几类传染病动力学模型的研究.pdf

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福建师范大学硕士学位论文几类传染病动力学模型的研究姓名：

叶星旸申请学位级别：

硕士专业：

应用数学指导教师：

李学鹏20060401福建师范大学叶星晒硕士学位论文摘要本文研究了三类传染病动力学模型：

首先，研究一类介于SIS和SIR阃传播的具有变免疫力和常数输入的传染病模型对具种群规模制约的一般接触率，比较了种群在有无染病者输入时系统动力学行为的异同点得到了地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件进一步，通过构造Liapmlov函数和利用广义BeMixsonDulac定理分别得到了疾病是双线性发生率和标准发生率时地方病平衡点全局渐近稳定的充要条件一其次，研究双线性发生率和标准发生率下的食饵种群具有一般性密度制约的捕食者染病的生态一流行病模型。

分别得到了疾病是否流行和捕食者是否生存的闽值；利用LaSalle不变集原理、微分方程比较原理和极限方程理论得到捕食者灭绝平衡点和两种群其存且疾病消除平衡点的全局稳定性；应用无穷维动力系统理论给出系统永久持续生存的判定，应用微分方程Hopf分支定理得出在标准发生率下系统在正平衡点附近存在小振幅的周期解1最后，根据禽流感疫情，建立一类潜伏期和染病期都具有传染力且具有不依赖于隔离项的发生率的动物禽流感模型，以及一类疾病在两无相互作用种群间传播的人禽流感模型所得结论体现了加强对新输入者的检疫工作以及对染病者的治疗的重要性，也说明了人类所采取的捕杀和隔离都有助于控制疾病的流行此外，要控制疾痛在人群中的流行，最根本的是要控制疾病在禽类中的流行关键词：

传染病模型；生态流行病模型；禽流感；永久持续生存；全局渐近稳定；Hopf分支福建师范大学叶星呖硕士学位论文AbstractInthispaper，weconsiderthreekindsofepidemicmodels：

First，weconsideranepidemicmodelwithwaningimmunitywhichcorrespondstotransitionsfromtheSIStotheSIRframeworksFortheeasewiththepopula-tionsizedependentcontactrate，weshowthedifferenceofthedynamicbehaviorbetweentheexistenceandtheabsenceofimputofinfectiousindividuals，andthesufficientconditionsofglobalasymptoticalstabilityoftheendemicequilibpiumsareobtained，respectivelyFuther，forthemodelswiththebilinearandstandardincidencerate，thesufficientandnecessaryconditionsofglobalstabilityoftheendemicequilibriumsareprovedbymeansofconstructingasuitableLiapunovfunctionandapplyingBendixsonDulactheorem，respectivelySecondly，weproposeanecoepidemiologicalsystem，namely，preywithgeheraldensitydependence，soundpredatorandinfectedpredatorBothsimplemassactionandthestandardincidenceareanalyzedindetailTwothresholdparametersarefoundwhichcontrolthedevelopmentofthediseaseandthegrowthofthepreda-torpopulationBycombiningwiththeLaSalleinvariantsettheorem，thecomparisontheoremofdifferentialequationandthetheoryoflimitsystems，theglobalstableresultsofthepredatorextinctequilibriumanddiseasefreeequilibriumsareobtainedByapplyinguniformpersistenceofinfinitedimensionaldynamicalsystemandHopfBifurcationtheorem，wegetthepermanenceofsystemandthatasmallamplituteperiodicsolutionappearsforthecaseofthestandardincidenceFinally，wefirstformulateandstudytheglobaldynamicsoftheavianflumodelwithquarantineadjustedincidencethathasinfectiousforceinlatentperiodandinfectedperiodSecondly，anepidemicmodeloftwouninteractionspecieswhichdescribesthehumanavianfluisproposedandinvestigatedTheresultsnotonlyembodytheimportanceofstrengthenquarantineworktotherecruitmentandtreat-mentforinfections，butalsoshowthatthehuntingandisolationarehelptotheepidemiccontr01Keywords：

epidemicmodel，ecoepidemiological，avianflu，permanence，globalstability，Hopfbifurcation福建师范大学叶星肠硕士学位论文中文文摘本文借助传染病动力学的建模思想及其研究方法，在前人工作的基础上考虑了三大类新模型全文共分四章，概要如下：

第一章为绪论，介绍了国内外传染病动力学模型的研究概况以及一些常用的概念和定理，如Hopf分支定理、极限方程理论、LaSalle不变集原理、生态系统的永久持续生存等第二章，讨论了一类带有常数输入且介于SIS和SIR间传播的具有变免疫力的传染病模型fS=（1一p）AdSp（N）SI+arI+aeR，II=pA+fl（N）SI一（d+n+7），（25）l【R=（1一a）rl一（盯e+d）R!

模型中参数盯（0盯1）控制染病者恢复后免疫能力的大小盯=0相应于：

SIR模型，意味着染病者康复后均获得了终身免疫力，O-=1对应的是SIS模型，意味着染病者康复后均不具有免疫能力，可以立即再次被感染0盯1时是不稳定的定理24若无染病者输入即P=0，则地方病平衡点P+只要存在就一定是局部渐近稳定的当Ro1且口d+2ae时，地方病平衡点P是全局渐近稳定的当有染病者输入即P0时，模型不存在无病平衡点，此时疾病将不会消除，而对于唯一的地方病平衡点我们有：

定理26若P0，则地方病平衡点P+是局部渐近稳定的当od+2盯e时，地方病平衡点P+是全局渐近稳定的一为了得到地方病平衡点全局稳定的充要条件，该章进一步详细考虑了双线性发生率和标准发生率的情况当疾病是双线性发生率时通过构造Liapunov函数V（I，R，）_学（I-卜川n嘉）+；（RR甲+学（JvN）2，和忍）=血（I-I*-IIn）+方（R-R*）2+AC（u“）dj，分别得到了模型在有无染病者输入时地方病平衡点的全局渐近稳定性：

定理210当疾病是双线性发生率时，系统（25）的地方病平衡点只要存在就一定是全局渐近稳定的当疾病是标准发生率时，通过引入适当的变换得到与原系统等价的新系统，并利用广义BendixsonDulac定理排除新系统的周期解，得到了地方病平衡点在有无染病者输入时的全局渐近稳定性：

定理219当疾病是标准发生率时，系统（25）的地方病平衡点只要存在就一定是全局渐近稳定的第三章，在最基本的SI流行病动力学模型上首次详细研究了具有一般性密度制约的食饵种群对染病的捕食种群的影响，推广了前人所考虑的食饵种群具有各种具体形式增长率的捕食者染病的模型，所得结论更具一般性31生率的捕食者染病的生态一流行病模型=xg（x）一妒（x）S，=妒（x）sdS一卢S，（35）=卢s，一（d+a），IV黻似一出一出吖一出线rJ、【删有具患考节福建师范大学叶星晒硕士学位论文利用微分方程比较原理得到系统解的有界性通过分析非负平衡点的存在性得到：

定理32当盯1时，系统（35）仅有非负平衡点岛和E1；当R1口时，除了玩，E1外，又出现了边界平衡点E2；当1R仃时，除了E0，E1，E2外，又有正平衡点B出现其中。

：

坐掣旦为控制捕食者足否生存的阈值，R：

塑掣1为控制疾病是否流行的阈值通过构造Liapunov函数V=I并借助极限方程理论得到捕食种群灭绝平衡点的全局稳定性：

定理34如果口1，则边界平衡点El（，o，o）在避内除平面x=o夕h是全局渐近稳定的以往文献对于两种群共存且疾病消除平衡点或者没有给出其全局渐近稳定的判定或者是利用微分方程比较原理得到，但利用比较原理会使整个证明过程显得冗长而复杂，本文采用构造Liapunov函数方法有效地克服了这方面的不足：

31节借助Liapunov函数y=等蚺螂蝈n扣并利用LaSalle不变集原理得到：

定理35当R10时，两种群共存且疾病消除平衡点易（贾，雪，0）在避内除平面S=0外是全局渐近稳定的利用无穷维动力系统持久性的判定方法有：

定理36当1R0时，种群永久持续生存32节考虑了疾病是标准发生率的情况，通过分析系统非负平衡点的存在性得到了控制捕食者是否生存的阈值。

和疾病是否流行的阈值R对于疾病是标准发生率的系统，我们有如下性质：

定理38当盯l时，系统仅有非负平衡点岛，El，易，Es；当R1盯时，除了E0，El，易，B外，又出现了边界平衡点目；当1R盯时，除了E0，E1，E2，玛，E4外，又有正平衡点E5出现定理39E0，易，E3总是不稳定的鞍点如果J1,El是不稳定的但此时目存在，且当tfI（圣）o，R1盯时，E4局部渐近稳定当lR盯时，目不稳定，此时如出现为了进一步考察正平衡点的性态，我们考虑食饵服从Logistic增长规律，且捕食者为HollingII类功能性反应函数的情况利用微分方程Hopf分支定理得到系V福建师范火学叶星呖硕士学位论文统在定条件下在正平衡点B附近出现小振幅的周期解：

定理310若牙三i土z+K，且（卢一。

一d）（。

+d）rB，则存在唯一r，们Z的o（二_，K）使得当f=岛时，系统（357）在平衡点E5附近发生Hopf分z矿一们支而且当f，K）时B是局部渐近稳定的，当f（二二i二，岛）时，岛是不稳定的注311定理310所得的结果在以往所考虑的捕食者染病的生态一流行病模型中是从未见过的定理314如果盯1，则边界平衡点El（K，0，0）在避内除平面z=0外是全局渐近稳定的定理315如果lR盯，即d一血1时，地方病平衡点P是全局渐近稳定的所得结论说明了要控制疾病的流行必须加强对新输入者的检疫工作以及对染病者的治疗，同时也说明了人类所采取的对病禽的捕杀和隔离都有助于控制疾病的流行此外，要控制疾病在人群中的流行，最根本的是要控制疾病在禽类中的流行VII第12绪论第1章绪论11传染病模型国内外研究概况随着卫生设施的改善，医院水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如天花，霍论等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制但在世界的某些地方，特别是贫穷的发展中国家还不时出现传染病流行的情况当前，一种更为险恶的传染病一禽流感，正跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围中蔓延长期以来，建立传染病的数学模型描述传染病的传播过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析其流行的原因和关键因素，以寻求对其预防和控制的最优策略已成为共识t5t”J关于传染病传播的数学模型的研究确切地说是始于20世纪1906年，Hamer为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型1911年，公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群间传播的动态行为进行了研究，该项研究成果使他第二次获得了Nobel医学奖1926年，Kermack和McKendrick为了研究16651666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型之后，又在1932年提出了SIS仓室模型21，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础传染病动力学的建模与研究于20世纪中叶开始蓬勃地发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版、1975年第二版的专著【13】在传染病动力学模型中，有一个非常重要且不可缺少的项，我们称之为疾病的发生率，其一般形式为3C（N）恶I（t）1591，这里的13C（N）被称之为有效接触率，其+。

，中C（N）当No时满足G”）o，警，0在经典的传染病模型中，13C（N）=AN和3C（N）=A（A为常数）被大量使用，它们分别被称为双线性发生率和标准发生率为了解释传染病传播过程中出现的一些复杂现象，近二十年来又有一些发生率被提出，如3C（N）=耳aN雨和再两再aN丽霄所对应的饱和接触率【12l，非线性发生率3IPsq3】、：

蕊bSlj”1以及黑和g（j）s吼还有更一般的传染率，日（，S）161、IG（I，S，g）t7】等传染病模型中的一个重要阈值参数称为基本再生数，它表示在发病初期，种群中所有个体均为易感者时，一个染病者在平均患病期内所传染的染病者数许多学福建师范大学叶星晒硕士学位论文者认为再生数是传染病模型区分疾病流行与否的阈值，因此许多研究工作都致力于寻找基本再生数s-101近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题从传染病的传播机理看，这些模型涉及接触传播、垂直传播、虫媒传播等不同感染方式40】，是否考虑疾病的潜伏期62,69l，对病人的隔离【681，因病或因接种而获得的免疫力34,70以及免疫力的逐渐丧失136-3sl，是否可以忽略因病死亡率、种群自身的增长规律26,27,29,31-33】等因素对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态早期的传染病模型大多假设种群为常数或者渐近常数，在某些条件下是合理的但在实际问题中，不论动物还是植物的数量总是随着外界的扰动而波动，因此需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型常见的种群动力学行为是对易感者仓室的常数输入，种群的指数增长，Logistic型增长2s，33,41l等此外，考虑国际旅游等对疾病流行的影响，Braaer11】认为每个仓室均可能有新成员输入从数学上看，这类模型的研究更加困难。

因为总人口的变化增加了方程的维数关于传染病模型研究目前已取得许多成果，研究有各种类型，所用方法有构造Liapunov函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论，K序单调系统理论，中心流形理论等Hethcote12，lsl对这些工作进行了系统的总结，其中文【12】详细阐述了流行病的建模思想大量的流行病动力学模型都是涉及单个种群的疾病流行，总是假定种群是孤立的然而事实上，自然界中的物种并非单独存在，种群感染某种疾病的同时也不得不去竞争食物资源、空间资源、捕食别的物种或被别的物种所捕食因此我们有必要在种群动力学模型的基础上考虑疾病的影响，或者在流行病模型的基础上考虑种群间相互作用的影响这表现在模型中就是要建立流行病动力学与种群动力学相结合的生态一流行病模型这是一个新的研究方向这方面研究的目的是探讨疾病流行对生态环境的影响，反之如何改善环境以控制疾病的消除目前在这方面的研究工作尚为数不多43-5812本文的主要工作本文中，我们借助传染病动力学的建模思想及其研究方法，在前人工作的基础上考虑了三大类新模型，从不同的角度丰富了前人的模型，所得部分结果涵盖了前人工作中相应模型的结论2第1章绪论第二章在常见的SIS和SIR模型的基础上引进了控制患者病愈后免疫力的参数以得到了一类易感者和染病者均具有常数输入且有效接触率依赖于种群规模的有变免疫力的单种群传染病模型该模型以文【29】和文【4l】中的相关模型作为其特例第三章，受文f52的启发，将文f52】中食饵所服从的Logbtic增长方式推广到了一般的形式，考虑了一类捕食者染病且食饵受一般性密度制约的生态一流行病模型对于双线性发生率的模型，所得结果与文52】中的结论平行，但当考虑标准发生率时，发现了系统在一定条件下在正平衡点附近出现Hopf分支，这是文【52】所“没有的第四章，根据传染病动力学的仓室思想，针对当前的禽流感疫情提出了两类模型其一是反映动物禽流感的潜伏期和染病者均具有传染力的单种群SEISQ模型，该模型以文63】中的相应模型为特例其二是刻画人类感染禽流感病毒的疾病在两无相互作用的种群间传播的生态流行病模型两类模型均得到了控制疾病流行与否的闽值条件，所得结果说明了当前人类所采取的隔离和捕杀措施是有利于控制禽流感的流行的13预备知识131微分方程bE较原理和Hopf分支定理定理1-1（比较原理【18】）设有Cauehy问题（）：

d_y=m赳），（i-iEldz1-I）（）：

“”）【y（xo）2Yo（岛）：

dy=即珂）（I-2）dz（岛）：

。

一”【y（xo）2Yo其中，与F均在区域GcRR上连续，关于Y满足局部Lipschitz条件，（zo，Yo）G，并设（E1）与（E2）的解均在闭区间【n，b】上存在，分别记作Y=（z）与Y=y（z），ozb若，（z，Y）F（x，），V（x，Y）G，贝0当X0。

b时，!

，（z）y（z）；当azXO时，g（z）y（z）定理12（【19】）若n0，b0，且士（）6一ax，则当tto，且X（to）0时，有坤）（）：

1+（掣一1）e-a（t-to）（1-3）3福建师范大学叶星砀硕士学位论文定理13（【19）若ao，b0，且主（）z（6一a2；。

），则当tto，且x（to）0时，有。

）（）（：

）j（1+（bx-C。

（to）一1）eh（to】一j（1-4）下面我们引出常微分方程的三维Hopf分支定理定理14（【21】）设Ra，W是开集，：

w（一肋，肋）一R3，（t）妻$彬p（一po，肛o）上的解析函数方程。

圣=I（x，p），。

（1-5）对于任意的p有平衡态0，I（x，p）在z=0处对z的导算予DI（O，肛）记作A（仳）假定（凰。

）AQ,）有一对共轭复根