河海大学结构力学ch4结构的位移计算.pdf
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静定结构的位移计算静定结构的位移计算张健飞张健飞河海大学工程力学系河海大学工程力学系1概述概述一、结构的位移一、结构的位移位移位移角位移角位移线位移线位移AuvA点线位移点线位移A点水平位移点水平位移A点竖向位移点竖向位移A截面转角（角位移）截面转角（角位移）AAAPuv变形：
结构原有形状的变化。
变形：
结构原有形状的变化。
位移：
结构上各点的移动和杆件位移：
结构上各点的移动和杆件截面的转动。
截面的转动。
引起结构位移的原因引起结构位移的原因t制造误差制造误差等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动AAAPuv铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:
二、二、计算位移的目的计算位移的目的
（1）刚度验算要求刚度验算要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度1/700和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移1/1000高度。
高度。
最大层间位移最大层间位移1/800层高。
层高。
（2）在结构的制作、架设和养护过程中，在结构的制作、架设和养护过程中，常需要预先知道结构变形后的位置，以常需要预先知道结构变形后的位置，以便拟定相应的施工措施。
便拟定相应的施工措施。
（3）超静定计算的基础超静定计算的基础三、三、本章位移计算的假定本章位移计算的假定本章研究的是线性变形体系的位移计算本章研究的是线性变形体系的位移计算所谓线性变形体系是指位移与荷载成比例的结构所谓线性变形体系是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。
荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。
这样的体系，满足变形与位移是微小的和应力应这样的体系，满足变形与位移是微小的和应力应变关系符合虎克定律的假设。
变关系符合虎克定律的假设。
由于位移是微小的，因此，在计算结构的反力和由于位移是微小的，因此，在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸以及荷载内力时，可认为结构的几何形状和尺寸以及荷载的位置和方向保持不变。
的位置和方向保持不变。
2功和虚功功和虚功一、虚功的概念一、虚功的概念功：
力对物体作用的累计效果的度量功：
力对物体作用的累计效果的度量功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移实功：
实功：
力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功PPW21虚功：
虚功：
力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt功包括力和位移两个因素，这两个因素之间存在功包括力和位移两个因素，这两个因素之间存在两种不同情况：
两种不同情况：
1F2F12静力状态（力状态）：
静力状态（力状态）：
做功的力做功的力所处的状态所处的状态位移状态：
位移状态：
做功的位移所处的状态做功的位移所处的状态虚功中做功的力和做功的位移分属同一虚功中做功的力和做功的位移分属同一结构的独立无关的两个状态。
结构的独立无关的两个状态。
虚功计算可以应用叠加原理，实功则不虚功计算可以应用叠加原理，实功则不适用。
适用。
121FW1F1F2F2F1t2t1y2yK1K2K3m二、结构的外力虚功二、结构的外力虚功一个外力系作的总虚功一个外力系作的总虚功W=FKKmFK-广义力，做功的力或力系广义力，做功的力或力系;Km-广义力做功的位广义力做功的位移，称为广义位移移，称为广义位移广义位移是在做功力系中各力作用处所和方向上的位广义位移是在做功力系中各力作用处所和方向上的位移系。
移系。
KmKFW1）集中力的虚功集中力的虚功广义力为集中力时，对应集中力作虚功的广义位移，广义力为集中力时，对应集中力作虚功的广义位移，是力作用点沿力方向的线位移。
是力作用点沿力方向的线位移。
KFKmkk静力状态静力状态K位移状态位移状态m2）力偶的虚功力偶的虚功KmKMW广义力为集中力偶时，对应力偶作虚功的广义位移，广义力为集中力偶时，对应力偶作虚功的广义位移，是力偶作用截面沿力偶方向的角位移。
是力偶作用截面沿力偶方向的角位移。
KMkm位移状态位移状态m静力状态静力状态KFFdCDdFdFWdCdC）（dDCCD小变形小变形CD杆转角杆转角F所形成的力偶矩所形成的力偶矩FdM3）匀布力的虚功匀布力的虚功KqabKmycd静力状态静力状态K位移状态位移状态m广义力为匀布力广义力为匀布力时，对应广义力时，对应广义力作虚功的广义作虚功的广义位移，是匀布力荷载线位移，是匀布力荷载线ab在位移过程中扫过的面积。
在位移过程中扫过的面积。
KqKqabcdKmKqW4）等量反向共线的两集中力的虚功等量反向共线的两集中力的虚功KFKFkkKmKmkk静力状态静力状态K位移状态位移状态mKmKKmKmKFFW）（广义力为等量反向共线的两集中力时，对应广义力广义力为等量反向共线的两集中力时，对应广义力作虚功的广义位移是二集中力作用点沿二力作用方作虚功的广义位移是二集中力作用点沿二力作用方向的相对线位移。
向的相对线位移。
5）等量反向共面二力偶的虚功等量反向共面二力偶的虚功KMKMKKKmKmKK静力状态静力状态K位移状态位移状态mKmKKmKmKMMW）（广义力为等量共面二力偶时，对应广义力作虚功的广义力为等量共面二力偶时，对应广义力作虚功的广义位移是二力偶作用截面沿二力偶作用方向的相广义位移是二力偶作用截面沿二力偶作用方向的相对角位移。
对角位移。
6）平衡力系在刚体位移上的虚功平衡力系在刚体位移上的虚功F0AXFByFAyFABKabl静力状态静力状态KKmBm位移状态位移状态m平衡力系在刚体位移过程中所作虚功为零。
平衡力系在刚体位移过程中所作虚功为零。
刚刚体虚位移原理体虚位移原理二、结构的虚变形功（虚应变能）二、结构的虚变形功（虚应变能）剪切位移剪切位移dsm轴向位移轴向位移dsm/mmdds相对转角相对转角FKKFNKFQKMKmmm,静力状态静力状态K位移状态位移状态mFQKFNKFNK+dFNKFQK+dFQKMKMK+dMKFNKFQKMKFQK+dFQKFNK+dFNKMK+dMKdsMdsFdsFdVmKmKQmKNi1mKsmKQsmKNsidMdsFdsFVmKsmKQsmKNsdMdsFdsFV结构的虚变形功：
表示静力状态下结构各微段结构的虚变形功：
表示静力状态下结构各微段外力（切割面内力）在位移状态下的变形位移外力（切割面内力）在位移状态下的变形位移上的虚功和。
上的虚功和。
3虚功原理虚功原理静力平衡体系静力平衡体系是指满足结构整体和任何局部的是指满足结构整体和任何局部的平衡条件以及静力边界条件，并且遵循作用和平衡条件以及静力边界条件，并且遵循作用和反作用定律的力系。
反作用定律的力系。
简称为静力状态简称为静力状态K位移协调系位移协调系是指在结构的内部必须是分段光滑是指在结构的内部必须是分段光滑连续的、满足变形协调的几何条件，在边界上连续的、满足变形协调的几何条件，在边界上必须满足位移边界条件，并且是微小的位移系。
必须满足位移边界条件，并且是微小的位移系。
简称为位移状态简称为位移状态m虚功原理是变形体结构力学中基本原理之一，虚功原理是变形体结构力学中基本原理之一，它把结构中静力平衡系与位移协调系联系起来。
它把结构中静力平衡系与位移协调系联系起来。
变形体系的虚功原理：
变形体系的虚功原理：
设一变形体系存在着两设一变形体系存在着两个独立无关的静力平衡系和位移协调系，当静个独立无关的静力平衡系和位移协调系，当静力平衡系的力经历位移协调系的位移作虚功时，力平衡系的力经历位移协调系的位移作虚功时，则外力在位移上的作的外力虚功等于体系的虚则外力在位移上的作的外力虚功等于体系的虚变形功。
变形功。
W（外力虚功）（外力虚功）V（虚变形功）（虚变形功）smKsmKQsmKNKmKdsMdsFdsFF1对于平面杆系结构的虚功方程对于平面杆系结构的虚功方程即下式所示的虚功方程成立即下式所示的虚功方程成立dxmmduumummmmmdmmmdmdKMKKdMMKNFKNKNdFFKQFKQKQdFF）（xqdx）（xqN证明：
证明：
分别按微段计算，分别按微段计算，按结构整体计算，按结构整体计算，虚功不会因计算途虚功不会因计算途径不同而有差异。
径不同而有差异。
000dsFdMqdsdFdsqdFKQKKQNkN微段平衡条件微段平衡条件微段位移协调条件微段位移协调条件dsddsddsdsdvdsdvdsdudsdudsdvdsdvmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm1,1,按微段计算按微段计算dsdvvqdsduuqMvFuFddMMdvvdFFduudFFdWmmmmNmkmkQmkNmmkkmmkQkQmmkNkN）2（）2（）（）（）（dsMdsFdsFdsFdMvqdsdFudsqdFdWmKmKQmKNmKQKmKQmNKN1）（）（）（引入位移协调条件引入位移协调条件dsMdsFdsFVWsmKsmKQsmKN1dsMdsFdsFdWmKmKQmKN1引入平衡条件引入平衡条件按整体计算按整体计算KmKexFWW得证得证VWexdsMdsFdsFFsmKsmKQsmKNKmK1虚功原理的应用条件：
虚功原理的应用条件：
力系是平衡的，位移系力系是平衡的，位移系是协调且微小的。
是协调且微小的。
虚功原理的应用形式：
虚功原理的应用形式：
虚位移原理：
虚位移原理：
推求结构真实力系的未知力时，推求结构真实力系的未知力时，应适当给出一虚设的位移协调系，然后建立虚应适当给出一虚设的位移协调系，然后建立虚功方程求出未知力。
这时，虚功方程称为虚位功方程求出未知力。
这时，虚功方程称为虚位移方程，它等价于真实力系的平衡方程。
移方程，它等价于真实力系的平衡方程。
虚力原理：
虚力原理：
推求结构真实位移系的未知位移时，推求结构真实位移系的未知位移时，应适当给出一虚设的平衡力系，然后建立虚功应适当给出一虚设的平衡力系，然后建立虚功方程求出未知位移。
这时，虚功方程称为虚力方程求出未知位移。
这时，虚功方程称为虚力方程，它等价于真实位移系的位移与变形的几方程，它等价于真实位移系的位移与变形的几何协调方程。
何协调方程。
4虚位移原理与单位位移法虚位移原理与单位位移法*虚位移原理：
虚位移原理：
变形体系在力系作用下平衡的必要与充变形体系在力系作用下平衡的必要与充分条件是，当有任意虚拟的位移协调系时，力系中的外分条件是，当有任意虚拟的位移协调系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的外力虚功，恒等于变形体系力经位移系中的位移所作的外力虚功，恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚变形功。
即虚位移方程各微段外力在变形位移上的虚变形功。
即虚位移方程（此时的虚功方程）成立。
（此时的虚功方程）成立。
根据虚位移原理，虚位移方程等价于力系的平根据虚位移原理，虚位移方程等价于力系的平衡方程，可以用来代替平衡方程求未知力。
衡方程，可以用来代替平衡方程求未知力。
当要求静力平衡系中某些未知的约束力时，首当要求静力平衡系中某些未知的约束力时，首先虚拟任意一组约束容许的完全确定的微小的先虚拟任意一组约束容许的完全确定的微小的位移协调系（虚位移），然后利用虚位移原理位移协调系（虚位移），然后利用虚位移原理建立虚位移方程，即可由已知作用力求出未知建立虚位移方程，即可由已知作用力求出未知约束力。
约束力。
单位位移法：
单位位移法：
（1）解除所求约束力的约束代以约束力，得静）解除所求约束力的约束代以约束力，得静力状态力状态k；
（2）沿所求约束力的正方向给以一）沿所求约束力的正方向给以一单位虚位移，得协调得位移状态单位虚位移，得协调得位移状态m；（；（3）建立）建立虚位移方程，由此求得未知约束力。
虚位移方程，由此求得未知约束力。
ABCDEFq=F/2a5虚力原理与单位荷载法虚力原理与单位荷载法虚力原理：
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分与必要条件是，当有任意虚位移系协调的充分与必要条件是，当有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的外力虚功，恒等于变形体系各微的位移所作的外力虚功，恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚变形功。
即虚力方程段外力在变形位移上的虚变形功。
即虚力方程（此时的虚功方程）成立。
（此时的虚功方程）成立。
根据虚力原理，虚力方程等价于位移系的几何根据虚力原理，虚力方程等价于位移系的几何方程，可以用它替代几何方程求未知位移。
方程，可以用它替代几何方程求未知位移。
当要求位移协调系中某些指定的位移时，首先当要求位移协调系中某些指定的位移时，首先按需要虚拟一个完全确定的静力平衡系，然后按需要虚拟一个完全确定的静力平衡系，然后利用虚力原理建立虚功方程，即可求出指定的利用虚力原理建立虚功方程，即可求出指定的位移。
为方便使用，归纳成一种位移。
为方便使用，归纳成一种单位荷载法单位荷载法。
单位荷载法：
单位荷载法：
（1）沿欲求位移的方向加上对应的单位荷载）沿欲求位移的方向加上对应的单位荷载（虚荷载）后得平衡的静力状态（虚荷载）后得平衡的静力状态k（虚拟状态）；（虚拟状态）；
（2）建立虚力方程，由此求得未知位移。
）建立虚力方程，由此求得未知位移。
例：
例：
ABCDBCl1l2l3CBCABCDFk1-l2/l1-（l1+l2）/l10位移状态位移状态m虚力状态虚力状态k位移状态位移状态m（实际状态）（实际状态）虚力状态虚力状态K（虚拟状态）（虚拟状态）利用虚力原理建立利用虚力原理建立杆件结构位移计算的一般公杆件结构位移计算的一般公式式。
单位荷载法单位荷载法KKABAKmCF2F11c2c+t1+t2BKACFk=11RkF2RkF,NkQkkFFMmmm1,11RikiNkmQkmksssmFcFdsFdsMds得到计算结构位移的一般公式得到计算结构位移的一般公式1NkmQkmkRikisssmFdsFdsMdsFc建立虚功方程建立虚功方程不仅适用于静定结构也适用于超静定结构；不仅适用于静定结构也适用于超静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，而且也适用于由不仅适用于荷载作用下的位移计算，而且也适用于由于温度变化、支座移动等因素作用下的位移计算。
于温度变化、支座移动等因素作用下的位移计算。
典型的虚拟状态：
典型的虚拟状态：
ABFk1Mk1要求：
虚拟状态中的单位荷载为与拟求位移相对应要求：
虚拟状态中的单位荷载为与拟求位移相对应的广义力的广义力。
AABClilF1ilF1ABC2l1l11l11l21l21lABFk=1Fk=1Mk1Mk1AB6荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算结构只受荷载，位移计算公式结构只受荷载，位移计算公式其中变形位移是结构由于实际荷载作用而产生的其中变形位移是结构由于实际荷载作用而产生的真实变形，可以由实际荷载引起的内力来计算。
真实变形，可以由实际荷载引起的内力来计算。
对于线弹性材料，根据材料力学提供的物理条件对于线弹性材料，根据材料力学提供的物理条件可知：
可知：
NFmFdsdsEAQFmFdsdsGA1FmMdsdsEI1NkmQkmksssmFdsFdsMdsQkQFkFNkNFsssFFMMFFdsdsdsEIGAEA一般公式一般公式梁与刚架梁与刚架kFsMMdsEI在曲杆和实体拱结构中，当不考虑曲率的影响在曲杆和实体拱结构中，当不考虑曲率的影响时，其位移可近似地按一般公式计算，通常只时，其位移可近似地按一般公式计算，通常只考虑弯曲变形一项已足够精确，仅在扁平拱或考虑弯曲变形一项已足够精确，仅在扁平拱或当拱轴与压力线比较接近时，才需考虑轴向变当拱轴与压力线比较接近时，才需考虑轴向变形对位移地影响，即形对位移地影响，即kFNkNFssMMFFdsdsEIEA积分法积分法将材料和截面常数及内力方程代入下式，积分将材料和截面常数及内力方程代入下式，积分求位移的方法，称为积分法。
求位移的方法，称为积分法。
桁架桁架NkNFNkNFKFsFFFFldsEAEA组合结构组合结构kFNkNFKFsMMFFldsEIEA受弯杆轴力杆QkQFkFNkNFsssFFMMFFdsdsdsEIGAEA例例1:
CABqCABFP=1ldOdssinrr）cos1（aO1pFO1pFO1pF例例2:
pF1234567820kN40kN20kN12345678FK1例例3:
7图乘法图乘法平面杆件结构在荷载作用下的位移计算中如满足下列条平面杆件结构在荷载作用下的位移计算中如满足下列条件件：
（：
（1）对于均质常截面直杆段，即对于均质常截面直杆段，即EI、GA、EA均均为常量，杆轴线为直线；（为常量，杆轴线为直线；
（2）位移状态与虚力状态相）位移状态与虚力状态相对应的两个内力图中至少有一个为直线变化的。
对应的两个内力图中至少有一个为直线变化的。
则可把结构位移计算的积分法换成图形相乘的方法，即则可把结构位移计算的积分法换成图形相乘的方法，即图乘法图乘法。
即利用内力图进行运算，使计算简化。
即利用内力图进行运算，使计算简化。
dkFMMsEI1dkFMMsEI1tandFxMxEItandFxMxEItan1FcFcxyEIEI（对于等对于等截面杆截面杆）（对于直杆对于直杆）1dkFMMxEI（tan）kMx设有均质等截面直杆段设有均质等截面直杆段AB，两内力图中一图为直线，两内力图中一图为直线变化。
变化。
由此可见，若匀质常截面直杆段两内力图之一为直线变由此可见，若匀质常截面直杆段两内力图之一为直线变化，则位移公式中的积分可以用其中一图的面积乘其形化，则位移公式中的积分可以用其中一图的面积乘其形心所对应的直线图的纵距，再除以刚度来代替。
这就是心所对应的直线图的纵距，再除以刚度来代替。
这就是图形相乘法，简称图形相乘法，简称图乘法图乘法。
对于剪力项和轴力项也可以。
对于剪力项和轴力项也可以得到相似的结果。
得到相似的结果。
应用图乘法的注意事项：
应用图乘法的注意事项：
（1）应用条件：
杆件应是匀质常截面直杆，两个内力）应用条件：
杆件应是匀质常截面直杆，两个内力图中应至少有一个是直线的，纵距一定要取自直线图，图中应至少有一个是直线的，纵距一定要取自直线图，面积应在曲线图形中取。
面积应在曲线图形中取。
（2）正负号规则：
若面积与纵距在杆轴的同侧（剪力、）正负号规则：
若面积与纵距在杆轴的同侧（剪力、轴力图应为同符号），则乘积取正号，若在杆轴异侧轴力图应为同符号），则乘积取正号，若在杆轴异侧（剪力、轴力图应为不同符号），则乘积取负号。
（剪力、轴力图应为不同符号），则乘积取负号。
则荷载作用下位移计算公式可改写成为：
则荷载作用下位移计算公式可改写成为：
11kFMcFQcFNckyyyEIGAEA（3）两图形相乘后还要除以杆段刚度。
）两图形相乘后还要除以杆段刚度。
（4）若直线图形是由若干直线段组成的，则相乘时要）若直线图形是由若干直线段组成的，则相乘时要分段图乘。
分段图乘。
1231y2y3y（5）复杂图形要分解成几个简单几何图形的叠加，以）复杂图形要分解成几个简单几何图形的叠加，以便于利用常用的面积和形心公式进行计算。
便于利用常用的面积和形心公式进行计算。
几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线三角形三角形/2AlhablC（a+l）/3（b+l）/3h切点切点A二次抛物线二次抛物线注意：
在应用抛物线注意：
在应用抛物线图形的公式时，要注图形的公式时，要注意抛物线在顶点处的意抛物线在顶点处的切线必须与基线平行。
切线必须与基线平行。
切点切点C2nl2）1（nln1nhlh切点切点Fk=1ql/2q非切点示例非切点示例熟记几种简单图形相乘的结果熟记几种简单图形相乘的结果*底底高高ABABycCA高高cAy高高底底底高高ABABycCA高高12cAy高高底底底高高ABABycCA高高13cAy高高底底底高高ABABycCA高高16cAy高高底底底高高（切点）（切点）ABABycCA高高14cAy高高底二次抛物线二次抛物线底底高高ABABycCA高高13cAy高高底二次抛物线二次抛物线底底高高BABycCA高高512cAy高高底二次抛物线二次抛物线A（切点）（切点）底底高高ABABycCA高高14cAy高高底中点中点图形分解图形分解对于比较复杂的图形，可以将图形分解成几个对于比较复杂的图形，可以将图形分解成几个较简单的图形分别相乘，然后叠加。
分解的方较简单的图形分别相乘，然后叠加。
分解的方法与叠加法画弯矩图相反。
法与叠加法画弯矩图相反。
bacdlabcl1111（）（）3636cyacladlbdlbcl1136cyacladlabclhabcdl1l2l3111（）363cyaclbclchl122223111111（）336363cyaclacladlbdlbclbdl例题1：
CABqlCABFk=1CABqFMkM例题2：
ll1l2qAI1I2Fk=1FMkM20kN20kNABCABCABCFk=1例题3：
求求C点的水平位移点的水平位移20kN16kN/mABCABCABCM=1ABCFk=1例题4：
求求A点的角位移和点的角位移和C点的竖向位移点的竖向位移例题5：
2kN/m20kN1.2II2m2m6m8kNABCFk=1ABC例题6：
2llCDBAFk=1Fk=1CDBA8支座移动与温度改变时的位移计算支座移动与温度改变时的位移计算*一、支座移动的位移计算一、支座移动的位移计算在静定结构中由于支座位移不产生内力和变形，在静定结构中由于支座位移不产生内力和变形，只发生刚体位移，因此，位移计算公式简化为：
只发生刚体位移，因此，位移计算公式简化为：
iiKRKCCF式中，式中，为支座位移引起的为支座位移引起的k处所方向的位移，处所方向的位移，为在单位广义力作用下的支座位移处的支座反为在单位广义力作用下的支座位移处的支座反力，以与力，以与同向为正；同向为正；为支座位移值。
为支座位移值。
KCiKRFiCiCFk=1abhBABAlFk=1例：
（1）uBCahah
（1）vBCblbl二、温度改变的位移计算二、温度改变的位移计算结构由于温度改变引起的位移计算公式如下：
结构由于温度改变引起的位移计算公式如下：
1KmNKmQKmKsssmFdsFdsMds温度改变引起的微元体的变形：
温度改变引起的微元体的变形：
0）（112dsdshttdsdstdsttt形心轴形心轴t1t2ttdst2dst1dshh1h2dsd代入位移计算公式得：
代入位移计算公式得：
若结构中每一杆件沿其长度的温度变化相同，若结构中每一杆件沿其长度的温度变化相同，且截面高度不变，则：
且截面高度不变，则：
sNkskkttdsFdshtMNkkFMkttht式中：
式中：
为杆件两侧的变温差为杆件两侧的变温差
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