等价无穷小例题解析.pdf

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1）11（2lim0xxxxx通过三角函数的公式将原式变形xxxxxxxtgxcos）cos1（sinsincossinsin因为sinxx，1-cosx21x2由此看出，当x0时，tgxsinx是x的三阶无穷小，事实上21cos21limcos）cos1（sinlim32030xxxxxxxxxx此题错误解法：

此题错误解法：

解：

因为0sinlimsinlim00xxxtgxxxtgxxx所以，当x0时，tgxsinx是x的一阶无穷小这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，与k比的极限不能为零。

2利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有：

当0x时,）1ln（arctanarcsintansinxxxxxx1ex,221cos1xx,xxx2tan2sin2例例5求下列函数的极限

（1）203cos1limxxx，

（2）30tansinlimxxxx解解

（1）203cos1limxxx=61321lim220xxx（221cos1,0xxx）

（2）xxxx30sinsintanlim=xxxxxcos）cos1（sinlim3020sin（1cos）1limcosxxxxxx=2202sin2limxxx=21（2222sin,0xxx）小结小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。

否则会出错如上题0limsinsintanlim3030xxxxxxxx,即得一错误结果