史上最全初中数学公式及性质.pdf

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第1页共11页1第一篇第一篇初中初中数学公式数学公式大全大全1乘法乘法与因式分解与因式分解（ab）（ab）a2b2；（ab）2a22abb2；（ab）（a2abb2）a3b3；（ab）（a2abb2）a3b3；a2b2（ab）22ab；（ab）2（ab）24ab。

2幂的运算性质幂的运算性质amanam+n；amanam-n；（am）namn；（ab）nanbn；（ab）nnnab；a-n1na，特别：

（）-n（）n；a01（a0）。

3二次根式二次根式（）2a（a0）；丨a丨；（a0，b0）。

4三角不等式三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|（定理）；加强条件：

|a|-|b|ab|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）|a+b|a|+|b|；|a-b|a|+|b|；|a|b-bab；|a-b|a|-|b|；-|a|a|a|；5某些数列前某些数列前n项之和项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n（n+1）/2；1+3+5+7+9+11+13+15+（2n-1）=n2；2+4+6+8+10+12+14+（2n）=n（n+1）；12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n（n+1）（2n+1）/6；13+23+33+43+53+63+n3=n2（n+1）2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3；6一元二次方程一元二次方程对于方程：

ax2bxc0：

求根公式求根公式是x242bbaca，其中b24ac叫做根的判别式。

当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意：

当0时，方程有实数根。

若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2bxc可分解为a（xx1）（xx2）。

以a和b为根的一元二次方程是x2（ab）xab0。

7一次函数一次函数一次函数一次函数ykxb（k0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距）。

当k0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；第2页共11页2当k0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）；特别地：

当b0时，ykx（k0）又叫做正比例函数（y与x成正比例），图象必过原点。

8反比例函数反比例函数反比例函数反比例函数y（k0）的图象叫做双曲线。

当k0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；当k0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。

9二次函数二次函数

（1）.定义：

定义：

一般地，如果cbacbxaxy,（2+=是常数，）0a，那么y叫做x的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：

抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点。

a的符号决定抛物线的开口方向：

当0a时，开口向上；当0a时开口向上当0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0）抛物线与x轴相交；b有一个交点（顶点在x轴上）（0=）抛物线与x轴相切；c没有交点（0）抛物线与x轴相离。

平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax=+2的两个实数根。

一次函数（）0+=knkxy的图像l与二次函数（）02+=acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy+=+=2的解的数目来确定：

a方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；b方程组只有一组解时l与G只有一个交点；c方程组无解时l与G没有交点。

抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线cbxaxy+=2与x轴两交点为（）（）0021，xBxA，则12ABxx=第4页共11页410统计初步统计初步

（1）概念）概念：

所要考察的对象的全体叫做总体总体，其中每一个考察对象叫做个体个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本样本，样本中个体的数目叫做样本容量样本容量在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数中位数

（2）公式：

）公式：

设有n个数x1，x2，xn，那么：

平均数为：

12.nxxxxn+=；极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：

极差=最大值-最小值；方差：

数据1x、2x,nx的方差为2s，则2s=（）（）（）222121.nxxxxxxn轾-+-+-犏臌标准差：

方差的算术平方根。

数据1x、2x,nx的标准差s，则s=（）（）（）222121.nxxxxxxn轾-+-+-犏臌一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

11频率与概率频率与概率

（1）频率）频率频率=总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率）概率如果用P表示一个事件A发生的概率，则0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；12锐角三角形锐角三角形设A是ABC的任一锐角，则A的正弦：

sinA，A的余弦：

cosA，A的正切：

tanA并且sin2Acos2A1。

0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。

余角公式余角公式：

sin（90A）cosA，cos（90A）sinA。

特殊角的三角函数值：

特殊角的三角函数值：

sin30cos60，sin45cos45，sin60cos30，第5页共11页5tan30，tan451，tan60。

斜坡的坡度：

斜坡的坡度：

i铅垂高度水平宽度设坡角为，则itan。

13正（余）弦定理正（余）弦定理

（1）正弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：

其中R表示三角形的外接圆半径。

正弦定理的变形公式：

（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

（2）sinA:

sinB:

sinC=a:

b:

c

（2）余弦定理余弦定理b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；注：

C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a14三角函数公式三角函数公式

（1）两角和公式两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）

（2）倍角公式倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a（3）半角公式半角公式sin（A/2）=（1-cosA）/2）sin（A/2）=-（1-cosA）/2）cos（A/2）=（1+cosA）/2）cos（A/2）=-（1+cosA）/2）tan（A/2）=（1-cosA）/（1+cosA）tan（A/2）=-（1-cosA）/（1+cosA）ctg（A/2）=（1+cosA）/（1-cosA）ctg（A/2）=-（1+cosA）/（1-cosA）（4）和差化积和差化积sinA+sinB=2sin（A+B）/2）cos（A-B）/2cosA+cosB=2cos（A+B）/2）sin（A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB（5）积化和差积化和差2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）15平面直角坐标系中的有关知识平面直角坐标系中的有关知识

（1）对称性：

）对称性：

若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，b），P关于y轴对称的点为P2（a，b），关于原点对称的点为P3（a，b）。

（2）坐标平移：

）坐标平移：

若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（ah，b），向右平移h个单位，坐标变为P（ah，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，bh），向下平移h个单位，坐标变为P（a，bh）.如：

点A（2，1）向上平移2个单位，再向右平hl第6页共11页6移5个单位，则坐标变为A（7，1）。

16多边形内角和公式多边形内角和公式多边形内角和公式：

多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n2）180（n3，n是正整数），外角和等于36017平行线段成比例定理平行线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理：

）平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：

abc，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F，则有,ABDEABDEBCEFBCEFACDFACDF=。

（2）推论：

）推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

如图：

ABC中，DEBC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：

ADAEADAEDEDBECDBECABACBCABAC=18直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：

直角三角形中的射影定理：

如图：

RtABC中，ACB90o，CDAB于D，则有：

（1）2CDADBD=

（2）2ACADAB=（3）2BCBDAB=19圆的有关性质圆的有关性质

（1）垂径定理垂径定理：

如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：

经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：

具备，时，弦不能是直径。

（2）两条平行弦平行弦所夹的弧相等。

（3）圆心角圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（4）一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的圆心角圆心角的一半。

（5）圆周角等于它所对的弧的度数弧的度数的一半。

（6）同弧或等同弧或等弧弧所对的圆周角相等。

（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧弧相等。

（8）90的圆周角所对的弦是直径直径，反之，直径所对的圆周角是90，直径是最长的弦。

、（9）圆内接四边形圆内接四边形的对角互补。

20三角形的内心与外心三角形的内心与外心

（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点。

CABDacABCDEFl1bl2ABCDECEABD第7页共11页7

（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：

RtABC的三条边分别为：

a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径2abcr+=；ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则12Slr=21弦切角定理及其推论弦切角定理及其推论

（1）弦切角：

）弦切角：

顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图：

PAC为弦切角。

（2）弦切角定理：

）弦切角定理：

弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则1122PACACAOC=推论：

弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则PACABC=22相交弦定理、割线定理和切割线定理相交弦定理、割线定理和切割线定理

（1）相交弦定理：

）相交弦定理：

圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图，即：

PAPB=PCPD

（2）割线定理：

）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

如图，即：

PAPB=PCPD（3）切割线定理：

）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图，即：

PC2=PAPB23面积公式面积公式S正正（边长）2S平行四边形平行四边形底高S菱形菱形底高（对角线的积），1（）2S=+=梯形上底下底高中位线高S圆圆R2l圆周长圆周长2R弧长L213602nrSlr=扇形S圆柱侧圆柱侧底面周长高2rh，S全面积全面积S侧S底2rh2r2S圆锥侧圆锥侧底面周长母线rb，S全面积全面积S侧S底rbr2POCABDPOCBADPOCABOPBCA第8页共11页8第第二二篇篇初中数学初中数学性质性质大全大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上第9页共11页945逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）18051推论任意多边的外角和等于36052平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）2S=Lh83

（1）比例的基本性质如果a:

b=c:

d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:

b=c:

d84

（2）合比性质如果ab=cd,那么（ab）b=（cd）d第10页共11页1085（3）等比性质如果ab=cd=mn（b+d+n0）,那么（a+c+m）（b+d+n）=ab86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半第11页共11页11117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项