数学建模.docx
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数学建模
海南师范大学大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了海南师范大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）：
参赛队员（打印并签名）：
1.夏林
2.孔倩
3.张丽琛
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2013年4月30
一、摘要………………………………………………2
二、问题的重述………………………………………3
三、问题的分析………………………………………3
四、建模的过程………………………………………4
1.模型假设……………………………………4
2.符号定义说明………………………………4
3.模型建立……………………………………5
4.模型的求解与分析…………………………9
5.模型检验……………………………………13
五、模型评价…………………………………………13
六、参考文献…………………………………………13
七、附录………………………………………………14
大学食堂窗口开设问题
一、摘要
大学校园学生数目日益剧增，食堂开设的打饭窗口供不应求，而开设新窗口的成本愈来愈高，如何实现食堂窗口数目的合理化，从而使大学生排队打饭的效率得以提升，同时为食堂带来最大的经济收益问题，是本文主要探究的对象。
对于问题一，我们小组从题中给出数据出发，对表中数据进行分析，根据排队论知识，运用matlab软件绘画出食堂人流的图形，进而验证得出食堂人流模型服从泊松分布。
对于问题二，我们小组从学生满意度、食堂运营成本、食堂的服务效率三个方面出发，利用层次分析法，确立食堂服务综合评价模型。
进而通过平均等待时间、排队等待人数、服务强度等因素的判断出食堂开设4个窗口是合理的，其综合评价合理度为I=0.82。
对于问题三，我们小组不考虑一天中上午、下午开设窗口数可能不同的情况。
由数据分析得出各个工作日不同时间段服务的参数值分布情况，结合排队理论知识与问题二的综合评价模型，运用线性规划的方法，得出窗口个数为5时，其合理度最大。
关键词：
排队论、食堂综合评价模型、泊松分布、层次分析法
二、问题的重述
食堂开设新窗口需要一定的成本，快捷的就餐方式是大学生高效率生活的保障（服务每位同学所需时间一般为35s~55s），根据提供的资料，回答下列问题：
某大学食堂一周内的学生打饭人数统计表：
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
中午
11:
00至11:
15
73
54
59
75
81
84
54
11:
15至11:
30
76
75
80
69
92
95
59
11:
30至11:
45
88
94
96
89
98
97
89
11:
45至12:
00
120
95
139
156
73
120
116
12:
00至12:
15
40
53
56
66
51
57
49
晚上
17:
00至17:
15
28
40
35
54
62
35
51
17:
15至17:
30
33
45
59
58
83
57
51
17:
30至17:
45
59
81
71
99
70
78
70
17:
45至18:
00
75
83
79
80
65
82
74
18:
00至18:
15
68
63
62
51
58
65
57
（1）描述食堂人流的模型；
（2）假设饭堂共有八个买饭窗口，如果时常开四个窗口，请分析其合理与否？
（3）建立模型描述该食堂开设多少窗口打饭能够满足学生的需要，增加食堂的收益？
三、问题的分析
本题的目的在于通过对学校食堂排队系统进行建模分析，使得食堂能够良好的运营。
我们通过对食堂某个星期内全部工作日时段排队打饭的学生情况进行统计，运用数学软件MATLAB编程对收集到的数据进行分析，拟合出整个系统中数据呈现的规律或概率以及学生等待时间、学生排队队列长、食堂为每位学生打饭的时间等随机事件的规律或概率。
再根据实际数据代入数学模型计算得出相应数值，反映出食堂服务系统的服务效率，得出服务率最高的时候目标函数的值，从而解决问题。
四、建模过程
4.1模型假设
4.1.1食堂开放时间固定不变，忽略放假，装修等变动；
4.1.2学生来食堂就餐是相互独立的，互不干扰；
4.1.3学生自动选择人少的窗口，每人只打一份饭，且对饭菜胃口无特殊偏好；
4.1.4食堂饭菜供给充足，且每个窗口的服务质量和数量相同；
4.1.5食堂一天内开设窗口数量是一致的，不考虑上午、下午开设窗口数量不一致的情况；
4.1.6不考虑学生到达食堂后的流失人数。
4.2符号定义说明
：
表示系统中的学生数，包括排队等候的和正在接受服务的所学生（称
为平均队列长队）；
:
表示系统中排队等候的学生数（称为平均队列长）；
:
表示学生在系统中的平均逗留时间（包括等待时间和服务时间）；
:
表示学生在系统中的平均等待时间（平均排队等待时间）；
:
表示排成一大队列时的平均等待时间；
:
表示排成一大队列时的平均队列长；
:
表示排成k个小队时的平均等待时间；
f（k）:
权重组合函数；
:
表示排成k个小队时的平均队列长；
：
表示排队的平均到达率（称为学生到达速率）；
:
表示系统的平均服务率（即食堂服务台的平均服务速率）；
:
窗口数量；
：
权重（i=1,2,3）;
：
平均每日排队打饭学生到达人数；
：
周一至周五平均每日各时段排队学生到达人数；
：
周六周日平均每日各时段排队学生到达人数；
：
每小时到达人数；
：
排队流失学生人数；
：
窗口完全空闲的概率；
：
系统中有n个学生的概率；
:
表示服务强度，其值为有效的平均到达率
与平均服务率
之比，即
其中主要性指标是
，
。
主要性指标其值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。
显然，它们是打饭排队学生与食堂服务部门都很关注的因素。
排队学生希望等待时间和队列长越短越好，当然对食堂服务人员来说，服务强度越小越好。
4.3模型的建立
4.3.1问题一模型的建立
排队理论系统说明：
所谓M/M/k的排队系统是指这样的一种服务：
当天打饭排队学生的到达服从参数为
的泊松分布；排队学生接受服务时间服从参数为
的指数分布；有k个服务台（食堂服务窗口），打饭排队学生按到达的先后次序接受服务。
泊松分布：
（
为常数，k=0,1,2,……）
即在时间T内有k位排队学生的到达的概率为：
其中
是在时间
内学生到达的平均学生数，
平均到达率。
4.3.2问题二模型建立
服务时间服从负指数分布：
其中
为大于0的常数，代表单位时间内的平均服务率。
设在任意时刻t系统中有n个排队学生的概率为
。
当系统达到稳定状态后，
趋于稳定状态概率
此时，
与t无关，称系统处于统计平衡状态，并称
为统计平衡状态下的稳态概率，它表示系统在稳定状态下有n个学生的概率，此时
，特别
，
表示稳态系统所有服务台全部空闲的概率。
其中：
；
服务强度：
；
平均队长：
；
平均队列长：
；
平均逗留时间：
；
平均等待时间：
图1
如图1所示，此时问题归结为一个M/M/k/
排队系统，即排成一个大队对k个窗口的情况。
根据排队理论，当服务强度
<1时：
排队学生的平均队列长为:
排队学生的平均等待时长为：
4.3.3问题三的模型建立
1.层次分析法：
为了能够较为全面、准确的描述食堂排队服务的合理程度，本文利用层次分析法，从三个方面考虑该问题，分别为：
顾客满意度、运营
成本、服务效率，其层次结构模型如下图：
采用层次分析法确定各项指标的权值，将各项指标与其权值乘积的总和作为综合评价的指标
，即合理度。
2.准则层权重计算方法：
在学生满意度、运营成本、服务效率三个方面，我们小组认为服务效率和运营成本同等重要，学生满意度2.准则层权重计算方法：
在学生满意度、运营成本、服务效率三个方面，我们小组认为服务效率和运营成本同等重要，学生满意度次之，则判断矩阵如下表所示：
P1
P2
P3
P1
1
1/2
1/2
P2
2
1
1
P3
2
1
1
然后计算出三项指标各自所占权重：
顾客满意度w1=0.2，运营成本w2=0.4
服务效率w3=0.4。
指标层权重建立方法：
同样，我们认为在顾客满意度所指的指标层中，我们认为平均等待时间最重要；在服务效率所知的指标层中，我们认为平均排队人数、平均服务时间同等重要，均为最重要，服务强度次之。
综上所述，我们可以确定各项指标所占权重如下表所示
各项指标所占权重：
平均等待时间（a1）
平均服务时间
（a2）
窗口个数
（a3）
服务强度
（a4）
平均服务时间
（a5）
平均排队人数
（a6）
学生满意度（0.2）
0.67
0.33
成本（0.4）
1
收益（0.4）
0.2
0.4
0.4
总评价权重
0.13
0.066
0.4
0.08
0.16
0.16
故食堂综合评价合理度为
3.根据排队理论，当服务强度
时：
我们可以建立如下模型：
我们将服务强度、平均等待时间与窗口数量按照w1=0.2
，w2=0.4，w3=0.4。
即我们比较侧重平均等待时间和窗口数量，进行简单加权：
maxf（k）=0.2
+0.4T+0.4k
从而按照此权重比较进行最优窗口数量的选择。
4.4模型的求解与分析
4.4.1问题一的求解
通过题目提供的数据，表1（一周工作日各时间段内学生打卡人数分布）计算出表2（平均每天各时间段内学生到达人数分布）。
表2平均每天各时间内学生到达人数分布：
时间
11：
00—11：
15
11：
15—11：
30
11：
30—11：
45
11：
45—12：
00
12：
00—12：
15
17：
00—17：
15
17：
15—17：
30
17：
30—17：
45
17：
45—18：
00
18：
00—18：
15
平均人数
68.57
78.00
93.00
117.00
53.14
43.57
55.15
75.43
76.86
60.57
（注:
计算结果保留2位有效数字）
根据排队论知识，人流到达模型一般符合泊松分布等，猜想该模型符合泊松分布。
通过MATLAB[1]程序分析验证表2数据，得出食堂人流服从泊松分布（程代码见附录），运行结果如下图：
并求出泊松分布中的
值：
=72.50/15=4.83人/分钟
其模型图为：
4.4.2问题二的求解
由5.1的分析可知，银行的顾客的到达服从泊松分布，客户服务时
间服从负指数分布。
并计算出：
=0.0805人/s，
1/45（求解过程见附录）
（1）当开设窗口数k=1时：
=3.6225>1；
（2）当开设窗口数k=2时:
=1.8113>1；
（3）当开设窗口数k=3时:
=1.2075>1；
综合
（1）
（2）（3）可知，当k=1或k=2或k=3时，服务强度大于1，即系统内排队学生的到达率大于系统的平均服务率，可见系统不存在平衡状态，且排队的人会越来越多，排队等候的时间也会越来越长，按照题目所给每天的工作时间为2.5个小时，k=1时，会有
个学生无法完成排队打饭，k=2时会有
个学生无法完成排队打饭，k=3会有
个学生无法完成排队打饭，这样不仅会造成大量的排队打饭学生流失，而且可能对学生吃饭有很大影响，因此学校食堂开设1个2个或者3个窗口均不满足要求，需要增开窗口才能满足排队打饭学生的需求。
（4）当开设窗口数k=4时:
=0.9056<1,服务强度小于1,系统可以达到平衡状态。
此时：
平均排队长度：
=26.34
平均等待时间：
=5.45分钟
其食堂优化合理度为I=0.82，故食堂开设4个窗口是合理的。
4.4.3问题三的求解
以问题二所建立的综合评价食堂优化合理度模型为基础，经分析可知：
当食堂窗口开放数量k<3时，服务强度
，即显示学生到达食堂率大于食堂服务学生的速率，也就表明食堂的服务存在着不平衡状态，学生前来排队的人数会越来越多，排队等待时间则会延长。
这时需要增加窗口数量。
当k=4时，由问题二可知，此时窗口的服务强度为0.91<1,T=5.45,
=26.34,此时，需要排5.45分钟，其食堂优化合理度为I=0.82
当开设窗口数k=5时:
=0.7245<1，服务强度小于1，系统同样可以达到平衡状态。
此时
平均排队长度：
=13.67
平均等待时间：
=2.83分钟
平均等待时间：
=2.83分钟
f（5）=0.4*2.83+0.4*5+0.2*0.7245=3.28
f（4）=0.4*5.45+0.4*4+0.2*0.91=3.92>f（5）
食堂开设窗口数为5个时，学生平均等待时间较短，不足3分钟，排队人数是k=4时的一半，所以基本不会存在排队现象。
K=5时对于排队学生来说，满意率更为提高，其合理度I=0.833.
而当k=6,7,8时，学生平均等待的时间更短，排队人数更少。
学生的满意度就更高了，但对于食堂而言，随着窗口数的增加，运营成本增加，而服务效率和学生满意度的增加速度小于运营成本的增加数，其合理度I<0.833。
综上所述，食堂最佳开放窗口数为5。
4.5模型的检验
我们所建立的食堂排队学生模型中，排队学生数列遵循泊松分布模型，食堂服务时间遵循负指数分布，在模型的理论我们已代入实际数据证明是准确并且可靠的。
五、模型的改进与评价
5.1模型改进：
我们假设不考虑由于学校放假，放假时间去食堂排队打饭的学生减少，同时还假设各个时间段去食堂排队打饭的平均人数基本不变，在实际过程中是不合理的，同时我们假设的模型中每个学生只排队打一份饭和实际也不相符合，这个因素对平均每个学生服务时间有影响，同时实际中有可能有其他原因对排队打饭的学生人数有影响。
从表格中我们还发现下午排队打饭的学生人数比上午还少，改进模型中，我们可以把上午和下午分别建立模型，
5.2模型评价
优点：
（1）全文的模型求解都运用了计算机模拟，使求解更接近现实.
（2）对基础模型进行多次改进，考虑因素依次增加
缺点：
（1）部分数据通过实际观察假设得来，没有确凿的文献作为依据。
（2）考虑的因素不是十分充分，与实际情况存在一定差距。
（3）模型中未充分考虑具体的人流到达随机性，而是用计算整体平均讨论。
六、参考文献
[1]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：
高等教育出
版社，2005.
[2]孙荣恒，李建平.排队论基础[M].北京：
科学出版社，
2002.
[3]赵静但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2008.
[4]排队论清华大学出版社.
七、附录
附录一：
求解
过程
服务时间
服从参数为
的负指数分布，取一个样本
（其中
），则函数f（x）=1-
的密度函数g（x）=
然后计算为L（u）=
我们对L（u）=
左右取对数，即可得到：
Ln（L（u））=
我们再同时对等式对u求导，可得：
=0
所以：
由题设可知
，所以
附录二：
人流模型是否服从泊松分布
>A=[68.5778.3393.80116.2552.3350.5055.1475.4376.0058.60]'
alpha=0.05;
lamda=poissfit（A,alpha）;
p3=poisscdf（A,lamda）;
[H3,s3]=kstest（A,[A,p3],alpha）
n=length（A）;
ifH3==0
disp（'该数据服从泊松分布'）
else
disp（'该数据不服从泊松分布'）
end
A=
68.5700
78.3300
93.8000
116.2500
52.3300
50.5000
55.1400
75.4300
76.0000
58.6000
H3=
0
s3=
0.1267
该数据服从泊松分布
附录三：
人流到达模型图
x=0:
16;
y1=poisspdf（x,4.83）;
holdon
plot（x,y1,':
r*'）;
holdoff;
title（'食堂人流分布'）
附录四：
学生满意度、运营成本、服务效率权重代码
>>A=[11/21/2;211;211]
>>[x,y]=eig（A）%求得x为特征向量矩阵
>>[mm]=find（y==max（max（y）））%找到y中对应最大的特征值所在列m
>>w=x（:
m）/sum（x（:
m））%w即为矩阵A的权重！
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