高中数学核心知识点常考题型精析集合文.docx

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高中数学核心知识点常考题型精析集合文

高中数学核心知识点常考题型精析：

集合（文）

一、选择题（共15小题）

1．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（　　）

A．2B．1C．0D．﹣1

2．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}

3．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（　　）

A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}

4．设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）

A．2B．3C．5D．7

5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）

6．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）

A．4B．2C．0D．0或4

7．若全集U={x∈R|x2≤4}，则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为（　　）

A．{x∈R|0＜x＜2|}B．{x∈R|0≤x＜2|}C．{x∈R|0＜x≤2|}D．{x∈R|0≤x≤2|}

8．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

9．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）

A．A⊊BB．B⊊AC．A=BD．A∩B=∅

10．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（　　）

A．N⊆MB．M∪N=MC．M∩N=ND．M∩N={2}

11．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

12．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：

那么d⊗（a⊕c）（　　）

A．aB．bC．cD．d

13．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：

当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m=﹣

，则

≤n≤1；③若n=

，则﹣

≤m≤0．其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

14．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为（　　）

A．50B．45C．40D．35

15．设

Ak=A1∪A2∪A3∪…An，n∈N*，设集合Ak={y|y=

，

≤x≤1，k=2，3，…，2015}，则

Ak=（　　）

A．∅B．[2，

]C．{2}D．[2，

]

二、填空题（共13小题）

16．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：

①?

a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于　_________　．

17．已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B=　_________　．

18．已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于　_________　．

19．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是　_________　．

20．若规定E={a1，a2…a10}的子集

为E的第k个子集，其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则

（1）{a1，a3}是E的第　_________　个子集；

（2）E的第211个子集是　_________　．

21．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是　_________　（写出所有凸集相应图形的序号）．

22．若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）=　_________　．

23．设全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1}，若A∩∁UB={m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4}，则集合B=　_________　．

24．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　_________　人．

25．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　_________　．

26．设集合A={x|log2x＜1}，B={x|

＜0}，则A∩B=　_________　．

27．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有　_________　个．

28．已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是　_________　．

三、解答题（共2小题）

29．已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）；

A与B之间的距离为

．

（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；

（Ⅱ）证明：

∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；

（Ⅲ）证明：

∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

30．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg

的定义域为集合B．

（1）若A=B，求实数a；

（2）是否存在实数a使得A∩B=ϕ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．

高中数学核心知识点常考题型精析：

集合（文）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（　　）

A．

B．

C．

D．

﹣1

考点：

专题：

集合．

分析：

根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．

解答：

解：

根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，

则

①或

②，

由①得

，

∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．

由②得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b），

∵互异的复数a，b，

∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1，

故选：

D．

点评：

本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．

2．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）

A．

{x|x≥0}

B．

{x|x≤1}

C．

{x|0≤x≤1}

D．

{x|0＜x＜1}

考点：

专题：

集合．

分析：

先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．

解答：

解：

A∪B={x|x≥1或x≤0}，

∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，

故选：

D．

点评：

本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．

3．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（　　）

A．

{1，3，5，6}

B．

{2，3，7}

C．

{2，4，7}

D．

{2，5，7}

考点：

专题：

集合．

分析：

根据全集U以及A，求出A的补集即可．

解答：

解：

∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，

∴∁UA={2，4，7}．

故选：

C．

点评：

此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

4．设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．

解答：

解：

∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，

∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．

故选：

B．

点评：

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）

A．

（﹣∞，2）

B．

（﹣∞，2]

C．

（2，+∞）

D．

[2，+∞）

考点：

专题：

不等式的解法及应用；集合．

分析：

当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．

解答：

解：

当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），

若A∪B=R，则a﹣1≤1，

∴1＜a≤2；

当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；

当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），

若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，

∴a＜1；

综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．

故选B．

点评：

此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

6．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）

A．

B．

C．

D．

0或4

考点：

专题：

集合．

分析：

当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．

解答：

解：

当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件

当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4

故选A．

点评：

本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．

7．若全集U={x∈R|x2≤4}，则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为（　　）

A．

{x∈R|0＜x＜2|}

B．

{x∈R|0≤x＜2|}

C．

{x∈R|0＜x≤2|}

D．

{x∈R|0≤x≤2|}

考点：

专题：

集合．

分析：

先一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法求出全集U以及集合A，再结合补集的定义求出结论．

解答：

解：

因为：

全集U={x∈R|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，

∵|x+1|≤1⇒﹣1≤x+1≤1⇒﹣2≤x≤0，

∴集合A={x∈R||x+1|≤1}={x|﹣2≤x≤0}，

所以：

∁UA={x|0＜x≤2}．

故选：

C．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键．

8．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

集合．

分析：

先求出集合A，B由A⊆C⊆B可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求

解答：

解：

由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，

∵A⊆C⊆B，

∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，

故选D．

点评：

本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B找出符合条件的集合．

9．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）

A．

A⊊B

B．

B⊊A

C．

A=B

D．

A∩B=∅

考点：

专题：

集合．

分析：

先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断

解答：

解：

由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，

∵B={x|﹣1＜x＜1}，

在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=

∴B⊊A．

故选B．

点评：

本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．

10．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（　　）

A．

N⊆M

B．

M∪N=M

C．

M∩N=N

D．

M∩N={2}

考点：

专题：

集合．

分析：

由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．

解答：

解：

A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；

B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；

C、M∩N={2}≠N，故C错误；

D、M∩N={2}，故D正确．

故选D．

点评：

本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算．

11．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（　　）

A．

P⊆Q

B．

Q⊆P

C．

∁RP⊆Q

D．

Q⊆∁RP

考点：

专题：

集合．

分析：

利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆CRP．

解答：

解：

∵P={x|x＜1}，

∴CRP={x|x≥1}，

∵Q={x|x＞1}，

∴Q⊆CRP，

故选D．

点评：

本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．

12．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：

那么d⊗（a⊕c）（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

新定义；集合．

分析：

先计算（a⊕c）的结果，再计算d⊗（a⊕c）的值．

解答：

解：

由上表可知：

（a⊕c）=c，

故d⊗（a⊕c）=d⊗c=a，

故选A．

点评：

本题考查集合的含义，正确理解2种运算⊕和⊗，属于基础题．

13．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：

当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：

①若m=1，则S={1}；②若m=﹣

，则

≤n≤1；③若n=

，则﹣

≤m≤0．其中正确命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据题中条件：

“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：

对于①m=1，得

，②

，则

对于③若

，则

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．

解答：

解：

由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：

当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：

对于①m=1，m2=1∈S故必有

可得n=1，S={1}，

②m=﹣

，m2=

∈S则

解之可得

≤n≤1；

对于③若n=

，则

解之可得﹣

≤m≤0，

所以正确命题有3个．

故选D

点评：

本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据题意，结合交集与并集的元素数目的关系，C（A）+C（B）=C（A∩B）+C（A∪B），首先可求出两项活动都参加的人数，然后计算仅参加了一项活动的学生人数．

解答：

解：

根据题意，两项活动都参加的人数=30+25﹣50=5，

仅参加了一项活动的学生人数=50﹣5=45，

故选B．

点评：

本题考查集合间的关系及元素数目的运算，注意两个集合的交集与并集的元素数目的关系．

15．设

Ak=A1∪A2∪A3∪…An，n∈N*，设集合Ak={y|y=

，

≤x≤1，k=2，3，…，2015}，则

Ak=（　　）

A．

∅

B．

[2，

]

C．

{2}

D．

[2，

]

考点：

专题：

探究型；函数的性质及应用；集合．

分析：

根据基本不等式和函数的单调性求出集合Ak，再由题意表示出

Ak，利用并集的运算求出即可．

解答：

解：

因为，

≤x≤1，k=2，3，…，2015，

所以

≥2

=2，

当且仅当

时，即

时取等号，

所以函数y=

在[

，1]上的最小值是2，

由对号函数的单调性知，函数y=

在[

，1]上单调递增，

所以当x=1时取到最大值

，即集合Ak=[2，

]（k≥2），

因为

Ak=A1∪A2∪A3∪…An，n∈N*，且Ak={2}，

所以

Ak=A1∪A2∪A3∪…A2015={2}∪[2，

]∪…∪[2，

]

=[2，

]，

故选：

D．

点评：

本题是探究型的题目，考查基本不等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用，以及并集的运算．

二、填空题（共13小题）

16．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：

①?

a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于　201　．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．

解答：

解：

由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：

当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；

当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；

当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；

当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；

综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，

故答案为：

201．

点评：

本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．

17．已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B=　{6，8}　．

考点：

专题：

集合．

分析：

先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（CUA）∩B

解答：

解：

由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，

∴CUA={6，8}，

又B={2，6，8}，

故（CUA）∩B={6，8}

故答案为：

{6，8}．

点评：

本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算．

18．已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于　3　．

考点：

专题：

集合．

分析：

先根据绝对值不等式求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩Z，最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可．

解答：

解：

A={x∈R||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，

而Z为整数集，集合A∩Z={0，1，2}，

故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3，

故答案为3．

点评：

本题属于以绝对值不等式为依托，求集合的交集的基础题，同时考查了集合中元素的和．

19．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是　a≤1　．

考点：

专题：

集合．

分析：

利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．

解答：

解：

∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，

且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．

故答案为：

a≤1．

点评：

本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．

20．若规定E={a1，a2…a10}的子集

为E的第k个子集，其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则

（1）{a1，a3}是E的第　5　个子集；

（2）E的第211个子集是　{a1，a2，a5，a7，a8}　．

考点：

子集与真子集．

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