浅谈平面几何及平面几何辅助线的教学.pdf

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1浅谈平面几何浅谈平面几何与平面几何与平面几何辅助线的教学辅助线的教学西安外国语大学附属西安外国语学校西安外国语大学附属西安外国语学校郭光福郭光福（本文本文已经已经发表在发表在中学中学数学数学教学教学参考参考22016016年年66期，期，陕西陕西师范师范大学大学出版社出版社）摘要摘要:

初学平面几何的学生初学平面几何的学生思考几何题的方法思考几何题的方法往往存在一些往往存在一些问题问题，有的喜欢分析法探求解题思路，有，有的喜欢分析法探求解题思路，有的喜欢用综合法探求证题思路，其实这两种方法的效率都不高。

其次的喜欢用综合法探求证题思路，其实这两种方法的效率都不高。

其次遇到需要添加辅助线的题目总是无计遇到需要添加辅助线的题目总是无计可施，为提升学生作平面几何题的能力我对可施，为提升学生作平面几何题的能力我对平面几何做题的思考方法和平面几何辅助线做了系统研究以顺平面几何做题的思考方法和平面几何辅助线做了系统研究以顺口溜的形式教口溜的形式教给学生收效很好给学生收效很好.用综合分析法分析解决问题比较奏效，遇到不同的条件以动态的方法联想用综合分析法分析解决问题比较奏效，遇到不同的条件以动态的方法联想不同的辅助线不同的辅助线可使辅助线比较好做可使辅助线比较好做。

关键词关键词：

几何题几何题;辅助线规律辅助线规律;歌诀歌诀1绪论平面几何教学始终存在两个瓶颈问题，一是不习惯从代数的训练基本功转向学习几何语言用演绎方法来书写，另外拿道中等难度的几何题就无从下手，不知道先做再做什么，缺乏正规训练。

二是遇到需要添加几何辅助线的题目不知道如何添加，不会想，只是盲目地实验，运气好的话试出来了否则就是不会做，学习数学的积极性大受打击，对数学学习丧失信心，产生畏难情绪。

看到这种情况我多年以来一直试图解决这个问题：

对于初学几何证明的同学，我提倡他们用综合分析法来解决问题，效果良好。

对于几何辅助线，我借助于教材中的几何变换内容教给学生用动态的方式去想辅助线如何做，想好后然后用规范的作图语言写出辅助线，遇到什么条件该怎么想，我把它几何编制成顺口溜教给学生，容易记忆和运用，收到了很好的效果。

为提升学生综合解平面几何题的能力我把平时的作法总结出来形成这篇文章以供同行借鉴.22.注重基础和大的思维方法的培养注重基础和大的思维方法的培养重要的定义定理和公理及性质必需熟记，在此基础上提倡学生使用“综合分析法”做几何题，这个综合分析法俗称“两头凑”，一头是“已知”另一头儿是“题目的结论和结果”，为什么提倡这个解题方法呢？

通过长期的教学实践发下用分析法找证明题的思路讲起来很顺畅，学生听起来也感到挺好，但是遇到具体问题就不会分析了！

鉴于上面的情况我给学生提倡了一种综合分析法解决几何问题的方法：

一标图：

把已知条件和问题用铅笔用常用的习惯性的记号标出来，标出来了之后就等于把题给记住了，又增加了几何题的直观性了，避免了把哪个条件漏看了.二“联想”其实就是综合法思维，是由“已知”朝“结论”来想。

提倡学生“看条件联想性质，能想就想，能推就推，能算就算，想出来的推出来的算出来的结果和结论联合起来再推想，直到推不动了为止”这至少是扩大了已知的领域了三分析：

在联想的基础上再进行“执果索因”的分析，比较容易找到解题和证题的途径，若在探索解题路径的过程中遇到了过不去的鸿沟就需要搭座桥梁-辅助线，帮我们过去！

四书写：

用综合法来书写也就是从“已知”出发朝“结论”来写，注意推理过程要求步步有据，不能杜撰。

大的做题的方法有了，学生们解答几何题的能力得到了大的提升，但是新的问题又出现了，遇到作辅助线的题目很难想到辅助线如何作如何想，书店几乎买不到这2方面的书籍，网上也很难查到！

我一直想解决这个问题很久了，根据自己平时做几何题积累的经验我总结出用动态的思想作辅助线好想也好掌握，并在同事中做了一些推广收到不错的效果，现在把它整理出来供大家参考3.平面几何常见辅助线作法顺口溜3.1遇到一边有中线，只需将其一倍延例题例题11：

ABC的边AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，求AD的取值范围解析：

AD是BC边上的中线，要直接求出AD的取值范围是不可能的，可考虑延长AD至E使DE=AD,连接BE,则（）4BEDCADSASBEAC2AEADQ在ABE中由三角形三边关系定理得：

AB-BEAEAB+BE即6-42AD6+4,解得：

1AD5例题例题22：

AM是ABC的中线，四边形ABCDE,ACFG都是正方形求证：

AM=12DG解析：

欲证AM=12DG只需证明DG=2AM即可，因为AM是BC边上的中线，可考虑把AM延长一倍，即：

延长AM至Q使MQ=AM,连接QB,QC,则四边形ABQC是平行四边形且AQ=2AM,AC=BQ,180QBABAC,所以只需证明AQBDGA即可，由四边形ABCDE,ACFG都是正方形可得：

90DABGAC,AB=AD,AC=AG而360DABGACDAGBAC,故180DAGBAC,所以QBADAG,所以AQBDGA32：

遇到垂线分角线，翻转全等来变换在题目中有角平分线或者垂线的条件时候，往往是以角平分线或者垂线为轴把某个三角ABCEDQMCFEBDAG3形沿着轴翻转180度之后，得到另外一个三角形，显然俩三角形全等，我们需要做的是适当的做辅助线把翻转180度之后的三角形画出来，制造出一对全等三角形，使得分散条件集中起，便于问题的解决。

例例11：

如图，在ABC中，B=2C,AD是ABC的角平分线，求证：

AC=AB+BDABCD解析：

按照传统的方法“截长补短法”是可以的，若按照题目中有角平分线这个条件，按照本口诀的思路就是把ADB以AD为轴翻转180度，点B落在AC上，很自然想到的辅助线就是：

在AC上截取AQ=AB,连接DQ,然后证明QC=BD即可。

QDCBA证明：

在AC上截取AQ=AB,连接DQBADQADQ,AD=ADADBADQ22AQDBCDQDBAQDQDCCCQDCCQDCCQDQCQCBDACAQQCABBDQ例例22：

求证：

自三角形的顶点引线垂直于两底角的平分线，则两垂足的连线必平行于底边。

已知：

在ABC中，BD平分ABC,CK平分ACB,AEBDEAFCKF于于ABCKDEGFH4求证：

EFBCP分析：

题目中有角平分线和垂线的条件，这就是我们想到以角平分线或垂线为轴把某个三角形翻转180度，制造出全等三角形，利用全等三角形的性质来证题和解题，因此如果把AE,AF延长交BC于G,H,就能发现E,F分别为AG,AH的中点，从而证得EFBCP证明：

延长AE,AF交BC于G,H因为ABE=GBE,AEB=GEB=90，BE=BE所以BEABEGVV所以AE=EG同理可证AF=FH所以EF是AHG的中位线所以EFHGP即EFBCP例例33（99年天津市初二数学竞赛试题）已知CB=AC,C=90，A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂直AD于E.求证：

12BEAD分析：

欲证12BEAD，只需证明AD=2BE即可，需要通过作辅助线作出2BE,考虑到AE是A的平分线，很容易想到以AE为轴把AEB翻转180度，我们所需的辅助线就是把AEB翻转180度后所得的三角形画出来即可，自然会想到延长BE,和AC相较于点F,则AEF与AEB全等，则BF=2BE,问题转化为证明AD=BF,只需证ADC与BCF全等即可证明：

延长BE,与AC的延长线交于F因为AEB=AEF,AE=AE,EAB=EAF,AEBAEFBE=EFQF+EAF=F+CBF=90EAF=CBF,ACD=BCF=90,AC=BC从而有ACDBCFAD=BF=2BE12BEAD3.3：

遇到边边若相等，旋转三角来变换在解决几何问题时候有时会遇到有正方形，菱形，等边三角形，等腰直角三角形的图形，给我们提供了边相等的条件，根据做题的需要我们往往需要把某个三角形旋转适当的角度，把一个三角形拼接的另外的一个位置，这样就把分散的条件给集中起来使得问题容易解决FEDCBA5例例11（2012盐城二模）阅读下列材料：

问题：

如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：

PB：

PC=1：

2：

3，求APB的度数小娜同学的想法是：

不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将BCP绕点B顺时针旋转90得到BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决请你回答：

图2中APB的度数为_请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知APB=115，BPC=125

（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于_分析：

图2中，根据旋转的性质知BCPBAE由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知BPE是等腰三角形，则BPE=BEP=45；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得APE=90；最后根据图中角与角间的数量关系求得APB=135；

（1）设法把PA、PB、PC相对集中，将BCP绕点B顺时针旋转60得到ACM，然后连接PM，问题得以解决

（2）根据旋转的性质知PCM=60，BCPACM然后根据全等三角形的对应边、对应角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数解：

如图2根据旋转的性质知PBE=90，BCPBAE6BP=BE，PC=AE，BPE=BEP=45又PA：

PB：

PC=1：

2：

3，AE2=AP2+PE2，APE=90，APB=APE+BPE=90+45=135，即图2中APB的度数为135故答案是：

135；

（1）如图3，将BCP绕点C顺时针旋转60得到ACM，然后连接PM，APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是APM以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是APM

（2）如图3根据旋转的性质知PCM=60，BCPACMPC=CM，AMC=BPC=125，PCM是等边三角形，MPC=PMC=60，AMP=AMC-PMC=65APB=115，BPC=125，APB+BPC+MPC+APM=360，APM=60，PAM=180-APM-AMP=55以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60、65、55故答案是：

60、65、557（此题初二学生不要求掌握到初三学完相似形后就可以做了此题初二学生不要求掌握到初三学完相似形后就可以做了）例例22（2014吉州区一模）问题情境：

如图1，直角三角板ABC中，C=90，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点问题探究：

（1）在旋转过程中，如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？

并说明理由如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？

并说明理由根据你对、的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_（直接写出结论，不必证明）

（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？

若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由分析：

（1）首先利用等腰直角三角形的性质得出CD=AD,利用边边若相等旋转三角来变换，就可想到把ADP绕着点D,逆时针旋转90度，就得到CDQ，自然就想到连接CD,然后利用等腰直角三角形的性质证出ADPCDQ（ASA），即可得出答案；首先得出DPMDQN，则MDDPDNDQ，求出AMDBND，进而得出答案；根据已知得出RtDNPRtDMQ，则NDDPADBCDQAB，则AD=nBD，求出即可；

（2）当DPAC时，x最小，最小值是52，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，分别求出即可8解：

（1）DP=DQ，理由：

如图2，连接CD，AD=BD，ABC是等腰直角三角形，AD=CD，A=DCQ，ADC=90，ADP+PDC=CDQ+PDC=90，ADP=CDQ，在ADP和CDQ中，A=QCDADCDADP=CDQADPCDQ（ASA），DP=DQ；DP=2DQ，理由：

如图3，过点D作DMAC，DNBC，垂足分别为：

M，N，则DMP=DNQ=90，MDP=NDQ，DPMDQN，MDDPDNDQ，AMD=DNB=90，A=B，AMDBND，MDADDNDB，22PDADDBDQDBBD，DP=2DQ；过D点作DMAB于点M，作DNAC于点N，C=PDQ=90，ADP+QDB=90，可得：

MDN=90，QDM=NDF，又DNP=DMQ，RtDNPRtDMQ，9NDPDADBCDQAB，AD=nBD，PDANADnDQCNBDEP与EQ满足的数量关系式为：

DP=nDQ；故答案为：

DP=nDQ；

（2）存在，设DQ=x，由

（1）知，DP=x，S=21122xxxgAB=20，AC=BC=102，AD=BD=10，当DPAC时，x最小，最小值是52，此时，S有最小值，S最小=2152252当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，此时，S有最大值，S最大=2110502此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及二次函数最值求出等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键，但是利用边边若相等旋转三角来变换是解决此题的突破口例例33：

在ABC的两边AB,AC上向外侧各作正方形ABEF,ACGH,又ADBC于D,DA的延长线交FH于M求证：

FM=HMQPMHGFEDCBA分析：

由俩正方形不难得出AB=AF,AC=AH,很容易想到把三角形ABD从纸里搬出，旋转适当的角度使得AD与FA对齐，把ABD放下去，得到AFP,同样的想法得到AHQ,把旋转后得10到的俩三角形画出来，自然想到过点H作HQDM于Q,过点F作FPDM交DM的延长线于点P,由角边角很容易证明出：

BDA与APF全等，得出PF=AD,同理可得HQ=AD,进而得出FP=QH,然后利用“角角边”得出FPM与HQM全等，最终得出FM=HM证明：

过点H作HQDM于Q,过点F作FPDM交DM的延长线于点PQ四边形ABEF,ACGH都是正方形AB=AF,AC=AH，FAB=HAC=90QFAB+FAP+BAD=180FAB+BAD=90QADB=90ABD+BAD=90FAB=ABDQADB=APF=90BDAAPF（AAS）PF=AD同理可得HQ=AD,FP=QHQFPM=HQM=90,FMP=HMQFPMHQM（AAS）FM=HM例例44：

已知：

在ABC中，AB=BC,ACB=90，BD是AC上的中线，CEBD交BD于E,延长CE交AB于F,连接DF求证：

ADF=BDC分析：

直接证明ADF=BDC比较困难，设法借助于第三角作为媒介。

看到BC=AC这个条件，就联想到“遇到边边若相等，旋转三角来变换”这个口诀，把BCD从纸中搬出来在空中旋转一个适当的角度然后放到CAG的位置，画出CAG，自然就想到辅助线的画法了，即过点A作AGAC于A,交CF的延长线于点G,利用”同角或等角的余角相等“证明出BDC=G,然后利用“边角边”证明出FADFAG,由此得出G=ADF,进而得出ADF=BDC证明：

过点A作AGAC于A,交CF的延长线于点GQCED=CAG=90BDC+ACG=ACG+G=90BDC=GFEDCBAGFEDCBA11QBCD=CAG=90BC=ACBCDCAG（AAS）AG=CD=ADQAB=BC,ACB=90CAB=CBA=45QCAG=90GAF=45GAF=CAB=DAF=45QAF=AFAFGAFD（SAS）ADF=GADF=BDC例例55在等腰直角三角形ABC中，A=90，P是ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=7,求CPA的大小分析：

要求出CPA的大小，需要把分散的条件集中，看到AB=AC这个条件容易想到把ABP绕着点A逆时针旋转90度到ACQ的位置，易知APQ为等腰直角三角形，APQ=45，PQ=2,CQ=PB=3，PC=7,在PQC中由勾股定理的逆定理可知QPC=90所以CPA=135解：

以AC为边在ABC外作AQC使AQCAPB,连接PQ则CQ=PB=3，QA=PA=1，QAC=PABQAP=QAC+PAC=BAP+PAC=BAC=90APQ为等腰直角三角形，APQ=45在APQ中由勾股定理得PQ=2Q222PQPCQC由勾股定理的逆定理可知QPC=90CPA=1353.4：

遇到中点配中点，连点添边中位线在有中点的条件下经常再取中点，把两个中点连起来构成中位线，利用三角形或者梯形中位线定理来解决问题。

有时候过中点作平行线也构成中位线，有时候需要把过中点的线进行延长。

所以上述歌诀也可以表述为：

中点中位线，延线平行线例例11：

已知四边形ABCD中，AD=BC,M,N各是BC和DC的中点，AD,MN的延长线交于点E,BC,MN的延长线交于点F.求证：

AEM=BFMPQPCBACBADACBFMNEO12分析：

题中AEM，BFM的位置分散，应设法添加辅助线把它们迁移，造出新的等角使之集中在一个图形内。

题中已知M,N分别是AB,DC的中点，设想利用三角形中位线的性质作平行移动，刚好也应了“遇到中点配中点，连点添边中位线”的歌诀，连接BD，取BD的中点O，连接ON,OM,则ON,OM分别是BDC和ADB的中位线，这样利用中位线的性质就把AEM，BFM平移到OMN中了，而由三角形中位线的性质可知ON=12BC,OM=12AD,题目中已经告诉BC=AD,所以ON=OM,进而得出ONM=OMN,最后得出AEM=BFM证明：

连接BD，取BD的中点O，连接ON,OM,在BDC中，QDN=NC,DO=OB1,2ONBCONBCP同理可得：

1,2OMADOMADPQONBCP,OMADPONM=BFM,OMN=AEM在OMN中，Q12ONBC,12OMADBC=ADON=OMONM=OMNAEM=BFM例例22：

求证：

三角形的垂心到一顶点的距离等于它的外心到这个顶点的对边的距离的二倍KMLOHCBA已知：

H,O分别是ABC的垂心和外心OLBC于L,求证：

AH=2OL分析：

要证明AH=2OL，即证OL=12AH,可设法先找一个适当的线段使之等于12AH,这就容易13联想到要取AC,HC的中点，M和K,连接MK.我们知道MK=12AH,因此只须证MK=OL即可。

由于MKPAHPLO,OMPBHPLK,则四边形OLKM是平行四边形，问题得以解决。

证明：

取AC,HC的中点，M和K,连接MK,OM,LKQO是ABC的外心，OLBC于LL是BC的中点QH是ABC的垂心MKPAHPLO,OMPBHPLK四边形OLKM是平行四边形OL=MK=12AHAH=2OL例例33（2014漳州模拟）在ABC中，ACB=90，AC=12BC以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：

AEEB分析：

要证明AEBE，只要证明AEB是直角即可，当AEB=90时，AEC+DEB=90又因为DBE+DEB=90，那么要证明AEEB，只要证明AEC=DBE即可那么我们可通过构建全等三角形来实现因为点E是DC的中点，我们自然想到“遇到中点配中点，连点添边中位线”来做辅助线，过E作EFBC交BD于F，DEF=DCB=45根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=12BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现ACE=BFE=90+45=135，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了AEC=DBE证明：

过E作EFBC交BD于FACE=ACB+BCE=135，DFE=DBC=45，EFB=135又EF=12BC，EFBC，AC=12BC，EF=AC，CE=FB14EFBACECEA=DBE又DBE+DEB=90，DEB+CEA=90故AEB=90AEEB例例44如图，ABC中，M是BC的中点，AD是A的平分线，BDAD于D，AB=12，AC=18，求DM的长分析：

此题比较特殊，由角平分线和垂线的条件又有中点的条件按照“遇到垂线分角线，翻转全等来变换”就可以想到沿着AD把ADB翻转180度，画出翻转后的三角形就是本题的辅助线，或者从M是中点来考虑，利用“遇到中点配中点，连点添边中位线”也能想出需要延长BD交AC于点Q,易证ADQ与ADB全等，由此得出AQ=AB=12，DQ=DB,则DM是BMC的中位线，由三角形中位线定理得出DM=12QC=12（AC-AQ）=3解：

延长BD交AC于点QQADB+ADQ=180ADB=90ADQ=90=ADBQAD=AD,BAD=QADADQADBAQ=AB=12，DQ=DBQM是BC的中点由三角形中位线定理得出DM=12QC=12（AC-AQ）=33.5：

若是遇到勾股弦，斜边中点连顶点直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即斜边上的中线把直角三角形分割成了俩等腰三角形。

这是直角三角形的一条非常重要的性质，在解题中有广泛的应用，但是学生往往没有注意到这点，为此我编了这个歌诀目的在于强调这个性质的重要性，和提醒学生在什么条件下要想到这个性质，为了押韵，我在这里用“勾股弦”代表直角三角形，意思是说遇到有关直角三角形的问题时候，别忘了把斜边的中点与直角顶点相连，构成直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质来解题。

例例11：

如图所示点F是BC的中点，BDAC于D,CEAB于E,FGED于G求证：

GE=GDQMDCBA15分析：

题目中有俩直角三角形，又告诉了F是BC的中点，马上就可以想到连接FE和FD,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出EF=12BC,FD=12BC,进而得出FE=FD,又因为FGED于G，所以根据等腰三角形的三线合一得出：

GE=GDABCDEFG证明：

连接FE，FDQBEC=BDC=90F是BC的中点EF=12BC,FD=12BCFE=FD,QFGED于GGE=GD反思：

把结论GE=GD与条件FGED于G交换一下，还是真命题，证法类似。

3.6：

平行之中分角线，等腰三角必出