测试信号分析与处理-基础知识复习(浏览版).pdf
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（1）2确定性信号的频域分析确定性信号的频域分析离散傅立叶变换离散傅立叶变换（DFT）基础知识复习基础知识复习
（一）
（一）.四种傅立叶变换
（二）四种傅立叶变换
（二）.DFT的由来及定义（三）的由来及定义（三）.DFT的分辨率（四）的分辨率（四）.DFT的快速算法的快速算法FFT3FS:
FT:
DTFT:
DFS:
=ktkekXtx0j0）（）（=2/2/j0d）
（1）（0TTtktetxTkX=tetxXtd）（）j（j=d）j（21）（jteXtx=nnenxeXjj）（）（=d）（21）（jjneeXnx）（）（）（102j+=kenxkXNnnkN）（）
（1）（102j+=nekXNnxNknkN
（一）
（一）.四种傅立叶变换四种傅立叶变换4连续周期信号，连续周期信号，1.傅立叶级数傅立叶级数（FS）（）（Ttxtx+=T20=ktkekXtx0j0）（）（=2/2/j0d）
（1）（0TTtktetxTkXFS5例例2/）2/sin（d1d）
（1）（002/2/j2/2/j000=kkTAtAeTtetxTkXtkTTtk（）xt%AtT0T22LL1,2.0,5=TA方波周期（连续）信号的傅立叶级数：
方波周期（连续）信号的傅立叶级数：
k）（0kXT20=62/2/2d）（1TTttxT存在条件：
傅立叶级数傅立叶级数（FS）功率信号功率信号=ktkekXtx0j0）（）（=2/2/j0d）
（1）（0TTtktetxTkX）2（0T=k）（0kX时域：
连续，周期频域：
离散，非周期T20=（）xt%AtT0T22L1,2.0,5=TAL72.傅立叶变换傅立叶变换（FT）00,0,kT非周期信号：
可认为非周期信号：
可认为=ktkekXtx0j0）（）（=2/2/j0d）
（1）（0TTtktetxTkXFSFS周期信号：
周期信号：
=tetxXtd）（）j（j=d）j（21）（jteXtxFTFT8例例2/）2/sin（d）j（2/2/j=AtAeXt（）xtA220t2.05=A矩形窗矩形窗（连续非周期连续非周期）的傅立叶变换：
的傅立叶变换：
）j（X2=9ttxd）（2存在条件：
傅立叶变换傅立叶变换（FT）能量信号能量信号=tetxXtd）（）j（j=d）j（21）（jteXtx（）xtA220t2.05=A）j（X2=时域：
连续，非周期频域：
连续，非周期10FS与与FT的区别的区别FS:
FT:
=2/2/j0d）
（1）（0TTtktetxTkX=tetxXtd）（）j（j代表周期信号第代表周期信号第k次谐波幅度的大小，代表信号在频率处的频谱密度。
次谐波幅度的大小，代表信号在频率处的频谱密度。
0（）Xk（j）X=d）j（21）（jteXtx=ktkekXtx0j0）（）（00000（）lim（）lim2（j）TXkTXkX=量纲：
量纲：
FS:
连续周期信号、功率信号连续周期信号、功率信号FT:
连续非周期信号、能量信号连续非周期信号、能量信号11FS与与FT的联系的联系k）（0kX（）xt%AtT0T22LL1,2.0,5=TA（）xtA220t2.05=A）j（X2=T20=12FS与与FT的联系的联系对周期为的信号的主值区间截取后得到非周期信号。
对周期为的信号的主值区间截取后得到非周期信号。
非周期信号的频谱在形状上与周期信号频谱的包络线相同。
非周期信号的频谱在形状上与周期信号频谱的包络线相同。
（）xt%,22TT（）xt（）xt%（）xtT13周期信号可否实现傅立叶变换周期信号可否实现傅立叶变换周期信号：
可以实现傅立叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：
可以实现傅立叶变换，属于能量信号；周期信号：
可以实现傅立叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：
可以实现傅立叶变换，属于能量信号；在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。
在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。
FS与与FT的联系的联系14，求其傅立叶变换。
因为，求其傅立叶变换。
因为，2（）dxtt所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，先将其展开为傅立叶级数：
所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，先将其展开为傅立叶级数：
）cos（）（0ttx=000j0jj0（）（）1（）cos（）2ktkttxtXkexttee=+例例01（）（1,1）2Xkk=欧拉公式欧拉公式15FS1/21/2110k）（0kXFT000）j（X）（）（d21d）（）j（00）（j）（jj00+=+=+teetetxXttt）（2dj=tet现利用函数将作傅立叶变换：
现利用函数将作傅立叶变换：
）cos（）（0ttx=16冲激串序列的傅立叶变换冲激串序列的傅立叶变换=nnTttp）（）（时域：
是周期为时域：
是周期为T的函数，将其展开为傅立叶级数：
的函数，将其展开为傅立叶级数：
TeTekPtpTtetTtetpTkPktkktkTTtkTTtk2,1）（）（1d）（1d）
（1）（0jj02/2/j2/2/j00000=t）（tp0例例17傅立叶变换：
傅立叶变换：
=ktktktkTteeTtetpP）（2d1d）（）j（0jjj0变换的结果是频域的冲激串。
变换的结果是频域的冲激串。
T20=nnTttp）（）（时域：
频域：
时域：
频域：
=kkTP）
（2）j（0TeTtpktk2,1）（0j0=冲激串序列：
冲激串序列：
18FS与与FT的联系的联系引入奇异函数后，周期信号亦可作引入奇异函数后，周期信号亦可作FT。
00jj0j（）000（j）（）d（）d（j）2（）（）kttkktkkXXkeetXketXXkk=可以将可以将FS和和FT统一在统一在FT的理论框架下进行讨论。
的理论框架下进行讨论。
）（2dj=tet19FT的本质的本质FT实际上是将信号和一组不同频率的复正弦作内积，这一组复正弦即是变换的基向量，而傅立叶变换是在这一组基向量上的投影。
实际上是将信号和一组不同频率的复正弦作内积，这一组复正弦即是变换的基向量，而傅立叶变换是在这一组基向量上的投影。
（）xt（）xt（j）Xj（j）（）dtXxtet=d）j（21）（jteXtxj（）,txte=20典型连续信号的典型连续信号的FT
（1）单个复正弦：
单个复正弦：
0j0（）（j）2（）txteX=
（2）实正弦：
实正弦：
000（）sin（）（j）j（）（）xttX=+（3）实余弦：
实余弦：
000（）cos（）（j）（）（）xttX=+（4）复正弦集合：
复正弦集合：
0j0（）（j）2（）ktkkxteXk=21典型连续信号的典型连续信号的FT（5）冲激串序列：
冲激串序列：
02（）（）（j）（）nkpttnTPkT=（6）单位冲激：
单位冲激：
（）（）（j）1xttX=（7）矩形窗：
矩形窗：
（）（）（）（j）sinc（）222xtAututXA=+=精仪系李冬梅精仪系李冬梅测试信号分析与处理测试信号分析与处理基础知识复习基础知识复习
（2）23FT的基本性质的基本性质
（1）线性：
线性：
（）（）（j）（j）axtbytaXbY+=+F
（2）奇偶虚实性：
若为实函数，则有奇偶虚实性：
若为实函数，则有（j）（j）XX=（）xt实信号的幅度谱关于频率为偶对称，相位谱为奇对称。
实信号的幅度谱关于频率为偶对称，相位谱为奇对称。
（）（j）,（）（j）xtXytY=FF设若为实偶函数，则其频谱为实偶函数，其相位谱恒为设若为实偶函数，则其频谱为实偶函数，其相位谱恒为0。
（）xt24FT的基本性质的基本性质（3）对称性：
对称性：
若为偶函数，则若为偶函数，则（j）2（）Xtx=F（）xt（j）2（）Xtx=F由于，根据对称性可得由于，根据对称性可得（）1t=F12（）=F说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的频谱为冲激函数。
说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的频谱为冲激函数。
矩形窗函数的频谱是矩形窗函数的频谱是sinc函数，则函数，则sinc函数的频谱一定是矩形窗函数。
函数的频谱一定是矩形窗函数。
25FT的基本性质的基本性质（4）移位特性：
信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不变，相位谱产生附加相移，移位特性：
信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不变，相位谱产生附加相移，（右移取，左移取右移取，左移取）。
0t0j0（）（j）txttXe=F时移特性：
时移特性：
26FT的基本性质的基本性质时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为二，并沿频率轴左右平移，幅度变为原来的一半。
时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为二，并沿频率轴左右平移，幅度变为原来的一半。
00000001（）cos（）（jj）（jj）2j（）sin（）（jj）（jj）2xttXXxttXX=+=+FF这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。
频移特性：
这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。
频移特性：
0j0（）j（）txteX=mF27FT的基本性质的基本性质（5）尺度变换和反褶特性：
尺度变换和反褶特性：
1（）（j）xatXaa=F时域信号波形的压缩时域信号波形的压缩（），对应于频域频谱的展宽；时域信号波形的扩展，对应于频域频谱的展宽；时域信号波形的扩展（），对应于频域频谱的压缩。
，对应于频域频谱的压缩。
1a1a若，则，表明时域信号反褶，其频谱亦反褶。
若，则，表明时域信号反褶，其频谱亦反褶。
1a=（）（j）xtX=F28FT的基本性质的基本性质（6）卷积定理：
卷积定理：
时域卷积：
时域卷积：
时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域信号相乘等效于频域频谱卷积。
时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域信号相乘等效于频域频谱卷积。
（）（）（j）（j）xtytXY=F频域卷积：
频域卷积：
1（）（）（j）（j）2xtytXY=F（）（）（）（）dxtytxyt=（）（）?
xtt=0（）（）?
xttt=（）xt0（）xtt29FT的基本性质的基本性质时域、频域能量守恒。
时域、频域能量守恒。
（7）相关定理：
相关定理：
2（）（j）（j）（）（j）xyxxRXYRX=FF（）（）（）dxyRxtytt=+（8）帕塞瓦定理：
帕塞瓦定理：
221（）d（j）d2xttX=为能量信号为能量信号（）xt为能量信号为能量信号（）,（）xtyt30Fourier变换与变换与Laplace变换的关系变换的关系=tetxsXstd）（）（Laplace变换Laplace变换=tetxXtd）（）j（jFourier变换Fourier变换=js傅氏变换是仅在虚轴上取值的拉氏变换傅氏变换是仅在虚轴上取值的拉氏变换sjs=+s平面j0=js0=s平面j031Z变换变换s（）（）（）nxtxttnT=）连续信号经过采样得到离散信号：
连续信号经过采样得到离散信号：
（）xt）（tx令令ssTez=，简记为简记为）（snTx）（nx，记为记为（）Xs）（zX有有nnznxzX=）（）（Z变换的定义变换的定义sss（）（）（）（）d（）stnsTnnXsxtxttnTetxnTe=）L拉氏变换拉氏变换32Z变换与变换与Laplace变换的关系变换的关系nnznxzX=）（）（Z变换Z变换（）（）dstXsxtet=Laplace变换Laplace变换s（）（）sTXzXsze=）=ssTerTjs=+j0s平面平面z平面平面RezImz01r=jrez=jjsssreeeezTTsT=333.离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换（DTFT）jj（）（）,nnXexne=%=d）（21）（jjneeXnxDTFT:
FT:
j（j）（）d,tXxtet=d）j（21）（jteXtx对非周期离散时间信号作对非周期离散时间信号作FT，令圆周频率，令圆周频率（单位为单位为rad），则有：
，则有：
s（）（）tnTxnxt=sT=343.离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换（DTFT）jj（）（）,nnXexne=%=deeXnxnjj）（21）（DTFT:
2.是的连续函数；是的连续函数；j（）Xe%3.是的周期函数，周期为；是的周期函数，周期为；j（）Xe%21.是离散的；是离散的；（）xn35=nnenxeXjj）（）（DTFTDTFTnnznxzX=）（）（Z变换Z变换jez=DTFT是仅在单位圆上取值的是仅在单位圆上取值的Z变换变换zDTFT与与Z变换的关系变换的关系=s1Trz平面平面RezImz01r=jez=连续连续jrez=平面平面RezImz0rz36z平面RezImz0rs4fjs平面0s2fs2fs4fss2ffT=是的周期函数，周期为是的周期函数，周期为）（jeX2=nnenxeXjj）（）（:
ss0
（2）f:
02ss224370000（Hz）fsfs2fs2fsf（rad/s）ss2s2s（rad）22
（1）f10.50.51频率轴定标频率轴定标38DTFT的基本性质的基本性质
（1）线性：
线性：
jjDTFT（）（）（）（）axnbynaXebYe+=+
（2）奇偶虚实性：
若为实函数，则有奇偶虚实性：
若为实函数，则有jj（）（）XeXe=（）xn实信号的幅度谱关于频率为偶对称，相位谱为奇对称。
实信号的幅度谱关于频率为偶对称，相位谱为奇对称。
jjDTFT（）（）,DTFT（）（）xnXeynYe=设若为实偶函数，则其频谱为实偶函数，其相位谱恒为设若为实偶函数，则其频谱为实偶函数，其相位谱恒为0。
（）xn39DTFT的基本性质的基本性质（3）时移特性：
时移特性：
0jj0DTFT（）（）nxnnXee=00jj（）DTFT（）nxneXe=m（4）频移特性：
频移特性：
（5）时域卷积定理：
时域卷积定理：
jjDTFT（）（）（）（）xnynXeYe=0（）（）（）（）kxnynxkynk+=（6）频域卷积定理：
频域卷积定理：
jj1DTFT（）（）（）（）2xnynXeYe=40）（nx）（ny（）hn线性卷积：
线性卷积：
信号处理的重要运算，反映线性系统的输入-输出关系:
信号处理的重要运算，反映线性系统的输入-输出关系:
）（）（）（）（）（）（）（00nhnxknhkxkhknxnykk=+=+=线性卷积线性卷积41计算步骤：
计算步骤：
1.将换成，得；将换成，得；2.将翻转，得；将翻转，得；3.将移动，得；将移动，得；4.将和对应相乘、相加。
将和对应相乘、相加。
nk（）,（）xkhk（）hk（）hk（）hkn（）hnk（）xk（）hnk（）:
（）:
（）:
xnNhnMyn线性卷积的计算线性卷积的计算）（）（）（）（）（0nhnxknhkxnyk=+=1LNM=+42DTFT的基本性质的基本性质（7）相关定理：
相关定理：
jj2jDTFT（）（）（）DTFT（）（）xyxxRmXeYeRmXe=0（）（）（）xynRmxnynm=+为能量信号为能量信号（）,（）xnyn43自相关函数自相关函数实序列实序列0（）（）（）xxnRmxnxnm+=+复序列复序列0（）（）（）xxnRmxnxnm+=+性质性质（）（）,（）（）（0）（）lim（）0xxxxxxxxxxxxxxmRmRmRmRmRRmRm=，为能量信号为能量信号（）xn44DTFT的基本性质的基本性质（8）帕塞瓦定理：
帕塞瓦定理：
22j1（）（）d2nxnXe=时域、频域能量守恒。
时域、频域能量守恒。
为能量信号，为能量信号，（）xn45j1jjj01（）1NNnneDeee=j
（1）/2sin（/2）sin（/2）NNe=j（）g（）eD=离散矩形窗的离散矩形窗的DTFT：
10,1,1（）0nNdnn=L取其它值取其它值例例1A=n）（nx01N46N=18jgsin（/2）（）sin（/2）NDe=sinc函数函数22NkkN=过零点过零点越大，主瓣越窄越大，主瓣越窄NN2=47信号截短：
信号截短：
令：
令：
12（）cos
（2）cos
（2）xnfnfn=+则则：
j（）Xe是周期的线谱，与是周期的线谱，与j（）De卷积后，频谱将发生失真，影响其分辨率卷积后，频谱将发生失真，影响其分辨率（Resolution）。
注意：
所有有限长的信号都应看作一无限长的信号和一矩形窗相乘的结果。
关键是对频域的影响。
注意：
所有有限长的信号都应看作一无限长的信号和一矩形窗相乘的结果。
关键是对频域的影响。
jjj（）（）（）1（）（）（）2NNxnxndnXeXeDe=例例48两个线谱和函数的卷积：
两个线谱和函数的卷积：
sinc120.2260.274ff=12ff00.10.20.30.40.50246800.10.20.30.40.5010203051N=15N=49窗函数频谱窗函数频谱：
峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。
我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。
若想分辨出两个谱峰，数据的长度：
峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。
我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。
若想分辨出两个谱峰，数据的长度：
12,1244,NN是矩形窗主瓣的宽度是矩形窗主瓣的宽度50时域：
离散，非周期频域：
连续，周期=nnenxeXjj）（）（=d）（21）（jjneeXnx离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换（DTFT）101=NAAn）（nx01N）（jeXN2=能量信号能量信号=nnx2）（存在条件：
51Laplace变换Laplace变换+=js=j1ezr几种变换之间的关系几种变换之间的关系（）（）xtXs=j0sFourier变换Fourier变换j（）（j）xtXDTFTDTFTjej（）（）xnXej（）（j）XeX=）sT=（j）Xj（）Xes（）（）sTzeXzXs=）=ssTerTssTez=（）（）XzXs=）（）（）xnXzZ变换Z变换jzre=52信号抽样信号抽样t）（tx0sTt）（tp0n（）xt）0ss（）（）（）（）（）（）（）nnxtxttnTxttnTxtpt=）连续信号经过抽样得到离散信号连续信号经过抽样得到离散信号：
（）xt）（txj（）（）（）1（）（j）*（j）2xtxtptXeXP=）ccc53抽样定理的图形解释抽样定理的图形解释0）j（Xccss2T）j（P0s）（jeX0sscc是的周期延拓是的周期延拓）（jeX）j（Xt）（tx0sTt）（tp0n（）xt）054（）（）xnxnN=+周期序列周期序列如何对作频谱分析如何对作频谱分析（）xn因为是离散的，故频谱是周期的；因为是离散的，故频谱是周期的；（）xn因为是周期的，故频谱是离散的；因为是周期的，故频谱是离散的；（）xn即：
的频谱应是离散的、且是周期的。
即：
的频谱应是离散的、且是周期的。
（）xn但：
是功率信号，不能直接作但：
是功率信号，不能直接作DTFT；（）xn4.离散傅立叶级数离散傅立叶级数（DFS）550j0（）（）ktkxtXke=%离散、非周期离散、非周期FS:
0ssj2j2jktknTNTnkNeee0s2NT=00sjjktknTeestnT=离散化离散化s（）（）xtxnT%sTNT=取取02T=连续、周期连续、周期T56ss2js02j0（）（）（）knTNTknkNkxnTXkeXke=%ss02/2/TNTN=离散、周期周期离散、周期周期sss,TTNT=离散、周期离散、周期N57即：
是周期的，周期是，间隔是是周期的，周期是，间隔是即：
是周期的，周期是，间隔是是周期的，周期是，间隔是s（）xnT%N0（）Xk%NsT0所以，各取一个周期，有：
所以，各取一个周期，有：
21j021j0（）（）1（）（）NnkNnNnkNkXkxnekxnXkenN=%此即此即DFS!
58连续非周期连续非周期（）离散非周期离散非周期（k0）连续周期连续周期（）离散周期离散周期（k）1.连续非周期连续非周期2.连续周期连续周期3.离散非周期离散非周期4.离散周期离散周期切实理解四种切实理解四种FT之间的对应关系之间的对应关系FTFSDTFTDFS四种傅立叶变换四种傅立叶变换59=ktkekXtx0j0）（）（=22j0d）
（1）（0TTtktetxTkX=tetxXtd）（）j（j=d）j（21）（jteXtx=nnenxeXjj）（）（=d）（21）（jjneeXnx=102j）（）（NnnkNenxkX=102j）
（1）（NknkNekXNnxFTFSDTFTDFS四种傅立叶变换四种傅立叶变换60DFS中，仍取无穷长，实际上没必要！
中，仍取无穷长，实际上没必要！
nk+=+=,）
（1）（,）（）（102j102jnekXNnxkenxkXNknkNNnnkN改为改为此即此即DFT!
=1,1,0,）
（1）（1,1,0,）（）（102j102jNnekXNnxNkenxkXNknkNNnnkNLL
（二）
（二）.DFT的由来及定义的由来及定义612.从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：
时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：
时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；3.FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用都不符合要求但利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：
的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：
1.从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；s（）xnT%0（）Xk%但但DFT并不是并不是“第五种第五种”傅立叶变换！
为什么要由傅立叶变换！
为什么要由DFS过渡到过渡到DFT？
621j2/010（）（）,1（）（）,0,1,1NnkNNNnNnkNkXkxnWWexnXkWnkNN=L这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。
但使用时，一定要想到，它们均来自这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。
但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即和都是周期的！
即和都是周期的！
（）xn（）Xk离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）63DFT的图形解释的图形解释64Z变换、变换、DTFT、DFT的取值范围的取值范围65（）,0,1,1xnnN=L10（）（）NnnXzxnz=21jj20（）（）（）NknNknNXkxneXe=1j2/101（）（）1NNkNkzXkXzNez=j1jj01（）（）（）NnnzerXexneXz=或Z变换、变换、DTFT、DFT的关系的关系j,zre=插值插值6600000fsfs2fs2fsfss2s2s22f10.50.51k2kN1N频率轴定标频率轴定标67Matlab函数函数1.conv.m实现两个序列的线性卷积运算。
实现两个序列的线性卷积运算。
2.fft.m实现离散信号的实现离散信号的DFT运算。
运算。
68作业作业作业
（一）作业
（一）请到网络学堂下载一周内完成（交电子版和手写版均可）请到网络学堂下载一周内完成（交电子版和手写版均可）精仪系李冬梅精仪系李冬梅测试信号分析与处理测试信号分析与处理基础知识复习基础知识复习（3）70问题问题FS，FT，DTFT，DFS之间的区别与联系之间的区别与联系?
DFS与与DFT之间的区别与联系？
之间的区别与联系？
作作DFT时，频率分辨率与哪些参数有关？
时，频率分辨率与哪些参数有关？
补零对补零对DFT有什么影响？
有什
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