20230311090851.doc
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初中数学数与式总复习
实数的有关概念
（1）实数的组成
注意：
1.最简分数是有理数。
2.π、最简根式、e等是无理数。
（2）数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一个不可），实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
（3）相反数
实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
（4）绝对值
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
（5）倒数
实数a（a≠0）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；零没有倒数．
【例题经典】
理解实数的有关概念
例1①a的相反数是-,则a的倒数是_______．
②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:
则化简│b-a│+=______．
③去年泉州市林业用地面积约为亩,用科学记数法表示为约______________________．
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．
例2.（-2）3与-23（）．
（A）相等（B）互为相反数（C）互为倒数（D）它们的和为16
分析：
考查相反数的概念，明确相反数的意义。
例的绝对值是；-3的倒数是；的平方根是．
分析：
考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案：
，-2/7，±2/3
例4.下列各组数中，互为相反数的是（）
A．-3与B．｜-3｜与一C．｜-3｜与D．-3与
分析：
本题考查相反数和绝对值及根式的概念
掌握实数的分类
例1下列实数、sin60°、、（）0、、-、（-）-2、中无理数有（）个
A．1B．2C．3D．4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
实数的运算
（1）加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
（2）减法a-b=a+（-b）
（3）乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即
（4）除法
（5）乘方
（6）开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．
3．实数的运算律
（1）加法交换律a+b＝b+a
（2）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）
（3）乘法交换律ab＝ba．
（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）
（5）分配律a（b+c）=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．
【例题经典】
例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
A．4―22＝－18Ｂ．22－4＝18
Ｃ．22―（―4）＝26Ｄ．―4―22＝－26
点评：
本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。
例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103千米，总航程约为（π取3．14，保留3个有效数字）（）
A．5．90×105千米B．5．90×106千米
C．5．89×105千米D．5．89×106千米
分析：
本题考查科学记数法
例3.化简的结果是（）．
（A）-2（B）+2（C）3（-2）（D）3（+2）
分析：
考查实数的运算。
例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（）．
①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：
考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。
例5计算：
-+（-2）2×（-1）0-│-│．
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．（已知1克大米约52粒）
如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费吨大米
分析：
本题考查实数的运算。
例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：
当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：
1，2，3，5，8，13，21，．．．…（这就是著名的斐波那契数列）．请你仔细观察这列数中的规律后回答：
上10级台阶共有种上法．
分析：
归纳探索规律：
后一位数是它前两位数之和
例8.观察下列等式（式子中的“!
”是一种数学运算符号）
1!
=1，2!
=2×1，3!
=3×2×1，4!
=4×3×2×1，…，
计算：
=．
分析：
阅读各算式，探究规律，发现100！
=100*99*98！
整式
【回顾与思考】
知识点
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。
大纲要求
考查重点
1．代数式的有关概念．
（1）代数式：
代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（2）代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
（3）代数式的分类
2．整式的有关概念
1、单项式的有关概念
（1）单项式：
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。
单独的一个数或字母也叫做单项式。
例如：
注意：
单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算
（2）单项式的系数：
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：
单项式的系数分别是，当单项式系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如就是，系数是1；就是，系数是－1.
（3）单项式的次数（指数）：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如的次数是1，的次数是2+3+1＝6；数学的次数是0，如3，－9等可以当作0次单项式。
一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如中，与的指数和为4，则是四次单项式。
例1：
指出下列各单项式的系数和次数
提示：
圆周率是常数，当单项式中含有时，是单项式的系数，且在计算单项式的次数时应注意不要加上的指数。
2、多项式的有关概念
（1）多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
如是多项式，它的项分别是，和5，其中5是常数项。
（2）多项式的次数：
多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
如的次为是3，即“”的次数。
一个多项式中含有几项，最高次数是几次就叫几次几项式。
如叫做四次三项式。
在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。
如中，就是它的三次项，二次项是，一次项是b，常数项是－5.
3、整式的概念
单项式与多项式统称为整式。
判断一个式子是不是整式应注意几点
（1）分母不含字母；
（2）根号里面不含字母
整式
①单项式
代数式
②多项式
分式
根式
（1）单项式：
只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
（2）多项式：
几个单项式的和，叫做多项式
对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析
（3）多项式的降幂排列与升幂排列
把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
（4）同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
3．整式的运算
（1）整式的加减：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
（i）如果遇到括号．按去括号法则先去括号：
括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。
括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
（ii）合并同类项：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
（2）整式的乘除：
单项式相乘（除），把它们的系数、相同字母分别相乘（除），对于只在一个单项式（被除式）里含有的字母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式相同字母相乘（除）要用到同底数幂的运算性质：
多项式乘（除）以单项式，先把这个多项式的每一项乘（除）以这个单项式，再把所得的积（商）相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
（3）整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。
单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：
多项式的乘方只涉及
【例题经典】
代数式的有关概念
例1、已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）
（A）a+b（B）a－b（C）a+b2（D）a2+b
评析：
本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。
同类项的概念
例1若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．
【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得解出即可。
例2一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（）
A．4xyＢ．3xyＣ．2xyＤ．xy
评析：
本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。
幂的运算性质
例1
（1）am·an=_______（m，n都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：
a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整数）；
（3）（am）n=______（m，n都是正整数）；（4）（ab）n=________（n是正整数）
（5）平方差公式：
（a+b）（a-b）=_________．
（6）完全平方公式：
（a±b）2=__________．
【点评】能够熟练掌握公式进行运算.
例2.下列各式计算正确的是（）．
（A）（a5）2=a7（B）2x-2=（c）4a3·2a2=8a6（D）a8÷a2=a6
分析：
考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。
例3.下列各式中，运算正确的是（）
A．a2a3=a6B．（-a+2b）2=（a-2b）2
c．（a+b≠O）D．
分析：
考查学生对幂的运算性质
例4、（泰州市）下列运算正确的是
A．;B．（－2x）3=－2x3;
C．（a－b）（－a＋b）=－a2－2ab－b2;
D．
评析：
本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。
整式的化简与运算
例5计算：
9xy·（-x2y）=；
先化简，再求值：
[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．
【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．
【回顾与思考】
因式分解
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用
写出结果．
（3）十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则
（4）分组分解法：
把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
（5）求根公式法：
如果有两个根X1，X2，那么
【例题经典】
掌握因式分解的概念及方法
例1、分解因式：
①x3-x2=_______________________;
②x2-81=______________________;
③x2+2x+1=___________________;
④a2-a+=_________________;
⑤a3-2a2+a=_____________________.
【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。
例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的结果是．．
分析：
考查运用提公因式法进行分解因式。
例3.分解因式：
a2—4a+4=
分析：
考查运用公式法分解因式。
分式
1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：
下列运算正确的是（）
（A）-40=1（B）（-2）-1=（C）（-3m-n）2=9m-n（D）（a+b）-1=a-1+b-1
2.考查分式的化简求值。
在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。
注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：
化简并求值：
.+（–2）,其中x=cos30°,y=sin90°
知识要点
1．分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
（M为不等于零的整式）
3．分式的运算
（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．
（异分母相加，先通分）；
4．零指数
5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是O或负整数．
熟练掌握分式的概念：
性质及运算
例4
（1）若分式的值是零，则x=______．
【点评】分式值为0的条件是：
有意义且分子为0．
（2）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）
A．x≠-4且x≠-2B．x=-4或x=2
C．x=-4D．x=2
（3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）
A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．扩大2倍
例5：
化简（）÷的结果是．
分析：
考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。
例6.已知a=，求的值．
分析：
考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。
例7.已知|a-4|+=0，计算的值
答案：
由条件，得a-4=0且b-9=0∴a=4b=9
原式=a2/b2
例8.计算（x—y+）（x+y-）的正确结果是（）
Ay2-x2c．x2-4y2D．4x2-y2
分析：
考查分式的通分及四则运算。
因式分解与分式化简综合应用
例1先化简代数式：
，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．
例2、有一道题“先化简，再求值：
，其中。
”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事
点评：
化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。
可见现在的考试特别重视应用和理解。
【回顾与思考】
内容分析
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式
式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
（2）最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
（2）三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。
有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
【例题经典】
理解二次根式的概念和性质
例1
（1）式子有意义的x取值范围是________．
【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．
（2）已知a为实数，化简．
【点评】要注意挖掘其隐含条件：
a<0．
掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法
例2下列根式中能与合并的二次根式为（）
A．
【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．
掌握二次根式化简求值的方法要领
例3先化简，再求值:
若a=4+，b=4-，求．
【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．
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