选择填空题中的立体几何最值问题.pdf

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2006年第5期中学数学教学21选择填空题中的立体几何最值问题广东省东莞高级中学刘心华（邮编:

523128）、1宁月二土丁土下.洲助十翅.去+十.1+肠二一解方.，广1下:

1今，:

月春!

、近几年来，高考数学试题的选择题和填空题中常出现立体几何的最值问题:

由于这类题题型灵活、形式多变，能较好地检测学生的思维和空间想象能力，因而正成为命题的热点.本文结合近几年的高考试题，对选择题和填空题中的立体几何最值问题进行分类探究.1与距离相关的最值（范围）问题例1（2006年江西）如下左图，在直棱柱ABC-A,B,C，中，底面为直角三角形，乙ACB=900AC=-6,BC=cc,=涯,P是BC，上一动点，则CP+尸八，的最小值为（2005年江西）如下左图，ABC-A,B,C，中,AB=BC二万,BB,在直三棱柱=2,LABC=，伽900,E,F分别为AA,C,B:

的中点到F两点的最短路径的长度为，沿棱柱的表面从EICC民祥目。

AIE通CFBB尸洲-2叭EAABC

（1）国山E滩解析:

将三棱柱侧面、底面展开有三种情形C爪_尸一1/Pi__*A,特一夕。

之少尸下/必A:

一D万.U,中，EF=A,EZ+AIF“一/，上13万、z_止1止I.皿VL/-:

在（1.）222在

（2）中，EF二,IEGZ+FGZ二（J）+（1+缪、乙j解析:

将BCC,沿BC，线展到面A,C,B上，如上右图，连结A,C,A,C即为CP尸A、最小值，过点C作C1土A,C,延长线于D点，ABCC，为等腰直角三角14+4万;在（3）中，EF=/FXv2+FGz=，3、z.，3、z1二犷】-rr-】、/、/3、二、。

，二。

二。

二-下产.，坦U注L七王x刀J石f口布-四乙形，.CD二C,D=1,A,D=A,C。

十C,D=7,.A,CA,Dz+CV=v-49千1三5在故填5涯，。

、，。

.二，。

七，;二。

精，二3万几几,七ti!

1义八lVI多，f.t.,ICdt月又人立1且/9-下尸.乙玲C阅-C*4C*4Ef到8州（洲令玲E踌E玲令踌令玲称玲守特令踌份踌令踌E李，.，.乙cos（B一2A）1，矛盾!

=1一sinAsinB二2+万4因此A-f-B-晋，且当A少B-,A=B=b二12当且仅当A=.B=共时等号成立.I乙时，cosAcosB取得最大值2+万4证明完毕，我又想cosAcosB的值其实受sinAsinB值的牵制.能不能将所求的。

osAcosB转化为已知的sinAsinB呢?

沿着这种思路，我将cosA.cosB进行转化，用均值不等式做了一种别解:

由于C为ABC中的最大角（0,要、，于是、一2）一，因此A,BE至此，我有一种莫名的兴奋感涌上心头，于是立即将这些思考告诉了王同学，他听了也十分惊喜!

我对上述思路的获得感到十分庆幸，因为如果没有王同学质疑的那一句话，也许我便不会对这道题进行这番思考，也就不会获得这种认识.教师若能在平时的教学中，多多引导学生质疑，引导学生用多种方法求解，这对培养学生思维的广阔性、深刻性、批判性等思维品质一定会大有裨益，对提高学生学习数学的兴趣和效果也会起到事半功倍的作用.cosAcosB=（1一sinA）（1一sinB）sinB.一（sinA+sinB）sinB一2sinAsinB（收稿日期:

2006-08-16）1+sinA1+sinA=镇万方数据22中学数学教学2006年第5期例3（2005年全国ll）将半径都为1的4个钢球完全装人形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）.cosa=22（，一寻cost0）一22（，一备cost0）万+2派3，、。

.2派n.宁一万-由000900,得一1cosa一一13c一一-cos口乙合，C.4+攀D4万+2派3解析:

将4个球的球心相连可形成边长为2的正四面体M,题目所求原正四面体的高为下底面上球的半A径，再加正四面体M的高和最上边小球球心到顶点间距离的和.易知正故晋“兀若直接运用极限思想，即当SAAO时，a，7t,当SA一十CIO时，a一粤不难得到粤。

rnblrri、口Jff）/，任气，-育-.J解析:

D,P与面ABB,A】所成的角为ZD,PA,，把平面D,CBA!

与平而AA,B展开摊平（如上右图）则当AP-I-D，尸取最小值时三点D,P,A共线。

所以乙D,PA:

今匕PA，A+匕A,AP=故选C.2仑叨4平+粤4石与角相关的最值（范围）问题异面直线u,b夹角为400,。

土a，则直线b,c夹角的范围是解析:

通过平移，让直线a,b,。

相交于点P，因a土。

a,b夹角为400，则直线b是在以“为轴的圆锥面上的母线，当直线b变动时易知直线b;。

夹角的取值范围是500,900.3与面积相关的最值（范围）问题例7（2006年浙江）正四面体ABCD的棱长为1,棱AB/平面a，则正四面体上所有点在平面。

内的射影构成的图形面积的取值范围是叭次全二、八_碑尹，川斗小例5正三棱锥S-ABC相邻两侧面所成的二面角为a，则a的取值范围是解析:

当CD/a时，OE上CD（O为AB面积取最大值.作DD土。

中点），连结OD，在RtLOED解析:

作BE土SA于E，连CE,则CE土SA,乙BEC=a，作so土面ABC于O.连AO并延长交BC于D.设LSAD一）（00B0），用“它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则“的取值范围是万方数据2006年第5期中学数学教学23解析:

底面面积为6a2，侧面积分别为6,8,10，拼成三棱柱时为上下接合.全面积为:

2X6a.十200+8十6）;当拼成四棱柱时，显然两侧面面积最大者相接合，全面积最小为（8+6）X2+4X6a2，由题意，全面积最小的是四棱柱，:

.2X6a2+2X（10+8+6）.（8+6）X2+4X6a2，解得。

/-3-/3，从而S抓孙12，故S的取值范围是（万八2，+00）.例10（2005年重庆）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）.SB压一sin艺ASHsin匕BSC,弘1-6又ABC:

为正三角形,AH上面SBC,:

.当匕ASH和乙BSC为直角时，VA-SBC最大，此时SA二SB=SC=“，V-，二“3/6.（A）4解析（13）5（C）6（D）7:

由题意，各层正方体的侧面积（从下而上）依次构成等比数列，且公比4二.总之，选择题和填空题中的立体几何最值（范围）问题是近年来数学命题的一个新的亮点，不论运用代1/2，故塔形几何体的表面积为:

2X22+422+（万）+12+数、几何，还是向量的方法来求解，学中重视对基础知识的理解与掌握与方法的理解与运用，（如等积变换都需要在平时的教，加强对数学思想+23-、射影公式、割补思=8+4想、立体问题平面化、向量方法等），并注意与其他数学知识的联系，提高识图能力，不断促进空间想象能力和思维能力的发展.，.n，n，d即232，n最小值为6.故选（C）（收稿日期:

2006-08-12）曰.卜i曰卜it-i卜i.卜弓.卜弓任弓卜弓卜弓.卜弓.卜i.卜弓啥弓洲洲洲洲，洲.2-1.曰洲洲洲，洲洲洲曰洲洲洲洲洲洲洲洲目曰洲洲洲主、iU11;1-全卉.幽.工户种刁.、TJr，:

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