x米/秒，乙速度为y米/秒，根据题意得：
25x+25y=400
2x+3x=3y
解得：
x=6
y=10
答：
甲的速度为6米/秒，乙速度为10米/秒。
21.第一个容器的水有49升水，第二个容器有56升水，如果将第二个容器的水倒满容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器的二分之一；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是这个容器的三分之一，求两个容器的容量。
设第一个容器的容量x升
第二个容器的容量y升
56-（x-49）=（1/2）*y
（1）
49-（y-56）=（1/3）*x （２）
解（１）（２）方程组得：
y=84,x=63
第一个容器的容量63升
第二个容器的容量84升
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