集合及其表示法与集合间的关系.docx

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集合及其表示法与集合间的关系

第1讲：

集合及其表示法与集合之间关系

【复习要求】

1、使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法；

2、使学生初步了解“属于”关系的意义；

3、使学生初步了解有限集、无限集、空集、真子集的意义：

4、理解集合之间包含与相等的含义；

5、能识别给定集合的子集；

6、能用Venn图表示集合之间的关系：

【复习重难点】

1、集合的之间的关系

2、集合的基本概念

【知识梳理】

1、集合的概念：

一般地，一组确定的、互异的、无序的对彖的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对彖称为元龛，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A,jg为"4,否则称x不属于A,记作分别读作“x属于A”，“x不属于A”。

集合的三个特性：

确定性、互异性和无序性。

【说明】

（1）确定性：

是指某个对彖确定是或不是集合中的元素，或者确定性亦指能否构成一个集合；

（2）互异性：

是指集合中的元素不能重复；

（3）无序性：

是指不管集合中元素如何排序都指同一个集合。

2、集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法等。

【说明】

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法；

（2）描述法：

在人括号内写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性即A={x\x^足的性质},这种表示集合的方法叫做描述法。

如：

{（x,y）|y=〒,乳丘/?

}.

【注意】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么，比如下表：

合

M/（-r）=O}

{x|/（x）>0}

{>'!

>■=/U）}

{.y=/U）}

集合的意义

方程/（x）=0

的解集

不等式/（x）>0的解集

函数y=f（x）的定义域

函数y=f（x）

的值域

函数y=f（x）的图

像上的点集

一个元索

举

例

凶7}

{y|y=Vr}

{（*y）v=>/7|

{y=yfx]

（3）图示法：

用一条封闭曲线（或线轴）表示集合的方法，叫做图示法,

例如，图表示任意一个集合A：

图1・2表示集合{1,2,3,4,5}・

【说明】

1、集合常用大写字母A.B,C.D表示，元素则常用小写字母“,b,c,d表示；

2、几个特定的集合：

N：

9N*：

Q：

9R：

9C：

9①：

O

3、元素、集合之间的关系

（1）元素与集合：

d是集合M的元素记为：

・。

不是集合M的元素记

为o

（2）集合间的关系

定义

性质

子集

子集：

对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为AqB

（1）4匸4,0匸A;

（2）若4匸巧，ByC,则AcC

便于理解:

包含两意思：

①A与B相等②A是B的真子集

真子集

集合A是集合B的子集，且E中至少有一个元素不属于A,则A叫做E的真子集，记作AuB

主

（1）若4工0,则0CA：

（2）若4£5BQC，则Age

等集

集合A是集合B的子集，且B是A的子集，则称集合A和E相等，记作A=B

A=B

BqA

子集的个数

含有〃个元素的集合，其全部子集的个数为2"个，真子集的个数为2"-1

个，非空子集的个数为2”-1个，非空真子集的个数为2"-2个

拓展子集的个数：

若card（A）=m,card（B）=/?

/?

?

/?

wN*

若则X可能个数为:

其他情况亦可说明；

【典型例题】

类:

型1:

集合的概念

例1、在<&高一数学课本中的难题：

②人于等于1,且小于等于100的所有整数：

③方程X+2=0的实数解”；④龙的近似值的全体；⑤平面几何中所有的难证明的题目；⑥著名的数学家；⑦在实数中，比负数人的所有数的全体；⑧一元二次方程F+bx-1=0的根；⑨亍店+1,亍+2”中，能够表示成集合的是

答案：

②③⑦⑨

例2、设集合P二{x-y,x+）m},2=|x+）'2,x2-y2,0|,若P=Q,求的值及集合P、Q.

【解】•:

P=Q且Ow0,・・・0wP.

（1）若x+y=0或x-y=0,则x2-y2=0,从而0={F+y\o,O},与集合中元素的互异性矛盾，.Ix+y工0且X-y工0：

（2）若小=0,则x=0或）'=0.

当y=0时，P={x,x,0},与集合中元素的互异性矛盾，...yHO；

当x=0时，P={-y,y,O},2={/-r,0},

-y=[-y=ry2

由p=q得卩=一厂①或b?

=r②

）v°[y^O

由①得y=—1,由②得y=l,

••・或{：

科，此Btp=e={i-i,o}.

例3、用适当的符号填空：

（1）若A={x\x2-3x+2=0},贝ijlA；

⑵若B={x|2x-3<5},则2B；

（3）若C={（x,y）\y=2x+3}f贝ij（l,5）C；

（4）若D={{1},{1,2},{1,2,3}},则{1}D,1D：

（5）若E={x\xeR.x2+4=0}t则0E.

答案：

1、e；2、e:

3、e:

4、e,g；5、电

【变式练习】

1、（2011闵行期末）若以集合S={d,b,c}（a,b,cwR）中三个元素的边可构成三角形，那么此三角形不可能是（B）

A.锐角三角形E.等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形

答案：

d为点（4,7）

4（2012杨浦期中）、已^P={x\2

5

5、已知集合A={1,2,3,4,5},={（x,y）hvgA,ygA,x-ygA},则B中所含元素个数

为；

答案：

10个，列举法得出集合B={（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（4,3）,（5,3）,（5,4）}

6、M={xx=a2-b2,ci,bgZ},若p.q^M,则pq是否属于M,为什么？

解：

因为p.qEM.所以存在a.bjn.neZ,使得p=cr-b",q=-tr

所以pq=（a2-b2）（m2-n2）=（am）2+（bn）2-（an）2-（bm）2

=（am+bn）2-（an+bm）2

由a.bjnji£Z得am+hn,an+bm&Z,所以pq&Z

类型2：

条台的表示

例3、用适当的方法表示下列集合：

1、集合A=｛（x,y）\y=x2-l,\x\<2,xeZ｝用列举法表示；

Q

2、集合B=｛——eZ\xeN｝用列举法表示；

1+x

3、两条直线:

ll:

y=klx+bl,l2:

y=k2x+b2的交点集合；

4、｛-,0,1,-,-,-｝用描述法表示；

52634

5、表示如图中的阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M；

6、方程组［X~+y=2的解集为；

U-y=o

7、不等式（x-l）（x-2）<0的解集为o

答案：

1、｛（一2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3）｝;2、｛0,1,3,7｝；

｛

y=k.x+b｛n-1

4、｛x|x=j?

<6,且

y=k2x+b2n

5、y）|-206.｛（-1,-1）,（1,1）｝:

7、｛x\Kx<2｝

类型3、有关集合概念的堆合冋題

l+ac“.1+d1“

=>=-2gM;-2eM=>=——eM\

1-a1-a3

=>—=3eAf=>A/={3,----2}

1-a23

例5、数集A满足：

若aEAMa^l,且丄w4；求证：

1-a

（1）若2gA,则在4中还有另外两个数，并求出这两个数；

（2）集合4不可能是单元素实数集；

（3）集合4中至少有三个不同的元素：

解：

⑴另外两个数分别为：

一1丄；

2

（2）若A是单元集，aeA,—6A=>a=—=>a-a+l=0=>^09所以A不可能

1-a1-a

是单元集合；

•/aeA侧a工1,且—eA=>—^-―=-―-eA;

1-a11a

a—1a1a

eA;=>=aeA

a

a

a-l1

下面证明，a,——■——三个数互不相等；

a1-a

例6、有下列关系式：

①{a,b}={b,a}；②；③0c{0}；④0={0}；⑤0={0}；

⑥{0}={0},其中正确的个数有:

答案：

①②③正确，{0}与0的关系：

0C{O}

例7、（关于集合子集个数问题）、满足［a}^M缸{a.b.c.d}的集合M共有个。

答案：

【7】

变式说明：

将其中的包含变成真包含，或者相反，结果又怎样？

【变式练习】

1、已知集合M£{4,7,8},且m集合中至多有一个偶数，则这样的集合共有个；

-2k+12k-15

2*、非空集合S匚{1,2,3,4,5},且满足“若心,则（6y）wS”，这样的集合共有_个；3*>集合S={0,1,2,3,4,5},4是S的一个子集，当xeA时，若—1E4,且x+le4,则称x是A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”中含有4个元素的子集的个数是

数。

的取值范围

解：

由已知得A={0,-4},因为Bf所以3=0o厂{0}"{—4}"{0,-4}当8=0,△=4（。

+1）'-43-1）<0,得C/V-1

02+2（d+1）•0+-1=0

△=4（d+1）2一4（6/2-1）=0

（_4）'+2@+1）・（一4）+夕一1=0天解

△=4（a+1）2-4（a2-1）=0

（-4）2+2（a+1）•（-4）+a2-1=0

02+2（a+l）・0+d，-1=0

所以实数a的取值范围是3={0,-4}（y）,—1]q{1}

例12*、设/（x）=^+px+qyA={x\x=/（x）},B={x\f[f（x）]=x}

（1）求证：

（2）如果A={—1,3},求B

解：

（1）由趣意，对任意xeA=>x=/（x）=>/（/（x））=f（x）=x=>xeB=>A^B

（2）由集合A={-1,3}可得p-1,q=-3,因jll/（X）=X2-X-3,由f（f（x））=X可得（x2-x-3）2-（x2-x-3）-3=x,所以x2-x-3=±x=>x=-lor3or±y/3所以集合B={-\、3£-*}

【课后作业】

A组

1.在"®难解的题目，②方程亍+1=0在实数集内的解，③直角坐标平面内第四象限的一些点，④很多多项式”中，能够组成集合的是（）

A.②B.@@C.®®D.®®®

答案：

A

2.集合M={（x,y）\xy>O,xeR,yeR}是指（）

A•第一彖限内的点集E.第三彖限内的点集

C.在第一、三象限内的点集D.不在第二、四彖限内的点集

答案：

D

3.给出下列关系：

①|eR；®V2€Q；③|—3|EN+；④|-V3|GQ.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

4.坐标轴上的点的集合可表示为（）

A.{（%,）沖=0,）#0或人哲，）=0}

B.{（x,加+护=0}

C.{（x,y）\xy=Q}

D.{（x,y）|x?

+y孕0}

答案C

5.已知集合A/={y|y=x2-2x-l,XG/?

},P={x\-2

A.M=PE.M^P

C.MpPD.MHP且

答案：

c

6.设集合M={（x,y）|x+y>0,且Q>0},T={（x,y）卜>0,y>0},则M与T的关系式（）

A.M£TE.M=7'

C.T^MD.MgT且T®M

答案：

B

7.满足Mg{0丄2}且Mu{0,2,4}的集合M有（）

A.l个E.2个C.3个D.4个

答案：

D

12

8.己知集合A=heN|—gn5>,用列举法表示集合A=.

答案{0,2,3,4,5}

9.

（1）若集合A={x|-3

—a>5.

（2）若集合4={x|（x+l）（2—x）<0},B={x\4x+p<0}且3匸4,则实数〃的取值范

围是_p>4.

（3）若集合A={x\x2+x-6=0}与3={刘©+1=0}满足则实数a所能取的一

切值为—-,--,0.

32

10.用适当的方法表示下列集合.

（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合：

（2）由所有非负偶数组成的集合；

（3）直角坐标系内第三彖限的点组成的集合.

解

（1）{3,5,7,11,13,17,19}

（2）{x|x=2mn^N}

（3）{（x,y）|x<0且y<0}

11.已知集合M={-2,3jc2+3x-4,x2+x-4},若2wM,求x

答案：

兀=一3或x=2

（1）若人=0,则卩的取值范I制是什么？

（2）若A只有一个元素，则p的取值范围是什么？

U=

2

13.若集合M={%|x2+x-6=0}={x|（x-2）（x-Cl）=0},且NgM，求实数。

的值.解：

由F+x-6=05.\x=2,x=-3,.・・M={2,-3}

o=2,.・.N={2}满足NqM

a=-3,/.N={2,-3}满足NcM

/.a=2或a=-3

14.设x9yeR,集合A={3,x2+xy+y},B={L,x2+xy+x-3},且A=Bf求兀,y实数的值

解：

x2+xy+y=1,且F+.yy+x-3=3

15.己知集合A={x\-2k^6

解：

RvlO

B组

1、集合A={—条边长是1且一个角是40。

的等腰三角形}中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.无数个

答案C

2、下列各题中的M与P表示同一个集合的是（）

a.M={（1,—3）},P={（—3,1）}

B.M=0,P={O}

C.M={y\y=x2+LxeR},P={（x,y）\y=x2+LxgR}

D.M={y\y=x2+UxeR},P={t\t=（

答案：

D

3、定义=且¥@3},若4={1,3,4,6},B={2,4,5,6},则A*B的子集个数

为（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

4、已知非空集合P满足：

①卩匸{1,2,3,4,5}；②若aeP,则6-aeP.符合上述要求的集合P的个数是（）

A.4B.5C.7D.31

答案：

C

5、已知集合A=

A.AQBE・A^B

c.A=BD.A与B无公共元素

答案A

6、集合tAS、T、F的关系如图所示，卞列关系错误的有—・

①SuU；②F^T；③S^T；④ScF：

⑤TeF；©F^U

答案②④⑤

12

7.己知集合A=peN|—eNs用列举法表示集合A=.

答案{02,3,4,5}

8.若集合M={x\ax2+2x+l=0}只含一个元素，则.

答案：

0或1

9.

（1）满足{a,b}uAg{a,b,c,d}的集合A有4个.

（2）满足{1,2,3}匸3匸{1,2,3,4,5}的集合〃有4个.

10.设x,）€R,A={（x,y）|y=x},3={（x，）'）E=1}，则A、B的关系为.

答案BqA

11.设含有5个元素的集合的全部子集为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则

T_5

~S=~16~

12.设A为实数集，且满足条件：

若则丄WA（d#l）・

1一d

求证：

⑴若2EA,则A中必还有另外两个元素；

（2）集合A不可能是单元素集.证明

（1）若gWA,则丄GA.

1一d

又V2GA,:

・

1—2

a・・・7^二7T扣人

•・•扣A,••・一^=2".

r

・・・A中另外两个元素为一1，扌.

（2）若A为单元素集，则a=丄，即a.—a・+l=O,方程无解・

1-6/

•••a工丄，•••/!

不可能为单元素集.

\-ci

9[99

13.己知集合且乔jENj,乔且花二;GNj,试问集合A与B

共有几个相同的元素，并写出由这些相同元素组成的集合.

解可以将集合A.B用列举法表示出来，然后再找出A和3的相同元素组成的集合.

当円时,7^7=3;

当心时,書=9.

因此，集合A={1,7,9},集合B={1,3,9}.

・•・集合4、B有两个相同元素1,9,它们组成的集合为{1,9}.

14、已知A={x\k+l

7:

+1>1

解TAUB,则当AH0时，12^+1,即1*|・

.2k<3

当A=0时，2M+1,・・・k

综上所述：

k|-

15、设集合A={xx2-5x+6=0},B={xx2-（2a+l）x+n2+«=0},若BqA,求a

的值.

解方法一A={xF—5卄6=0}={2,3},

由得B=0,或B={2},或B={3},或B={2,3},

因为△=（2°+1）：

!

—4，一4«=1>0,所以B必不为空集.

当B={2}时，需2a+l=4和a2-^-a=4同时成立，不存在a的值.

当B={3}时，需2a+l=6和6p+a=9同时成立，不存在d的值.

当B={2,3}时，需2a+l=5和6p+a=6同时成立，所以a=2.

综上所述：

a=2.

方法二A={xF_5x+6=0}={2,3},

B={x|x2—（2a+l）x4-a24-fl=0}={x|（x—tz.）（x—a—l）=0}={a,a+1},因为a切+1,所以当BuA时，只有a=2且a+l=3.所以a=2.

答案：

1、6个；2、7个；3、6个；分两类，一类为4个数字都相邻，另一类为两组，2个相邻，每组分别有3个集合；

例8、设集合A={1,2,a},B={1,若Ap3,求实数。

的值。

解：

①当a*2-a=2时，解之得c/=2或7=—1,但是a=2时，集合A中两个元素为2,与集合元素的互异性矛盾，所以ci=2舍去。

所以a=-l.

②当da=a时，解之得a=0或a=2,2同理舍去，所以Z

综合得。

=一1或《=0.

例9、若A={x\x=An+l9neZ},B={x\x=4n-3,ngZ},C={x\x=Sn+l,neZ},

那么A、B、C之间的关系是（考察概念问題）

答案：

C^A=B

【变式练习】

1、已知集合A={xx=k+-,kEZ},B={xx=^k,keZ},则AB.

L1L1

2、设集合M={x\x=-+-,keZ},N={x\x=-+-,kEZ},则MN.

2

答案：

两者形式上不统一，填写g,c

例10、已知集合A={x\-2

答案：

k<3

【变式练习】设A={x\2

答案：

［1,乜）例11、设A={x|x2+4x=0}^={x|x2+2（«+l）x+a2-l=0,xG/?

},若BoA,求实