中考数学压轴题全解：2-2倍长中线.pdf

中考数学压轴题全解：2-2倍长中线.pdf

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2.2倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等如图所示，点D为ABC边BC的中点延长AD至点E，使得DEAD，并连接BE，则ADCEDB（SAS）【典型例题】1（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG

（1）求证：

EGCG；

（2）将图2.2.1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2.2.2所示，取DF中点G，连接EG，CG问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图2.2.3所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）图2.2.1图2.2.2图2.2.3【思路点拨】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CGEG

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AGCG；再证出DMGFNG，得到MGNG；再证明AMGENG，得出AGEG；最后证出CGEG（3）结论依然成立还知道EGCG【解题过程】解：

（1）四边形ABCD是正方形，DCF90，在RtFCD中，G为DF的中点，CG12FD，同理，在RtDEF中，EG12FD，CGEG

（2）

（1）中结论仍然成立，即EGCGDBCADBCAEGEBCADFGFBCADEGEBCADF【方法一】连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，ADCD，ADGCDG，DGDG，DAGDCG（SAS），AGCG；在DMG与FNG中，DGMFGN，FGDG，MDGNFG，DMGFNG（ASA），MGNG；EAMAENAMN90，四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AMEN，在AMG与ENG中，AMEN，AMGENG，MGNG，AMGENG（SAS），AGEG，EGCG【方法二】延长CG至M，使MGCG，连接MF，ME，EC，在DCG与FMG中，FGDG，MGFCGD，MGCG，DCGFMGMFCD，FMGDCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MFCB，MFEEBC，EFBE，MFECBE，MEFCEBMECMEFFECCEBCEF90，MEC为直角三角形MGCG，EG12MC，EGCG（3）

（1）中的结论仍然成立理由如下：

过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证CDGMFG，得到CDFM，又因为BEEF，易证EFMEBC，则EFMEBC，FEMBEC，EMEC，FECBEC90，FECFEM90，即MEC90，MEC是等腰直角三角形，G为CM中点，EGCG，EGCG【举一反三】MNGFBCDAEMGFBCADEMGEBCADFN1（07广州）已知：

在RtABC中，ABBC，在RtADE中，ADDE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；

（2）如果将图2.2.4中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图2.2.5，那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图2.2.4图2.2.52如图2.2.6，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BEBF，连接EF

（1）若取AE的中点P，求证：

BP12CF；

（2）在图2.2.6中，若将BEF绕点B顺时针方向旋转（0360），如图2.2.7，是否存在某位置，使得AEBF？

，若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由；（3）在图2.2.6中，若将BEF绕点B顺时针旋转（090），如图2.2.8，取AE的中点P，连接BP、CF，求证：

BP12CF且BPCF图2.2.6图2.2.7图2.2.8MCBAEDMECBADPECBDAFFCBDAEPFCBDAE