应用随机过程3-泊松过程.pdf

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2010-9-2理学院施三支第第3章泊松过程章泊松过程3.1Poisson过程过程3.2与与Poisson过程相联系的若干分布过程相联系的若干分布3.3Poisson过程的推广过程的推广2010-9-2理学院施三支3.1泊松过程泊松过程1计数过程则且满足：

如果用）（tX表示0，t内某一特定事件发生的次数，随机过程）（tX，0t称为一个计数过程。

（1）0）（tX；

（2））（tX是整数值；（3）对任意两个时刻210tt，有）（）（21tXtX；等于在区间,（21tt中发生的事件的个数。

（4）对任意两个时刻210tt，）（）（12tXtX，定义3.1.12010-9-2理学院施三支注注如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量独立增量。

若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量平稳增量。

2010-9-2理学院施三支2泊松过程满足设随机过程）（tX，0t是一个计数过程，

（1）0）0（X；

（2）独立增量过程；（3）任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为t（0）的泊松分布，即对一切0,ts，有）（）（ksXstXPtkekt!

）（,2,1,0k则称）（tX为具有参数的泊松过程。

定义3.1.22010-9-2理学院施三支注意从条件（3）可知泊松过程有平稳增量平稳增量，且ttXE）（并称为此过程的发生率发生率或强度强度（单位时间内发生的事件的平均个数）2010-9-2理学院施三支说明说明要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：

为此给出一个与泊松过程等价的定义条件

（1）只是说明事件的计数是从时刻0t开始条件

（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足2010-9-2理学院施三支则称）（tX为具有参数的泊松过程。

（3））

（1）（hhhXP；（4））

（2）（hhXP；其中）（h表示当0h时对h的高阶无穷小，

（1）0）0（X；

（2）过程有平稳与独立增量；设随机过程）（tX，0t是一个计数过程，参数为（0），满足定义3.1.22010-9-2理学院施三支例例3.1.1顾客到达某商店服从参数4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：

00开门，试求到9：

30时仅到一位顾客，而到11：

30时总计已达5位顾客的概率。

2010-9-2理学院施三支1到达时间间隔到达时间间隔Tn和等待时间等待时间Wi的分布定义3.2.1则称设）（tX，0t为泊松过程，）（tX表示到时刻t为止已发生的事件的总数，iW（,2,1i）表示事件第i次发生的等待时间，nW，1n为等待时间序列。

以nT（1n）表示第1n次发生到第n次发生之间的时间间隔，则称nT，1n为到达时间间隔序列。

3.2与与Poisson过程相联系的若干分布过程相联系的若干分布TT11TT22TT33WW11WW22WW332010-9-2理学院施三支定理定理3.2.1则到达时间间隔序列，21TT是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为/1的指数分布。

设（）,0Xtt为参数（0）的泊松过程，2010-9-2理学院施三支例例3.2.1甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的泊松分布。

假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。

2010-9-2理学院施三支定理定理3.2.2其概率密度为设）（tX，0t为泊松过程，则等待时间nW（1n）服从）,（n分布，）（tf）!

1（）（1ntent，0t2010-9-2理学院施三支2事件到达时间的条件分布假设在假设在0,t内事件内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布的分布tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts）（111）（0）（）

（1）

（1）（0）（）（,1）

（1）

（1）（,1）（分布函数：

tststsssFtXW,10,/0,0）

（1）（1分布密度：

其它,00,/1）

（1）（1tstsftXW均匀分布均匀分布2010-9-2理学院施三支到达时间的条件分布其它,00,!

）（,（11ttttnntXttfnnn设设X（t）,t0是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,t内事件内事件A发生发生n次，则这次，则这n次到达时间次到达时间W1W2Wn与相应于与相应于n个个0,t上均匀分布的独立随机变量的上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量顺序统计量有相同的分布，即有相同的分布，即定理定理3.2.32010-9-2理学院施三支参数为参数为n和和s/t的二项分布设在的二项分布设在0,t内事件内事件AA已经发生已经发生n次，且次，且0st，对于，对于0kn，求在，求在0,s内事件内事件A发生发生k次的概率。

次的概率。

例例3.2.22010-9-2理学院施三支一、非齐次泊松过程称计数过程称计数过程X（t）,t0为具有强度函数为具有强度函数（t）的的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：

，若它满足下列条件：

（1）X（0）=0;

（2）X（t）是独立增量过程是独立增量过程;（3）

（2）（）（）（）

（1）（）（hotXhtXPhohttXhtXP非齐次泊松过程的均值和方差函数为:

非齐次泊松过程的均值和方差函数为:

tXXsstDtm0d）（）（）（3.3Poisson过程的推广过程的推广定义定义3.3.12010-9-2理学院施三支非齐次泊松过程的分布,2,1,0,）（exp!

）（）（）（nduunduuntXstXPsttnstt设设X（t）,t0为具有均值函数的非齐次泊松过程，令，则有为具有均值函数的非齐次泊松过程，令，则有tsstm0d）（）（，,210）,（exp!

）（）（ntmntmntXPn或或定理定理3.3.1）（）（1*tmXtN且且N*（t）是一个强度为是一个强度为1的泊松过程。

的泊松过程。

2010-9-2理学院施三支设设X（t）,t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。

求是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。

求EX（t）和和DX（t）。

）cos1（5.0）（tt例3.3.1例3.3.12010-9-2理学院施三支设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出。

乘客流量如下：

时有车发出。

乘客流量如下：

5时平均乘客为时平均乘客为200人人/时；时；5时至时至8时乘客线性增加，时乘客线性增加，8时达到时达到1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均到达率不变；时保持平均到达率不变；18时至时至21时到达率线性下降，到时到达率线性下降，到21时为时为200人人/时。

假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。

求时。

假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。

求12时至时至14时有时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。

人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。

例3.3.2例3.3.22010-9-2理学院施三支二、复合泊松过程设设N（t）,t0是强度为是强度为的泊松过程，的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与是一列独立同分布随机变量，且与N（t）,t0独立，令则称独立，令则称X（t）,t0为为复合泊松过程复合泊松过程。

0,）（）（1tYtXtNkk定义定义3.3.22010-9-2理学院施三支复合泊松过程的性质设是复合泊松过程，则设是复合泊松过程，则

（1）X（t）,t0是独立增量过程是独立增量过程;

（2）若，则若，则）（,）（211YtEtXDYtEtXE0,）（）（1tYtXtNkk21YE定理定理3.3.22010-9-2理学院施三支设保险公司接到的索赔次数服从强度为次/月的泊松过程，每次理赔数均服从上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是多少？

510000,2000单位：

元例3.3.3例3.3.3作业：

1.P431,4,5,7,11作业：

1.P431,4,5,7,11*2.写本章小结2.写本章小结