电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答.pdf
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4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程222210EEct?
=?
，其中2001c=，为常数。
（1）0E0cos（）xEeEtzc=?
；
（2）0sin（）cos（）xEeEztc=?
；（3）0cos（）yEeEtzc=+?
。
证：
证：
（1）222002cos（）cos（）xxEeEtzeEtzczc=?
20（）cos（）xeEtccz=?
2220022cos（）cos（）xxEeEtzeEtzttcc=?
22220022211（）cos（）cos（）0xxEEeEtzeEtzctcccc=?
即矢量函数0cos（）xEeEtzc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
（2）222002sin（）cos（）sin（）cos（）xxEeEzteEztczc=?
20（）sin（）cos（）xeEzcct=?
2220022sin（）cos（）sin（）cos（）xxEeEzteEztttcc=?
22220022211（）sin（）cos（）sin（）cos（）0xxEEeEzteEztctcccc=?
即矢量函数0sin（）cos（）xEeEztc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
（3）222002cos（）cos（）yyEeEtzeEtzczc=+=+?
20（）cos（）yeEtccz=+?
2220022cos（）cos（）yyEeEtzeEtzttcc=+=?
+22220022211（）cos（）cos（）0yyEEeEtzeEtzctcccc=+=?
即矢量函数0cos（）yEeEtzc=+?
满足波动方程222210EEct=?
。
4.2在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度（）Er?
的波动方程为22（）（）0ErEr+=?
已知矢量函数j0（）ekrErE=?
，其中0E?
和k?
是常矢量。
试证明（）Er?
满足波动方程的条件是22k=，这里kk=?
。
证：
证：
在直角坐标系中xyzrexeyez=+?
设xxyyzkekekek=+?
z则（）（）xxyyzzxyzxyzkrekekekexeyezkxkykz=+=+?
故j（）j00（）eexyzkxkykzkrErEE+=?
j（）22j200222j（）0222j（）22220（）eee（）exyzxyzxyzkxkykzkrkxkykzkxkykzxyzErEEExyzkkkEkEr+=+=?
（）?
代入方程，得22（）（）0ErEr+=?
220kEE+=?
故22k=4.3已知无源的空气中的磁场强度为90.1sin（10）cos（610）A/myHextkz=?
利用波动方程求常数k的值。
解：
解：
在无源的空气中的磁场强度满足波动方程22002（,）（,）0HrtHrtt=?
而229229（,）0.1sin（10）cos（610）（10）0.1sin（10）cos（610）yyHrtextkzekxt=?
kz?
22922929（,）0.1sin（10）cos（610）（610）0.1sin（10）cos（610）yyHrtextkzttex=?
tkz代入方程22002（,）（,）0HrtHrtt=?
，得2292900（10）（610）0.1sin（10）cos（610）0yekxtk+=?
z于是有229200（10）（610）0k+=故得92200（610）（10）103k=4.4证明：
矢量函数0cos（）xEeEtxc=?
满足真空中的无源波动方程222210EEct=?
但不满足麦克斯韦方程。
证：
证：
22220002（,）cos（）cos（）（）cos（）xxxErteEtxeEtxeEtxcxccc=?
22220022（,）cos（）cos（）xxErteEtxeEtxttcc=?
所以22220022211（）cos（）cos（）0xxEEeEtxeEtxctcccc=?
即矢量函数0cos（）xEeEtxc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
另一方面，00cos（）sin（）0EEtxEtxxccc=?
而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为E?
0E=?
故矢量函数0cos（）xEeEtxc=?
不满足麦克斯韦方程组。
以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。
4.5证明：
在有电荷密度和电流密度J?
的均匀无损耗媒质中，电场强度E?
和磁场强度的波动方程为H?
222（）EJEtt=+?
，222HHJt=?
证：
证：
在有电荷密度和电流密度J?
的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为EHJt=+?
（1）HEt=?
（2）0H=?
（3）E=?
（4）对式
（1）两边取旋度，得（）HJtE=+?
而2（）HH=H?
故2（）（HHJt）E=+?
（5）将式
（2）和式（3）代入式（5），得222HHJt=?
这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。
H?
同样，对式
（2）两边取旋度，得（）EHt=?
即2（）（EEHt）=?
将式
（1）和式（4）代入式（6），得2221EJEtt=+?
此即满足的波动方程。
E?
4.6在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用库仑条件0A=?
，导出A?
和所满足的微分方程。
解：
解：
将电磁矢量位A?
的关系式BA=?
和电磁标量位的关系式AEt=?
代入麦克斯韦第一方程EHJt=+?
得1（）AAJtt=+?
利用矢量恒等式2（）AA=A?
得2（）AAAJtt=+?
（1）又由D=?
得At=?
即2（）At+=?
（2）按库仑条件，令0A=?
，将其代入式
（1）和式
（2），得222AAJtt=+?
（3）2=（4）式（3）和式（4）就是采用库仑条件时，电磁位函数A?
和所满足的微分方程。
4.7证明在无源空间（0=、0J=?
）中，可以引入矢量位mA?
和标量位m，定义为mDA=?
，mmAHt=?
并推导和mA?
m的微分方程。
证：
证：
无源空间的麦克斯韦方程组为DHJt=+?
（1）BEt=?
（2）0B=?
（3）0D=?
（4）根据矢量恒等式0A=?
和式（4），知D?
可表示为一个矢量的旋度，故令mDA=?
（5）将式（5）代入式
（1），得m（）HAt=?
即m0AHt+=?
（6）根据矢量恒等式0=和式（6），知mAHt+?
可表示为一个标量函数的梯度，故令mmAHt+=?
即mmAHt=?
（7）将式（5）和式（7）代入式
（2），得mmm1AAtt=?
（8）而2mm（）mAAA=?
故式（8）变为22mmm2（）AAAtt=m?
（9）又将式（7）代入式（3），得mm0At=?
即2mm（）At0+=?
（10）令mmAt=?
将它代入式（9）和式（10），即得mA?
和m的微分方程22mm20AAt=?
22mm20t=4.8给定标量位xct=及矢量位（xx）Aect=?
，式中001c=。
（1）试证明：
00At=?
；
（2）、H?
B?
、E?
和D?
；（3）证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。
解：
解：
（1）001（）xAxAtxxcc=?
001（）xctctt=故000000001（）t=则00At=?
（2）0xzyzAABAeezy=?
00BH=?
而（）xxAxEeetxtc=?
t?
（）xxexctex=+=?
000DE=?
（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。
4.9自由空间中的电磁场为（,）1000cos（）V/m（,）2.65cos（）A/mxyEztetkzHztetkz=?
式中000.42rad/mk=。
求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1m、横截面积为）中的净功率。
20.25m图题图题4.9解：
解：
（1）瞬时坡印廷矢量222650cos（）W/mzSEHetkz=?
（2）平均坡印廷矢量2/22av02650cos（）d1325W/m2zzSetkzte=?
（3）任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为n0122d（）26500.25cos（）cos（0.42）270.2sin（20.42）WzzSzzPSeSSeSettt=+=?
0.254.10已知某电磁场的复矢量为000000（）jsin（）V/m（）cos（）A/mxyEzeEkzHzeEkz=?
式中002kc=，c为真空中的光速，0是波长。
求：
（1）0z=、08、04各点处的瞬时坡印廷矢量；
（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
解：
解：
（1）和的瞬时矢量为E?
H?
j0000（,）Rejsin（）esin（）sin（）V/mtxxEzteEkzeEkzt=?
j00000000（,）Recos（）ecos（）cos（）A/mtyyHzteEkzeEkzt=?
则瞬时坡印廷矢量为002000022000（,）（,）（,）sin（）cos（）sin（）cos（）sin
（2）sin
（2）W/m4zzSztEztHzteEkzkzttEekzt=?
故2（0,）0W/mSt=?
022000（/8,）sin
（2）W/m4zEStet=?
20（/4,）0W/mSt=?
（2）*2av1（）Re（）（）0W/m2SzEzHz=?
4.11在横截面积为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为abj0j00jsin（）eV/mjsin（）cos（）eAzyzxzaxEeHaaxxHeHeHaa=+/m?
式中、0H、和都是实常数。
求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量。
解：
解：
（1）和的瞬时矢量为E?
H?
jj00（,）Rejsin（）eesin（）sin（）V/mztyyaxExzteHaaxeHtza=?
jj0000（,）Rejsin（）cos（）eesin（）sin（）cos（）cos（）A/mztxzxzaxxHxzteHeHaaaxxeHtzeHtzaa=+=+?
故瞬时坡印廷矢量为0222022（,）（）sin（）sin（）2sin（）sin（22）W/m4zxaxSxzteHtzaaxeHtza=+?
（2）平均坡印廷矢量*22av01（,）Re（,）（,）（）sin（）W/m22zaxSxzExzHxzeHa2=?
4.12在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值00000（,）sincos（）V/m（,）sinsin（）A/mEErtetkrrEHrtetkrr=?
式中为常数，0E000=，0k00=。
试计算通过以坐标原点为球心、为半径的球面的总功率。
0rS解：
解：
将和表示为复数形式，有E?
H?
00j0j00（,）sineV/m（,）sineA/mkrkrEErerEHrer=?
于是得到平均坡印廷矢量*220av011（,）Re（）sinW/m22rESrEHer=2?
通过以原点为球心、为半径的球面的总功率0rS022220avav000001d（）sinsindd29SEEPSSrr=?
W04.13已知无源的真空中电磁波的电场0cos（）V/mxEeEtzc=?
证明avavxSew=?
c，其中是电磁场能量密度的时间平均值，avw001c=为电磁波在真空中的传播速度。
证：
证：
电场复矢量为jmezcxEeE=?
由0jEH=?
，得磁场强度复矢量jj0mm000jj（e）ezzcczxyHEeeEeEz=?
所以m*20av011Re22zSEHe=?
E?
另一方面，m*00av1Re2222wEEHH20E=+=?
由于000000c=，故有m20avav2zzSeEcewc=?
4.14设电场强度和磁场强度分别为0ecos（）EEt=+?
和0mcos（）HHt=+?
证明其坡印廷矢量的平均值为av00em1cos（）2SEH=?
解：
解：
坡印廷矢量的瞬时值为0e0m00emem00ememcos（）cos（）1cos（）cos（）21cos
（2）cos（）2SEHEtHtEHttttEHt=+=+=+?
故平均坡印廷矢量为av00emem0000em111dcos
（2）cos（）d21cos（）2TTSStEHtTTEH=+=?
t?
4.15在半径为a、电导率为的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度S。
（1）求导线表面外侧的坡印廷矢量S?
；
（2）证明：
由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解：
解：
（1）当导线的电导率为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场i2zJIEea=?
根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即izEEoz=。
因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为o2zaIEa=又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为o0SaE=故导线表面外侧的电场为o20SzaIEeea=+?
利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为o2aIHea=?
故导线表面外侧的坡印廷矢量为22ooo230（）W/22SzaaIISEHeeaa=+?
m?
（2）由内导体表面每单位长度进入其内部的功率222o232d22aSIIPSeSaRaa=I?
式中，21Ra=是内导体单位长度的电阻。
由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
4.16由半径为a的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为，两板间充满介电常数为d、电导率为的媒质，如图题4.16所示。
设两板间外加缓变电压mcosuUt=，略去边缘效应，试求：
（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；
（2）进入电容器的平均功率；（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。
图题图题4.16解：
解：
（1）电容器中的电场mcoszzUuEeetdd=?
位移电流密度和传导电流密度dJ?
J?
分别为mdmsincoszzUEJetdUJEetdt=?
由于轴对称性，两板间的磁场只有e?
分量，且在以z轴为中心、为半径的圆周上处处相等，于是由CddCSSDHlJSStd=+?
可得22mm2cossinUUHtddt=所以m（cossin）2UHettd=?
mmm222（cos）（cossin2cossin222zUUSEHetettddUettd）=?
mm2222av20022d（）cossin222224USStetdUed=?
dtt
（2）进入电容器的平均功率为mmavavavavav2222ddd242zzSSSSPSSSeSSeSSeUaaUaddd=+=?
dS?
下上柱（）面（3）损耗功率瞬时值为Pmmm2222222222dcosdcoscosVVUUaUPEVtVtadddd2t=平均损耗功率为avPm222av0d22aUPPtd=由此可见，有。
avavPP=4.17已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电场为zj11mj（）22meekzxkzyEeEEeE=?
其中为常数、00k=。
证明：
总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。
证：
证：
由0jEH=?
得磁场复矢量j01111000jj（）ekzzyHEeEeEz=?
mj（）02222m000jj（）ekzzxHEeEeEz=?
所以平均坡印廷矢量1m*j0av1111m1m020011ReReee2212kzkzxyzSEHeEeEeEj=?
2m*j（）0av2222m2m020011ReReee2212kzkzyxzSEHeEeEeEj（）=?
合成波电场和磁场复矢量jj（）121m2mj（）j00122m1m00eeeekzkzxykzkzxyEEEeEeEHHHeEeE=+=+=+=+?
所以平均坡印廷矢量1m2m*av*jj（）j（）j001m2m2m1m0022001Re21Re（ee）ee21（）2kzkzkzkzxyxyzSEHeEeEeEeEeEE=+=+?
由此可见。
avav1av2SSS=+?
4.18试证明电磁能量密度221122wEH=+?
和坡印廷矢量SEH=?
在下列变换下都具有不变性：
1cossinEEH=+?
，11sincosHEH=+?
其中为常数、=。
证：
证：
（1）2211111112222EHEEH1H+=+?
22222cossin2cossin2EHEH=+?
2222211sincos2cossin2EHEH+?
由于=，则2=及2/=，故有2221111112222EHE+=+?
2H?
（2）111（cossin）（sincos）EHEHEH=+?
221cos（）（）sinEHHEEH=+=?
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