应用问题解题技巧.docx

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应用问题解题技巧

应用问题解题技巧

应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧．

　　1．直接设未知元

　　在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．

　　例1某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．

　　分析本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x．于是全年级共有（x+3x）人．

　　由已知，全年级人数减少6人，即（x+3x）-6，①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为

　　（x+6）+2（x+6）．②

　　由①，②自然可列出方程．

　　解设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程

（x+6）+2（x+6）=（x+3x）-6，

　　所以

x+6+2x+12=4x-6，

　　所以3x+18=4x-6，

　　所以x=24（人）．

　　所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有

3×24=72（人）．

　　全年级有学生

4×24=96（人）．

　　说明本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为　　

　　例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做

做多少个零件？

定期是多少天？

　　分析若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做

　　另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，

　　显然，将此两式联立，解出x，y即可．

　　解设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组

　　整理得

　　②×2+①得

　　将x=50y代入②得

y=27，x=50y=1350，

　　答工人要做1350个零件，定期为27天．

　　例3一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？

有多少名旅客？

　　解设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有

22m+1=n（m-1）．

　　所以

　　因为n为自然数，所以23/m-1为整数，因此

m-1=1，或m-1=23，

　　即m=2或m=24.

　　当m=2时，n=45（不合题意，舍去）；当m=24时，n=23（符合题意）．

　　所以旅客人数为：

n（m-1）=23×（24-1）=529（人）．

　　答起初有汽车24辆，有乘客529人．

　　注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论．

　　2．间接设元

　　如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．

　　例4若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p％增加到（p+10）％，求p．

　　分析本题若直接设未知元为x，则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变，它可用以下方程式表示：

x（1+p％）=0.92x[1+（10+p）％]．

　　解设原进货价为x，则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变，故有以下方程

x（1+0.01p）=0.92x[1+0.01（p+10）]，

　　约去x得

1+0.01p=0.92［1+0.01（p+10）］，

　　所以

1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，

　　所以

（0.01-0.0092）p=0.92+0.092-1，

　　即0.0008p=0.012，

　　所以p=15．

　　答原利润为15％．

　　例5甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长．

　　分析与解如图1－76，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙的速度分别为V，V＇，再设第一次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况：

（1）甲乙第二次相遇在B点下方D处，此时有方程组

　　化简得

　　由③，④得

　　解此方程得

S=0（舍去），S=240．

　　所以2S=480米．经检验是方程的解．

（2）若甲乙第二次相遇在B的上方D＇处，则有方程组

　　解此方程组得

S=0（舍去），S=360．

　　所以2S=720米．经检验也是方程的解．

　　这样，两人可能在D点处相遇，也可能在D＇点处相遇，故圆形跑道总长为480米或720米．

　　3．设辅助元

　　有时为了解题方便，可设某些量为辅助量，参与列方程和运算，最后把这些辅助量约去，得出要求的值．

　　例6从两个重量分别为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？

　　分析与解设切下的重量是x千克，并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q1，重n千克的铜合金中含铜的百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1和xq2，而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜[xq1+（n-x）q2]和[xq2+（m-x）q1]．故依题意有方程

　　解此方程得

　　答切下的重量为mn/m+n（千克）．

　　例7甲乙两邮递员分别从A，B两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18千米（km），相遇后甲走4.5小时到达B地，乙走8小时到A地，求A，B两地的距离．

　　解设甲速为a千米/小时，乙速为b千米/小时，A，B两地的距离为2S，依题意有

　　所以

　　所以S-9/S+9=3/4，

　　所以S=63（千米），2S=126（千米）．

　　答A，B两地相距126千米．

练习二十一

　　1．已知甲、乙、丙三人．甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍，乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍．求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？

　　2．有甲乙两容量均为20升（L）的容器，甲容器内装满纯酒精，而乙为空容器．自甲内倒出若干酒精于乙内，再将乙其余部分注满水，将此混合溶液注满甲容器，最后自甲容器回注入乙容器62/3升，则两容器内所含纯酒精量相等，问第一次自甲容器倒出多少酒精？

　　3．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时15千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了11/2小时，求地面上A，B两地相距多少千米？

　　4．有一块长方形的场地，长比宽多4米，周围有一条宽2米的道路环绕着，已知道路的面积和这块土地的面积相等．求这块场地的周长是多少米？

　　5．一个四位数是奇数，它的千位数字小于其他各位数字，十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍，求这个四位数