考研数学三真题.pdf

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2010年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题分析、详解和评注分析、详解和评注考研数学专家曹显兵、刘喜波教授解答考研数学专家曹显兵、刘喜波教授解答分析解答所用参考资料分析解答所用参考资料：

曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿，黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：

1.2010考研数学经典讲义，简称经典讲义（人大社出版）.2.2010考研数学最新精选600题，简称600题.3.2010考研数学经典冲刺5套卷，简称冲刺卷.一、选择题：

一、选择题：

18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.

（1）若xxeaxx）1（1lim0=1,则a等于（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.【】【答案答案】应选（C）.【分析分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.【详解详解】xeaxeaxxxxxx）1（1lim）1（1lim00=）1（lim0xxxaexe+=1lim0xxe=+a=1+a=1,所以a=2.因此应选（C）.【评注评注】本题形式上是一个反问题，实际上就是最基本的未定式“”型。

原题见经典讲义微积分部分的例题原题见经典讲义微积分部分的例题1.35,以及强化班第一讲中的例题以及强化班第一讲中的例题19.

（2）设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y+p（x）y=q（x）的两个特解.若常数,使y1+y2是该方程的解,y1y2是对应的齐次方程的解,则（A）21,21=.（B）21,21=.（C）31,32=.（D）32,32=.【】【答案答案】应选（A）.【分析分析】此题主要考察线性微分方程解的性质和结构【详解详解】因y1y2是方程y+p（x）y=0的解,所以（y1y2）+p（x）（y1y2）=0即y1+p（x）y1y2+p（x）y2=0由已知得（）q（x）=0,因为q（x）0,所以=0,又12yy+是非齐次y+p（x）y=q（x）的解,1考研数学助手您考研的忠实伴侣故（y1+y2）+p（x）（y1+y2）=q（x）.即y1+p（x）y1y2+p（x）y2=q（x）.由已知得（+）q（x）=q（x）.因为q（x）0,所以+=1,解得21,21=.【评注评注】此题属反问题，题目构造较新颖。

原题见经典讲义微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理原题见经典讲义微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理（3）设函数f（x）,g（x）具有二阶导数,且满足等g（x）小于零,g（x0）=a是g（x）的极值,则f（g（x）在x0取极大值的（一个充分）条件是（A）f（a）0.（C）f（a）0.（D）f（a）0.【】【答案答案】应选（B）.【分析分析】求f（g（x）的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。

【详解详解】f（g（x）=f（g（x）g（x）,f（g（x）=f（g（x）g（x）=f（g（x）g（x）2+f（g（x）g（x）,由g（x0）=a是g（x）的极值知g（x0）=0.于是有,0（）|0xxfgx=（）000（）|（）（）（）xx0fgxfgxgxfagx=由于g（x0）0,要使f（g（x0）0.因此应选（B）.【评注评注】本题主要考查导数的应用。

原题见经典讲义微积分部分的第三章定理原题见经典讲义微积分部分的第三章定理3.8、3.10（4）设f（x）=ln10x,g（x）=x,h（x）=10xe,则当x充分大时有（A）g（x）h（x）f（x）.（B）h（x）g（x）f（x）.（C）f（x）g（x）h（x）.（D）g（x）f（x）h（x）.【】【答案答案】应选（C）.【分析分析】计算两两比的极限【详解详解】因为1010（）1limlimlim（）10xxxxxhxeegxx+=+，91091ln（）lnlnlimlimlim1010lim（）1xxxxxfxxxgxxx+=x81lnln1109lim1092lim10!

lim01xxxxxxx+=?

x，所以当x充分大，（）（）（）fxgxhxs.（C）若向量组II线性无关,则rs.（D）若向量组II线性相关,则rs.【】【答案】应选（A）.【详解】因向量组I能由向量组II线性表示，所以r（I）r（II），即r（1,2,r）r（1,2,s）s,而向量组I线性无关，于是r（1,2,r）=r，所以rs.选（A）.【评注评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.原题见经典讲义线性代数部分的第三章原题见经典讲义线性代数部分的第三章1中的推论中的推论3.5.（6）设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=O,若A的秩为3,则A与相似于（A）.（B）.01110111（C）.（D）.【】01110111【答案】应选（D）.【详解】设为A的特征值，由于A2+A=O，知特征方程2+=0，得1=或0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A，r（A）=r（）=3，因此A=，0111应选D）.【评注】

（1）若A可对角化，则r（A）=A的非零特征值的个数.

（2）本题由A2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题5.30，5.39,以及强化班第一讲中的例题以及强化班第一讲中的例题8、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题4.（7）设随机变量的分布函数=.1,1,10,21,0,0）（xexxxFx则PX=1=（A）0.（B）21.（C）121e.（D）1e1.【】【答案答案】（C）【分析分析】本题考查如何利用分布函数来计算随机变量取值的概率.属基本题.【详解详解】根据分布函数的性质,有3PX=1=PX1PX=.0）,（,0）,（）（21xxbfxxafxf（a0,b0）为概率密度,则a,b应满足（A）2a+3b=4.（B）3a+2b=4.（C）a+b=1.（D）a+b=2.【】【答案答案】（A）【分析分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质，属基本题.【详解详解】由已知有21221）（xexf=,=.,0,31,41）（2其他xxf由概率密度的性质有1=+dxxf）（+=0201）（）（dxxfbdxxfa+=+30141）（2dxbdxxfaba432+=，所以2a+3b=4,选（A）.几乎原题见经典讲义概率统计部分的例题几乎原题见经典讲义概率统计部分的例题2.5,以及强化班第二讲中的例题以及强化班第二讲中的例题4.二、填空题：

二、填空题：

914小题，每小题小题，每小题4分，共分，共24分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）设可导函数y=y（x）由方程确定,则dttxdtexyxt=+020sin20|=xxddy=_.【答案答案】应填1.【分析分析】先由方程求出时0x=0y=，再两边对求导，属基础题型.x【详解详解】由，令x=0，得y=0,dttxdtexyxt=+020sin2等式两端对x求导得xxdttdxdyexyx202）（sinsin）1（2+=+=+,将x=0，y=0代入上式，得0|10=+=+=xdxdy,所以0|=xxddy=1.【评注评注】利用变限积分求导公式时，被积函数中不能含有及的函数。

xx几乎原题见经典讲义微积分部分习题精选二解答题的第几乎原题见经典讲义微积分部分习题精选二解答题的第2题。

题。

（10）设位于曲线）ln1（12xxy+=（ex+）下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是_.4【答案答案】应填24.【分析分析】利用旋转体的体积公式即得【详解详解】dxxxdxyVee+=）ln1（122）（lnln112xdxe+=arctanlnx+e）42（=24【评注评注】计算时须注意这是一个反常积分。

（11）设某商品的收益函数为R（P）,收益弹性为1+PP3,其中P为价格,且R

（1）=1,则R（P）=_.【答案答案】应填）1（313PeP.【分析分析】利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程【详解详解】由弹性的定义知31dRPPdPR=+=+,得dPPPRdR）1（2+=,两边积分得lnR=lnP+CP+331又由R

（1）=1知，31=C,所以）1（313=PePR.故应填）1（313PeP.【评注】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，属基本题型.几乎原题见经典讲义微积分部分第九章的例题几乎原题见经典讲义微积分部分第九章的例题9.6（12）若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点（1,0）,则b=_.【答案答案】应填3.【分析分析】利用（1,0）是曲线拐点的条件列方程解出b.【详解详解】y=x3+ax2+bx+1在整个实数区间上可导,且y=3x2+2ax+b,y=6x+2a,因（1,0）是曲线的拐点，有026=+a,即a=3.又点（1,0）在曲线上,于是0=

（1）3+3

（1）2+b

（1）+1,得b=3.故应填3.（13）设A,B为3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A1+B|=2,则|A+B1|=_【答案答案】应填3.【分析分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.【详解详解】由于|A+B1|=|（AB+E）B1|=|（AB+AA1）B1|=|A（B+A1）B1|=|A|A1+B|B1|=3221=3因此应填3.5【评注】也可以由得|A+B|11BBAABEBAA+=+=+=+=+1|=3.类似的问题见经典讲义线代部分的例题类似的问题见经典讲义线代部分的例题2.10.（14）若若X1,X2,Xn为来自正态总体N（,2）的简单随机样本,=niiXnT121,则ET=_.【答案答案】应填2+2.【分析分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题.【详解详解】ET=）1（12=niiXnE）（112=niiXEn）（12XnEn=E（X2）=2+2.故应填2+2.原题见经典讲义概率统计部分的习题七中第二个选择题原题见经典讲义概率统计部分的习题七中第二个选择题,类似的问题见强化班第五讲中的例题类似的问题见强化班第五讲中的例题.三、解答题：

三、解答题：

1523小题，共小题，共94分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分本题满分10分分）求极限xxxxln11）1（lim+.【分析分析】化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换【详解详解】xxxxxxxexln）1ln（limln111）1（lim+=xxxxxxxxe1ln111lim211+=）1（ln1limln+=xxxexxexxxxxelnln1lim+=e1.【评注评注】

（1）1lnlimlim1xxxxxxe+=，本题是未定式型.00

（2）1ln11lnxxxxexx=.（16）（本题满分本题满分10分分）计算二重积分,其中D由曲线x=+Ddyx3）（21y+与直线x+2y=0及x2y=0所围成.【分析分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性【详解详解】，显然D关于x轴对称,且D=D1D2,其中D1=（x,y）|0y1,212yxy+,D2=（x,y）|1y0,212yxy+.6+Ddyx3）（+=Ddxdyyxyyxx）33（3223+=DDdxdyyyxdxdyxyx）3（）3（3223+=1）3（223Ddxdyxyx+0（被积函数3x2y+y3关于y是奇函数）21132022（3）yydyxxydx+=+=+dyyxxyyx+=+=10122242）2341（21420912244yydy=+=1415.【评注】二重积分的对称性的考察一直是研究生考试的重要测试内容.原题见经典讲义微积分部分第六章的例原题见经典讲义微积分部分第六章的例6.14等等,类似的问题见强化班第九讲中的例类似的问题见强化班第九讲中的例5、8、9题题.（17）（本题满分本题满分10分分）求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.【分析分析】本题为条件极值问题,用拉格朗日乘数法。

【详解详解】令F（x,y,z,）=xy+2yz+（x2+y2+z210），解方程组=+=+=+=+=010,022,022,02222zyxzyFyzxFxyFzyx得x=1,5=yz=2,或x=1,5=yz=2.由（1,5,2）（1,5,2）55uu=,（1,5,2）（1,5,2）55uu=,得所求最大值为55,最小值为55.【评注】求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型.原题见经典讲义微积分部分第五章的例原题见经典讲义微积分部分第五章的例5.28,类似的问题见强化班第八讲中的例类似的问题见强化班第八讲中的例15题题.（18）（本题满分本题满分10分分）（I）比较与（n=1,2,）的大小,说明理由;dtttn+10）1ln（|ln|dtttn10|ln|（II）记un=（n=1,2,）,求极限.dtttn+10）1ln（|ln|nnulim【分析分析】对（I）比较被积函数的大小，对（II）用分部积分法计算积分再用夹逼定理求极限.dtttn10|ln|7【详解详解】（I）当0t1时,0ln（1+t）t,故|lnt|ln（1+t）n|lnt|tn.由积分性质得（n=1,2,）.dtttn+10）1ln（|ln|dtttn10|ln|（II）dtttdtttnn=1010ln|ln|1|ln11101101dtttttnnn+=+1012|）1（1+=ntn2）1（1+=n.于是有0un2）1（1+n,（n=1,2,）,由夹逼定理得02）1（1limlim+nunnn=0，故0lim=nnu.【评注】若一题有多问，一定要充分利用前面提供的信息。

（19）（本题满分本题满分10分分）设函数f（x）在闭区间0,3上连续,在开区间（0,3）内二阶可导,且2f（0）=20（）fxdx=f

（2）+f（3）.（I）证明存在（0,2）,使得f（）=f（0）;（II）证明存在（0,3）,使得f（）=0.【分析分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理【证明证明】（I）因f（x）在闭区间0,2上连续,由积分中值定理得，至少存在一点（0,2）,使得dtxf20）（=f（）（20）又2f（0）=20（）fxdx，得f（）=f（0）,即存在（0,2）,使f（）=f（0）（）因2f（0）=f

（2）+f（3），即2）3（）2（）0（fff+=,又f（x）在闭区间2,3上连续,由介值定理知，至少存在一点2,3,使得f（）=f（0）.因此f（x）在区间0,上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点1（0,）,2（,）,有f

（1）=f

（2）=0,由f（x）在0,3上连续,在（0,3）内二阶可导,知f（x）在1,2上连续,在（1,2）可导,用罗尔中值定理,至少存在一点（1,2）（0,3）,使得f（）=0.【评注】一般地有如下结论：

设在a,b上连续，）（xf12,（1,2,）naxxxbin=?

，8则存在,ba，使得12（）（）（）（）nfxfxfxfn+=+=?

.原题见经典讲义微积分部分第三章的例原题见经典讲义微积分部分第三章的例3.18,及强化班第五讲中的例及强化班第五讲中的例8.（20）（本题满分本题满分11分分）设已知线性方程组Ax=b存在2个不同解,1101011=A,11=ab（I）求,a；（II）求方程组Ax=b的通解.【分析】本题考查方程组解的判定与通解的求法.由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解.【详解】（I）方法方法1=111101011aA+110010101112a.由线性方程组Ax=b存在2个不同解,得=1,a=2.方法方法2由线性方程组Ax=b有2个不同的解,知r（A）=r（A,b）3,因此方程组的系数行列式1101011|=A=

（1）2（+1）=0，得=1或1；而当=1时,r（A）=1r（A,b）=2,此时，Ax=b无解，所以=1.由r（A）=r（A,b）得a=2.

（2）当=1,a=2时,000010201111A00002101023101，故方程组Ax=b的通解:

+=10102123kx,k为任意常数.几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题几乎原题见经典讲义线性代数部分的例题4.15，4.16,以及强化班第四讲中的例题以及强化班第四讲中的例题6.9（21）（本题满分11分）设正交矩阵Q使得Q,0431410=aaATAQ为对角矩阵,若Q的一列为T）1,2,1（61,求a,Q【分析】本题考查实对称矩阵的正交对角化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，于是最终求出Q.【详解】记=121611.由A1=11,即=12112104314101aa得a=1,=2,因此.=014131410A由141304141413141|+=AE420130414+=（+4）

（2）（5）=0得A的特征值为1=2,2=4,3=5，且对应于1=2的特征向量为1=T）1,2,1（61.当2=4时,.=000010101000414171414171414）4（AE由得对应于0）4（=xAE2=4的特征向量为2=（1,0,1）T.当2=5时,.=000110101000110121514121415）5E（A由得对应于0）5（=xAE2=5的特征向量为.T）1,1,1（3=将1,2,3单位化得：

1=T）1,2,1（61,2=T）1,0,1（21,3=T）1,1,1（31.因A为实对称矩阵,1,2,3为对应于不同特征值的特征向量，所以1,2,3为单位正交向量组.令10Q=（1,2,3）,31216131062312161=则Q为正交矩阵，QTAQ=.542完全类似的问题见经典讲义线性代数部分的例题完全类似的问题见经典讲义线性代数部分的例题5.15，6.12,以及强化班第五讲中的例题以及强化班第五讲中的例题10.（22）（本题满分本题满分11分分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为,x+,y+,求常数A以及条件密度f2222）,（yxyxAeyxf+=Y|X（x|y）.【分析】本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度.【详解详解】由联合概率密度的性质有dxdyyxf+=）,（1dxdyeAyxyx+=2222）（22）（xydedxeAxyx=+=A=A,得常数1=A,即22221）,（yxyxeyxf+=.因为X的边缘概率密度为dyyxfxfX+=）,（）（dyeyxyx+=22221）（122）（xydeexyx=+21xe=,因此条件概率密度）（）,（）|（|xfyxfxyfXXY=2221yxyxe+=,x+,y+.【评注】本题要充分的利用积分=+dxex2简化计算.完全类似问题见经典讲义概率统计部分的例题完全类似问题见经典讲义概率统计部分的例题3.5，3.6,以及强化班第四讲中的例题以及强化班第四讲中的例题6，7，冲刺班中的例题，冲刺班中的例题.（23）（本题满分本题满分11分分）箱中装有6个球,其中红球1个,白球2个,黑球3个,现从袋中随机取2球,记X为取出红球的个数,Y为取出白球的个数.（I）求随机变量（X,Y）的概率分布；（II）求Cov（X,Y）.【分析分析】本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古典概率问题.【详解详解】（I）易知X的所有可能取值为，Y的所有可能取值为,2.0,10,111X=i,Y=j表示取到i个红球，j个白球.由古典概型得PX=0,Y=0=2623CC51=,PX=0,Y=1=261312CCC52=,PX=0,Y=2=2622CC151=,PX=1,Y=0=261311CCC51=,PX=1,Y=1=261211CCC152=,PX=1,Y=2=0,故二维随机变量（X,Y）的概率分布为XY012051521511511520（II）CovX,Y=EXYEXEY152=3231454=.完全类似问题见经典讲义概率统计部分的例题完全类似问题见经典讲义概率统计部分的例题3.2,3.3,以及强化班第三讲中的例题以及强化班第三讲中的例题1,例题例题4，12