高考数学易错易混易忘知识点总结.pdf

高考数学易错易混易忘知识点总结.pdf

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1新课标新课标高考数学高考数学（理科）（理科）易错易混易忘易错易混易忘知识点知识点汇总及汇总及简单对策简单对策解析解析“知识”是车轮，“方法”是传动，“思想”是发动机，提高数学素质的核心就是提高我们对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是数学“能力”。

【易错点01】交集子集想空集，勿因忽视空集是任何（非空）集合的（真）子集而失分。

【锦囊妙计】

（1）在应用条件ABBABAAB时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论

（2）在解答集合问题时，要注意集合元素的三性质“确定性、无序性、互异性”。

特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是否满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化。

如：

已知（）22,|4Axyxy=+=，（）（）（）222,|34Bxyxyr=+=，其中0r，若AB=，求r的取值范围。

此题将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：

集合A表示以原点为圆心以2为半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点，即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。

因此马上就可利用两圆的位置关系来解答。

此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。

【易错点02】求解函数值域或单调区间、奇偶性时，易忽视定义域优先的原则。

【锦囊妙计】只要遇到函数问题，都要定义域优先。

就像过马路一定要先看红绿灯一样，要养成一种习惯。

【易错点03】在利用图象求交点，且涉及反函数知识时，易漏掉确定原函数的值域，即反函数的定义域。

【锦囊妙计】

（1）在利用函数的反函数求值域（交点）时，一定要通过确定原函数的值域，即反函数的定义域进行必要的范围限制，以免值越界造成错误，最好在反函数的解析式后标明定义域，除非是R。

（2）应用1（）（）fbafab=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解，但应注意其自变量和函数值要互换。

而且一定要用好互为反函数的两个函数图象上相应的点关于直线y=x对称这一性质。

【易错点04】利用反函数或者逆向变换时，一定要注意顺序，不要错位。

【锦囊妙计】

（1）函数（）11yfx=与函数（）1yfx=并不互为反函数，f-1（x-1）只是表示（）1fx中x被x-1替代后的一个反函数值。

这是因为由求反函数的过程来看：

设（）1yfx=，则（）11fyx=，（）11xfy=+，再将x、y互换即得（）1yfx=的反函数为（）11yfx=+，故（）1yfx=的反函数不是（）11yfx=，因此在今后求解此类问题时一定要谨慎。

（2）三角函数图象的变换，如果需要反向变换时，一定不要跳步或者打乱题目的变换顺序，要一步一步的反向变回去，方向、数值都要做相应的变换，否则解析式和特殊值都不对。

【易错点05】判断函数的奇偶性时不要忽视函数具有奇偶性的必要条件：

定义域关于原点对称。

【锦囊妙计】

（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

而且只要定义域不关于原点对称，哪怕差一个点，都直接判断为非奇非偶函数，无需再验证f（x）与f（-x）的关系。

（2）函数（）fx具有奇偶性，则（）（）fxfx=或（）（）fxfx=是对定义域内所有x的恒等式。

常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

（3）函数具有奇偶性不意味着函数图象一定过原点（或y轴），但在原点有意义的奇函数，f（0）=0恒成立.【易错点06】不要忘了奇偶函数的单调性之间的关系。

【锦囊妙计】

（1）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，要比较偶函数在跨对称轴的区间上的大小时，记得用f（A）f（B）f（|A|），（）fx在,ab上是减函数（）（）12120fxfxxx是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。

（4）在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加“”符号和“或”字等，【易错点08】注意单调性与导函数之间的关系并不是充要条件。

【锦囊妙计】若函数（）fx可导，其导数与函数的单调性的关系如下：

现以增函数为例来说明：

0）（xf与）（xf为增函数的关系是：

0）（xf能推出）（xf为增函数，但反之不一定。

如函数3）（xxf=在）,（+上单调递增，但f（0）=0，所以只能得到0）（xf，0）（xf是）（xf为增函数的充分不必要条件。

0）（xf时，0）（xf与）（xf为增函数的关系是：

若将0）（=xf的根作为分界点，因为规定0）（xf，即抠去了分界点，此时）（xf为增函数，就一定有0）（xf。

当0）（xf时，0）（xf是）（xf为增函数的充要条件。

0）（xf与）（xf为增函数的关系是：

）（xf为增函数，一定可以推出0）（xf，但反之不一定，因为0）（xf，即为0）（xf或0）（=xf。

当函数在某个区间内恒有0）（=xf时，则）（xf为常函数，常函数不具有单调性。

0）（xf是）（xf为增函数的必要不充分条件。

因此一般在求单调区间时可以一律用开区间作为单调区间，以避免讨论上述问题，但在解题中遇到端点需要讨论时，必须谨慎处理，确保其充要性。

【易错点09】应用重要不等式确定最值时，不要忘了应用的前提条件，特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。

【锦囊妙计】“一正、二定、三相等”，重要不等式三条腿，少了谁也站不稳。

【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数中真数的限制条件。

【锦囊妙计】要熟练掌握常用初等函数的单调性。

如：

一次函数的单调性取决于一次项系数的符号；二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置；指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是大于0小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的意识。

【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性【锦囊妙计】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫3换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

常见错误都是忽略新元取值范围导致的，一定要养成换元就定范围的习惯。

【易错点12】已知nS求na时，易忽略n1的情况【锦囊妙计】数列中na与ns之间有如下关系：

（）（）1112nnnsnassn=，利用两者之间的关系可以已知ns求na。

但注意只有在当1a适合（）12nnnassn=时两者才可以合并，否则要写成分段函数的形式。

【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和的最大值时，易忽略其定义域是正整数集或其子集（从1开始的，只取整数，可能函数取得最值时并不是整数。

）【锦囊妙计】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数与方程的思想，应用函数知识解决数列问题。

特别的，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项。

反之，满足形如2nsanbn=+所对应的数列也必然是等差数列。

此时由nsanbn=+知数列中的点,nsnn在同一直线上，这也是一个很重要的结论。

此外形如前n项和nnscac=所对应的数列必为等比数列。

【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答，使解题思维受阻或解答过程繁琐。

【锦囊妙计】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。

例如对于等差数列na，若qpmn+=+，则qpmnaaaa+=+，千万不要用am+an=as这种不对称的错误形式；对于等比数列na，若vumn+=+，则vumnaaaa=；若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列；若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列等。

【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q1的情况。

【锦囊妙计】不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列。

对等比数列求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。

【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和时不会采用错位相减法或解答结果不到位。

【锦囊妙计】一般情况下对于数列nc，若nnncab=，其中数列na和nb分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错开一项相减的方法来求解。

【易错点17】不能根据数列通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律找不清，导致多项或少项。

【锦囊妙计】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数或式子（也可三个或更多）相乘，且这两个数（式子）的第一个正好是前一个式子的第二个，如果不具备这些特点，就要进行转化。

同时要明确消项的规律，一般情况下剩余项是前后对称的。

另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：

11+=nnan，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。

4【易错点18】易由特殊性代替一般性，误将题目条件加强，本来是一般数列的，当成等比或等差去算。

【锦囊妙计】虽然最终我们能解决的就只有等差和等比两种数列，但是没有转化前，很多数列其实既不是等差也不是等比，要细读题目条件，不要妄自想当然的增加限制条件。

【易错点19】绝对不能忘记的公式化一（辅助角）公式。

【锦囊妙计】asin+bcos=22ab+（22aab+sin+22bab+cos）=22sin（）ab+，（其中tan=ba）。

还要注意辅助角的取值范围，一定要仔细确定一个尽可能小的取值范围。

【易错点20】易遗忘关于sin和cos齐次式的处理方法。

【锦囊妙计】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2222（1sincossectan=+=tancot=这些统称为1的代换）常数“1”的种种代换有着广泛的应用【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。

【锦囊妙计】以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。

【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。

【锦囊妙计】单位圆中的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。

三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明等方面都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。

例如利用三角函数线易知0,sintan20，解集在定义域内的部分为增区间，（4）解不等式f（x）0，解集在定义域内的部分为减区间。

对于函数单调区间的合并：

函数单调区间的合并主要依据的是函数f（x）在（a,b）单调递增，在（b,c）单调递增，又知函数在f（x）=b处连续，因此f（x）在（a,c）单调递增。

同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则两区间就可以合并为一个区间。

否则一定要注意不要在单调区间中出现符合。

【易错点47】二项式（）nab+展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。

【锦囊妙计】二项式（）（）nnabba+与的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。

【易错点48】二项式展开式中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。

【锦囊妙计】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。

不要忘了令变量分别取0，1等特殊值，以确定常数项和奇偶项的系数。

另外注意整体代换的使用和特定方法的运用。

【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在此往往因为概念不清导致出错。

【锦囊妙计】在（）nab+的展开式中，二次项系数最大的项一定是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组112rrrrTTTT+来确定之。

【易错点50】二项展开式中的所有二项式系数和为定值2n，整除问题。

【锦囊妙计】二项展开式中的所有二项式系数和为定值2n，一定要牢记。

另外设计整除问题时，基本的方法和常见的结论一定要熟悉。

合理的拆配将是解决问题的关键。

【易错点51】对于排列组合问题，要熟记常见的问题类型和相应的解决策略。

9【锦囊妙计】常规问题逐分法，可重排列求幂法；特殊元素优先法，交叉问题集合法；相邻问题捆绑法，相离问题插空法；全员分配组配法，同元分配隔板法；定序均分用除法，部合条件排除法；标号排位分步法，圆排多排单排法；对应等价转化法，多元问题分类法.【易错点52】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。

【锦囊妙计】解决有限制条件的排列问题的方法是：

直接法：

位置分析法元素分析法用加法原理（分类）用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）间接法：

即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手。

【易错点53】二项展开式的通项公式为1rnrrrnTCab+=，事件A发生k次的概率：

（）（）1nkkknnPkCPP=。

二项分布列的概率公式：

0,1,2,3,01,1kknkknpCpqknppq=+=LL且，三者在形式上的相似，在应用中容易混淆而导致出错。

【锦囊妙计】二项分布是一种常见的、重要的离散型随机变量分布列，其概率（）（）0,1,2,Pkk=L就是独立重复实验n次中发生k次的概率（）1nkkknCPP。

但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。

【易错点54】正态总体（）2,N的概率密度函数为（）（）2221,2xfxexR=，当0,1=时，（）221,2xfxexR=，叫作标准正态总体（）0,1N的概率密度函数，两者在使用范围上是不同的。

【锦囊妙计】在正态分布（）2,N中，为总体的平均数，为总体的标准差，另外，正态分布（）2,N在（）,+的概率为0068.3，在（）3,3+内取值的概率为0099.7。

解题时，应当注意正态分布（）2,N在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。

【易错点55】线性回归直线一定过样本中心，变量相关性判断K2越大越有把握认为两者有关系。

【锦囊妙计】虽然直接让求线性回归直线方程的可能性并不大，但是基本的统计量的求法和相应的含义，回归直线必过样本中心（）y,x，参考数据增加一个单位目标数据如何变化等，在小题中出现的可能性还是很大的，一定要熟悉。

另外要重视对多元数据关系的分析和判断。

【易错点56】立体图形的截面问题。

【锦囊妙计】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。

考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：

一种是利用平面的基本定理：

一条直线上有两点在一平面内，则这条直线上所有的点都在这平面内；两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）。

（注意该定理的应用，如证明诸线共点的方法：

先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上，即转化为此点为两平面的公共点，而第三条直线是两平面的交线，则依据定理知交点在第三条直线上；诸点共线：

即证明此诸点都是某两平面的共公点，那么这些点就转化为在两平面的交线上。

）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平面的交线。

另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。

一般情况下这两种方法要结合应用。

10【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数。

【锦囊妙计】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，在解决与两异面直线所成角的直线条数问题时，将两异面直线平移到空间一点，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式coscoscos=（其中是直线与平面所成的角）易知coscos，coscos（最小角定理）。

故一般地，若异面直线a、b所成的角为，l与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：

当02时，这样的直线不存在；当2=时，这样的直线只有一条；当22时，这样的直线有两条；当2=时这样的直线有3条；当22，直线与双曲线相交，有两个交点；若0a=，直线与渐进线平行，有一个交点。

若0,0a=，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。

若0,0a，直线与双曲线相离，没有公共点。

二是可以利用数形结合的思想。