全国中考数学附答案压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题Word下载.docx

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【答案】解：

∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°

，∴∠PAQ=∠AMN。

∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°

∴AQ=MN。

∴△AQP≌△MNA（ASA）。

∴AN=PQ，AM=AP。

∴∠AMB=∠APM。

∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°

，∠AMB+∠ABM=90°

，∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。

∴PC=AN。

（2）∵NP=2PC=3，∴由

（1）知PC=AN=3。

∴AP=NC=5，AC=8。

22AQMNAMAN4∴AM=AP=5。

∴。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°

，∴∠ABC=∠MAN。

MN4tanABCtanMAN∴。

AN3ACtanABC∵，∴BC=6。

BC∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

NENP。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。

∴CKPC∵CK：

3，设CK=2k，则CF=3k。

4NE2NEk∴，。

32k3过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。

445kk=k∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。

333∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°

=∠BPC+∠HBF。

∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

BC2tanNTCtanBPC。

∴PCNC15tanNTC2CTNC=∴，。

CT223553k=k=∴CT=。

∴。

∴CK=2×

=3，BK=BC－CK=3。

2322∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

-3-

PCtanPKC1∴。

∴tan∠BDK=1。

KC过K作KG⊥BD于G。

4，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。

∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=3321∴BK=5n=3，∴n=。

∴BD=4n+3n=7n=。

5522ABACBC10∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。

219=∴DQ=BQ－BD=6－。

55【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。

（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；

然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；

从而得到PC=AN。

（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；

然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。

26.（2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．

（1）求证：

BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，证明：

以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；

FG（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．FC【答案】解：

∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°

∴∠ABC+∠BAC=90°

又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°

∴∠ABD=90°

∴OB⊥BD。

∴BD为⊙O的切线。

（2）证明：

如图，连接CE、OC，BE，-4-

∵OE=ED，∠OBD=90°

，∴BE=OE=ED。

∴△OBE为等边三角形。

∴∠BOE=60°

又∵OD∥AC，∴∠OAC=60°

又∵OA=OC，∴AC=OA=OE。

∴AC∥OE且AC=OE。

∴四边形OACE是平行四边形。

而OA=OE，∴四边形OACE是菱形。

（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=90°

又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。

∴Rt△AFC∽Rt△OBD。

FCAFBDAFFC∴，即。

BDOBOB又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。

FGAFBDAFFG，即。

∴BDABABFGOB1∴。

FCAB2【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°

，则∠ABC+∠BAC=90°

，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°

，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线。

（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°

，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°

，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°

，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的FCAFBDAFFC，即，再由FG∥BD易证得判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有BDOBOBFGAFBDAFFG△AFG∽△ABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。

BDABAB-5-

27.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：

AM=AN；

（2）设BP=x。

3①若，BM=，求x的值；

8②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

0③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15？

并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

【答案】解：

∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，00∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60，∠ADM=∠APN=60。

∴∠DAM=∠PAN。

∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。

BMBP

（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，CPCA3x3824x8x+3=0∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。

2x2813解得x=或x=。

22②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。

SS∵△ADM≌△APN，∴。

ADMAPNSSSSSS∴。

APMANPAPMADMADP四边形AMPN如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则-6-

点T是AP的中点。

0在Rt△BPS中，∵∠P=60，BP=x，3100x，BS=BPcos60=x。

∴PS=BPsin60=221∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。

222132222APAS＋PS2x+x=x2x+4∴22。

11332SAPDTAPAP=AP∴。

ADP2224∴33333222SSSAPx2x+4x1+0<

x<

2。

ADP四边形AMPN444433∴当x=1时，S的最小值为。

4③连接PG，设DE交AP于点O。

0若∠BAD=15，00∵∠DAP=60，∴∠PAG=45。

∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA。

∴四边形ADPE是菱形。

∴DO垂直平分AP。

0∴GP=AG。

∴∠APG=∠PAG=45。

0∴∠PGA=90。

设BG=t，03t3t在Rt△BPG中，∠B=60，∴BP=2t，PG=。

∴AG=PG=。

3t+t=233∴，解得t=－1。

∴BP=2t=2－2。

03∴当BP=2－2时，∠BAD=15。

猜想：

以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

0。

∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30-7-

0000∵∠BAD=15，∴易得∠AGO=45，∠HAO=15，∠EAH=45。

33设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a。

∴DG=DO－GO=（－1）a。

000又∵∠BAD=15，∠BAC=60，∠ADO=30，0∴∠DHA=∠DAH=75。

∵DH=AD=2a，33∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，33HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。

22222DGGH31a+33a=1683a∵，222HE231a=1683a，222DGGHHE∴。

∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。

（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。

②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得SS，ADP四边形AMPN用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。

0③由∠BAD=15得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。

求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。

28.（2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段1BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，2交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：

△BOG≌△POE；

（4分）-8-

BF

（2）通过观察、测量、猜想：

=▲，并结合图②证明你的猜想；

（5分）PE（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，BF求的值．（用含α的式子表示）（5分）PE【答案】解：

∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°

∵PF⊥BG，∠PFB=90°

，∴∠GBO=90°

—∠BGO，∠EPO=90°

—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO。

∴△BOG≌△POE（AAS）。

BF1

（2）。

证明如下：

PE2如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，0∴∠PNE=∠BOC=90，∠BPN=∠OCB。

0∵∠OBC=∠OCB=45，∴∠NBP=∠NPB。

∴NB=NP。

00—∠BMN，∠NPE=90—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。

∵∠MBN=90∴△BMN≌△PEN（ASA）。

∴BM=PE。

1∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。

20∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90。

1BM。

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。

∴BF=MF，即BF=21BF1∴BF=PE，即。

2PE2（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，0∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90。

-9-

1由

（2）同理可得BF=BM，∠MBN=∠EPN。

20∵∠BNM=∠PNE=90，∴△BMN∽△PEN。

BMBN∴。

PEPNBNBM2BF=tan=tantan=，∴，即。

在Rt△BNP中，PNPEPEBF1=tan∴。

PE2【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PENBF1的结论。

得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出PE21（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同

（2）证得BF=BM，2BMBNBNtan=∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即PEPNPNBF1=tan可求得。

PE229.（2012辽宁沈阳12分）已知，如图①，∠MON=60°

，点A，B为射线OM，ON上的43动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°

.

（1）求AP的长；

（2）求证：

点P在∠MON的平分线上；

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；

．．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．．．-10-

3【答案】解：

（1）过点P作PQ⊥AB于点Q∵PA=PB，∠APB=120°

，AB=4，111133AB=×

4=2，∠APQ=∠APB=×

120°

=60°

∴AQ=2222AQ在Rt△APQ中，sin∠APQ=APAQ2323∴AP=＝4。

sinAPQsin6032

（2）证明：

过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，∴∠OSP=∠OTP=90°

在四边形OSPT中，∠SPT=360°

-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°

-90°

-60°

=120°

，∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT。

又∵∠ASP=∠BTP=90°

，AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。

∴PS=PT。

∴点P在∠MON的平分线上。

333（3）①8+4②4+4＜t≤8+4。

【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】

（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知1AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。

2

（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；

然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；

最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。

（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。

①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；

-11-

②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；

当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。

30.（2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.

（1）∠BEF=_____（用含α的代数式表示）；

（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝EBmDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。

EF【答案】解：

（1）180°

－2α。

（2）EB=EF。

连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°

-∠ABC=180°

－2α，∠ADC=180°

－∠C=180°

-α。

1∵AB=AD，∴∠ADB=（180°

－∠A）=α。

2∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°

由

（1）得：

∠BEF=180°

－2α=∠BDC。

OEOBOEOD==又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。

∴，即。

ODOFOBOF∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。

∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°

－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。

∴EB=EF。

（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，1801802180A==则∠G=∠AEG=。

22∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

-12-

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

EBBG=∴△DEF∽△GBE。

EFDE∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。

∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。

EB（n1m）DE==n1m∴。

EFDE【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：

∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°

∴∠A=180°

－∠ABC=180°

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°

（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据OEOB=相似三角形的对应边成比例，可得，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角ODOF形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由EB相似三角形的对应边成比例，即可求得的值。

EF31.（2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°

＜α＜90°

），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：

△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；

并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．-13-

【答案】解：

∵∠AOG=∠ADG=90°

，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG（HL）。

（2）∠PAG=45°

PG=OG+BP。

理由如下：

由

（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。

∵由

（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°

，∴2∠DAG+2∠DAP=90°

，即∠DAG+∠DAP=45°

∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。

∴PG=DG+DP=OG+BP。

（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。

又∵∠1+∠AGO=90°

，∠2+∠PGC=90°

，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°

，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°

∴∠1=∠2=30°

3在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°

=，33∴G点坐标为：

（，0），CG=3﹣。

CG33==3131在Rt△PCG中，PC=，∴P点坐标为：

（3，）。

0tan3033设直线PE的解析式为y=kx+b，-14-

33k+b=0k=则，解得。

33k+b=31b=13∴直线PE的解析式为y=x﹣1。

3【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。

（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。

（2）利用

（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°

，由此可求∠PAG的度数；

根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。

（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°

，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°

，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°

，即∠1=∠2=30°

，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。

32.（2012山东威海11分）探索发现：

已知：

在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。

（1）如图①，如果AD=BC，求证：

直线EM是线段AB的垂直平分线；

（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与