现代控制理论实验报告.docx
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现代控制理论实验报告
现代控制理论实验指导书
实验一：
线性系统状态空间分析
1、模型转换
图1、模型转换示意图及所用命令
传递函数一般形式：
MATLAB表示为：
G=tf（num,den），其中num,den分别是上式中分子，分母系数矩阵。
零极点形式：
MATLAB表示为：
G=zpk（Z,P,K），其中Z，P，K分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。
传递函数向状态空间转换：
[A,B,C,D]=TF2SS（NUM,DEN）；
状态空间转换向传递函数：
[NUM,DEN]=SS2TF（A,B,C,D,iu）---iu表示对系统的第iu个输入量求传递函数；对单输入iu为1;
验证教材P438页的例9-6。
求P512的9-6题的状态空间描述。
>>A=[01;0-2];
>>B=[10;01];
>>C=[10;01];
>>D=[00;00];
>>[NUM,DEN]=ss2tf（A,B,C,D,1）
NUM=
012
000
DEN=
120
>>[NUM,DEN]=ss2tf（A,B,C,D,2）
NUM=
001
010
DEN=
120
给出的结果是正确的，是没有约分过的形式
P5129-6
>>[A,B,C,D]=tf2ss（[168],[143]）
A=
-4-3
10
B=
1
0
C=
25
D=
1
2、状态方程求解
单位阶跃输入作用下的状态响应：
G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=step（G）;plot（t,x）.
零输入响应
[y,t,x]=initial（G,x0）其中，x0为状态初值。
验证P435的例9-4，P437的例9-5。
9-4
A=[01;-2-3];B=[0;0];C=[00];D=[0];
G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=initial（G,[1;2]）;plot（t,x）
（设初始状态为[1;2]）
零输入响应
9-5
零输入响应
A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[00];D=[0];
G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=initial（G,[1;2]）;plot（t,x）
零状态响应，阶跃信号激励下
>>A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[00];D=[0];
>>G=ss（A,B,C,D）;[y,t,x]=step（G）;plot（t,x）
总响应
>>A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[00];D=[0];
G=ss（A,B,C,D）;[y1,t1,x1]=step（G）;
[y2,t2,x2]=initial（G,[1;2]）;
>>x=x1+x2;
>>plot（t1,x）
3、系统可控性和可观测性
可控性判断：
首先求可控性矩阵：
co=ctrb（A，B）。
然后求rank（co）并比较与A的行数n的大小，若小于n则不可控，等于为可控。
也可以求co的绝对值，不等于0，系统可控，否则不可控。
验证P456例9-14。
A=[01;-1-2];B=[1;-1];
>>C=[10];
>>co=ctrb（A,B）
co=
1-1
-11
>>rank（co）
ans=
1
系统不可控
可观测性判断：
首先求可观测性矩阵ob=obsv（A，C）,或者ob=ctrb（A'，C'）;
然后求rank（ob）并比较与A的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观测。
验证P458例9-15。
1
>>A=[-20;0-1];B=[3;1];C=[10];
>>ob=obsv（A,C）
ob=
10
-20
>>rank（ob）
ans=
1
不可观测
2、
>>A=[1-1;11];B=[2-1;10];C=[10;-11];
>>ob=obsv（A,C）
ob=
10
-11
1-1
02
>>rank（ob）
ans=
2
可观测
4、线性变换
一个系统可以选用不同的状态变量，所以状态方程是不唯一的。
但是这些方程之间是可以相互转换的。
[At，Bt，Ct，Dt]=ss2ss（A，B，C，D，T）
变换矩阵T不同，可得到不同的状态方程表示形式，如可控型，可观测型，Jordan标准型表示。
matlab变换与控制书上讲的变换略有差别。
这里是
，其中x是原来的变量，z是现在的变量。
书上则是
。
因此线性变换时，首先要对给定的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T中。
求对角阵（或约当阵）：
MATLAB提供指令：
[At，Bt，Ct，Dt，T]=canon（A，B，C，D，'modal'）
它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。
>>A=[-4-3;10];B=[1;0];C=[25];D=[0];
>>[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon（A,B,C,D,'modal'）
At=
-30
0-1
Bt=
Ct=
Dt=
0
T=
>>inv（T）
ans=
求可观测标准型：
[At，Bt，Ct，Dt，T]=canon（A，B，C，D，'companion'）
>>[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon（A,B,C,D,'companion'）
At=
0-3
1-4
Bt=
1
0
Ct=
2-3
Dt=
0
T=
14
01
>>inv（T）
ans=
1-4
01
求可控标准型：
首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求[At'，Ct'，Bt'，Dt']
>>At'
ans=
01
-3-4
Ct'
ans=
2
-3
Bt'
ans=
10
验证P512的9-6习题。
5、线性定常系统的结构分解
当系统是不可控的，可以进行可控性规范分解。
使用
[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）命令。
验证P473例题9-19。
当系统是不可观测的，可以进行可观测性规范分解。
使用[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）命令。
验证P475例题9-20。
>>A=[12-1;010;1-43];B=[0;0;1];C=[1-11];
>>co=ctrb（A,B）
co=
0-1-4
000
138
>>rank（co）
ans=
2
系统不可控
[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）
a1=
100
-211
-4-13
b1=
0
0
1
c1=
-1-11
t=
010
-100
001
k=
110
>>ob=obsv（A,C）
ob=
1-11
2-32
4-74
>>rank（ob）
ans=
2
系统不可观测
>>[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）
a2=
b2=
c2=
t=
k=
110
6、极点配置算法
调用命令格式为K=place（A,B,P）。
A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
验证P484例9-21。
>>A=[000;1-60;01-12];B=[1;0;0];P=[-2-1+j-1-j];
>>
K=place（A,B,P）
K=
+003*
用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较（附带文件）。
t=0:
:
5;
U=*ones（size（t））;%幅值为输入阶跃信号
[Y1,X1]=lsim（A,B,C,D,U,t）;
[Y2,X2]=lsim（A-B*K,B,C,D,U,t）;
figure
（1）
plot（t,Y1）;grid;title（'反馈前'）;
figure
（2）
plot（t,Y2）;title（'反馈后'）;
grid;
>>A=[000;1-60;01-12];B=[1;0;0];P=[-2-1+j-1-j];C=[100];D=[0];K=+003*[];
t=0:
:
5;
U=*ones（size（t））;%幅值为输入阶跃信号
[Y1,X1]=lsim（A,B,C,D,U,t）;
[Y2,X2]=lsim（A-B*K,B,C,D,U,t）;
figure
（1）
plot（t,Y1）;grid;title（'反馈前'）;
figure
（2）
plot（t,Y2）;title（'反馈后'）;
grid;
7、线性定常系统稳定判据
函数lyap（A,Q）求如下式的李氏方程：
AP+PAT=-Q
注意与教材的区别，应将给定A矩阵转置后再代入lyap函数。
验证P495的例9-25。
>>A=[02;1-1];
>>Q=[10;01];
>>lyap（A,Q）
ans=
实验二：
单级倒立摆的LQR状态调节器设计
有一个倒立摆小车系统如图一所示。
它由质量为M的小车，长为2L的倒立摆构成，倒立摆的质量为m，铰链在小车上，小车在控制函数u的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。
2L
x
M
m
u
图一小车倒立摆系统示意图
为了简单起见，设倒立摆为均匀细杆，执行机构和轴无摩擦，此时系统的动力学非线性微分方程为：
其中，M=1kg，m=0.1kg，L=1m，g=9.81m/s2，f=50N/s。
现设计LQR控制器，使系统倒立摆在初始条件[x（0）,dx（0）,（0）,d（0）]T=[,0,,0]T下稳定。
注：
倒立摆偏角可以通过同轴旋转电位计送出正比的电信号。
思路：
先建立状态空间模型A、B、C和D矩阵，当摆杆角度很小时，可令
，四个状态为[x（0）,dx（0）,（0）,d（0）]T。
采用LQR命令求最优K矩阵，定义Q和R阵，用对角阵，人工定义对角线上的加权系数，由此决定对每个状态分量的影响。
如对角度侧重，则对应系数加大。
>>A=[0100;000;0001;000]
>>B=[0;;0;];
>>C=[1000;0010];
>>D=[0;0];
>>Q=[100000;0000;00100;0000];
>>R=1;
>>[K,P]=lqr（A,B,Q,R）
K=
P=
+012*
实验总结
通过本次实验的学习，我学习了系统状态空间表达式的建立方法、了解了系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应;掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法;学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；学习了系统稳定性的定义及李雅普诺夫稳定性定理；学习闭环系统极点配置定理及算法，学习全维状态观测器设计方法；并用MATLAB实现了上述功能，对上课的理论有了更深入地理解。
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