第七章薄壳问题.pdf

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计算力学计算力学第七章第七章弹性薄板弯曲问题弹性薄板弯曲问题1薄板弯曲问题力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。

如板不是平板而为曲的（指一个单元），则称为壳问题。

1180100111180100581158ttbtbtb薄膜厚度薄板厚板b板长宽最小值如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。

1薄板的定义1薄板弯曲问题1）直线假设：

即变）直线假设：

即变形前垂直于板中面形前垂直于板中面的直线，在弯曲变的直线，在弯曲变形后仍为直线，且形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中垂直于弯曲后的中面。

说明在平行于面。

说明在平行于中面的面上没有剪中面的面上没有剪应变，即应变，即00zxzyxyzt变形前的直线变形后的直线zxywxyuzz22、基本假设（克希霍夫假设）、基本假设（克希霍夫假设）1薄板弯曲问题0z0000zzuv0z（,）wwxy2）厚度不变假设：

即忽略板厚变化。

即）厚度不变假设：

即忽略板厚变化。

即。

由。

由于板内各点的挠度与于板内各点的挠度与z坐标无关，只是坐标无关，只是x，y的函数，的函数，即即3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：

平行于中面）中面上正应力远小于其它应力分量假设：

平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即向的正应力可忽略，即4）中面无伸缩假设：

弯曲过程中，中面无伸缩，即）中面无伸缩假设：

弯曲过程中，中面无伸缩，即1薄板弯曲问题1）几何方程）几何方程222222wuxxvwzzyyuvwyxxy分别表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率00zxzyuwzxvwzy12（,）（,）wuzfxyxwvzfxyywuzxwvzyz00000zzuv绕绕xx轴转角轴转角绕绕yy轴转角轴转角3、基本方程1薄板弯曲问题薄板弯曲问题2）应力应变关系（）应力应变关系（HOOK定律）定律）记为矩阵形式：

记为矩阵形式：

22222210101122wxEzwzDywxy000zzxzy22（）1（）12

（1）xxyyyxxyxyEEE22222222222（）1（）11xyxyEwwzxyEwwzyxEwzxy1薄板弯曲问题3）内力矩公式）内力矩公式单位宽度上垂直单位宽度上垂直x，y轴轴的横截面上弯矩、扭矩的横截面上弯矩、扭矩yxyztyxxxy222222ttxxttyyttxyyxxyMzdzMzdzMMzdz1薄板弯曲问题4）平衡方程平衡方程5）控制偏微分方程控制偏微分方程1薄板弯曲问题6）板的势能板的势能采用力矩和曲率表示采用力矩和曲率表示2薄板弯曲的矩形单元用有限元法求解薄板用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板弯曲问题，常在板中中面面进行离散，常用的进行离散，常用的单元有单元有三角形和矩形三角形和矩形。

为了使相邻单元间同为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点即节点处同时有节点力和节点力矩作用。

力和节点力矩作用。

每个节点有三个自由每个节点有三个自由度，即一个挠度和分度，即一个挠度和分别绕别绕x，y轴的转角。

轴的转角。

如右图矩形单元如右图矩形单元ximjilyiiwxjyjjwxmymmwxlyllwTeixiyilxlylTezixiyizlzlylwwFFMMFMM节点位移向量和节点力向量节点位移向量和节点力向量2薄板弯曲的矩形单元3、位移函数、位移函数薄板弯曲时，只有薄板弯曲时，只有w（x,y）是薄板变形的未知基本函数，而其它量，是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如如u,v等都是等都是w（x,y）的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是际就是w（x,y）的选取。

注意单元有的选取。

注意单元有12个自由度，则个自由度，则另两个转角为：

另两个转角为：

22123456322333789101112（,）wxyxyxxyyxxyxyyxyxy223235689101112222324578911122233（2323）xywxyxxyyxxyywxyxxyyxyyx2薄板弯曲的矩形单元待定系数：

利用待定系数：

利用12个节点位移个节点位移值可待定值可待定12个系数，整理个系数，整理w（x,y）为插值函数形式：

为插值函数形式：

其中，形函数：

其中，形函数：

（,）iixixiyiyillxlxlylylewxyNwNNNwNNN221

（1）

（1）2

（1）

（1）81

（1）

（1）

（1）81

（1）

（1）

（1）8,rrrrrrrxrrrrryrrrrrxyxxyyNxyxxyyxyyNyxyyxyxNxxyxrijml2薄板弯曲的矩形单元单元收敛性分析：

单元收敛性分析：

1）位移函数）位移函数中包含有常量项，反中包含有常量项，反映了刚体位移，如映了刚体位移，如为挠度常量，为挠度常量，为转角常量。

为转角常量。

2）位移函数中包含了常量应变项，）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为：

如形变分量为：

表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。

这里表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。

这里的常应变为挠度的二次函数，而在平面单元中为位移的的常应变为挠度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。

形变是指不同厚度上的。

123,22224652222TTwwwxyxy（,）,（,）,（,）xywxyxyxy33）相邻单元在公共边界上挠度是连续的但转角不一定连续。

）相邻单元在公共边界上挠度是连续的但转角不一定连续。

设边界设边界ijij边边y=y=-bb则则有位移有位移四个系数刚好通过四个系数刚好通过ii，jj两个端点的挠度值和绕两个端点的挠度值和绕yy轴的两个转轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过ii，jj的值唯一确定，故连续。

如对于绕的值唯一确定，故连续。

如对于绕xx轴的转角：

轴的转角：

四个系数不能通过四个系数不能通过ii，jj的两个已知转角值唯一待定；同理，的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。

故转角不相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。

故转角不连续。

连续。

所以，薄板矩形单元所以，薄板矩形单元是非协调单元是非协调单元。

但实践表明，当。

但实践表明，当单单元细分元细分，其解完全能收敛真实解。

，其解完全能收敛真实解。

231234（,）wxyccxcxcx231234（,）xxyddxdxdx2薄板弯曲的矩形单元2薄板弯曲的矩形单元非完全协调元的收敛性准则艾恩斯艾恩斯（Irons）指出指出，对于不能完全满足协调元准则的单对于不能完全满足协调元准则的单元来说元来说，若对若对任意小片任意小片的几个单元集合施加与任一常应变状的几个单元集合施加与任一常应变状态相应的结点位移态相应的结点位移，如果能在无外荷载作用下满足结点平衡如果能在无外荷载作用下满足结点平衡条件并且获得常应力状态条件并且获得常应力状态，则称此单元能通过分片检验则称此单元能通过分片检验。

而而且已经证明且已经证明，分片检验所要求的条件是保证非协调任意分片检验所要求的条件是保证非协调任意（二二维维、三维等三维等）单元收敛性的充分条件单元收敛性的充分条件。

分片检验分片检验2薄板弯曲的矩形单元对某种薄板单元位移模式，进行分片检验的具体步骤如下：

对某种薄板单元位移模式，进行分片检验的具体步骤如下：

（1）取某一单元小片，使在小片的边界上给出对应于完全）取某一单元小片，使在小片的边界上给出对应于完全二次多项式的边界条件。

二次多项式的边界条件。

（2）按此位移模式进行（在无荷载作用下的）单元、整体）按此位移模式进行（在无荷载作用下的）单元、整体分析，并在上述位移边界条件下求解。

分析，并在上述位移边界条件下求解。

（3）若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为一完全二）若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为一完全二次多项式，则单元的位移模式通过分片检验。

次多项式，则单元的位移模式通过分片检验。

具体步骤具体步骤当薄板程序不能解已知边界支承位移时，也可按如下步骤当薄板程序不能解已知边界支承位移时，也可按如下步骤进行分片检验：

进行分片检验：

（1）取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应于完全二）取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应于完全二次多项式的结点位移。

次多项式的结点位移。

（33）检验小片内部结点处是否均满足）检验小片内部结点处是否均满足（交于（交于jj结点各单元结点力自平衡），若条件成立，则单元位移模式结点各单元结点力自平衡），若条件成立，则单元位移模式能通过分片检验。

能通过分片检验。

eK（2

（2）每一单元按）每一单元按求单元结点力，式中求单元结点力，式中为对为对应所考察位移模式的单元刚度矩阵。

应所考察位移模式的单元刚度矩阵。

eeeFKa22薄板弯曲的矩形单元薄板弯曲的矩形单元例对如图所示单元例对如图所示单元小片进行分片检验小片进行分片检验取2薄板弯曲的矩形单元按上述式子给每结点以位移后，可求得按上述式子给每结点以位移后，可求得2薄板弯曲的矩形单元显然显然:

这说明矩形这说明矩形1212自由度的薄板单元的位移函数在上述网格划分自由度的薄板单元的位移函数在上述网格划分形式下能通过分片检验。

形式下能通过分片检验。

2薄板弯曲的矩形单元3薄板弯曲的矩形单元刚阵刚度矩阵刚度矩阵1）应变矩阵）应变矩阵其中：

其中：

B为为x，y的函数，与的函数，与z无关无关222222eijmlwuxxvwzyyuvwyxxyzBBBB222222222222222,222yrxrryrxrrryrxrrNNNxxxNNNBrijmlyyyNNNxyxyxy3薄板弯曲的矩形单元刚阵2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵eTiiijimiljjjmjlmmmlllKBDBdVKKKKKKKKKK2222312TersrstTabtrsabTabrsabKzBDBdVzBDBdxdydztBDBdxdy4薄板弯曲矩形单元算例计算边界支撑方板的最大变形计算边界支撑方板的最大变形,4maxqLDwa边界条件边界条件1）四边固定：

）四边固定：

2）四边简支：

）四边简支：

3）对称边界条件）对称边界条件XY2maxPLDwb1234单元数单元数（四分之一板）（四分之一板）四边固定四边固定四边简支四边简支均布载荷均布载荷集中载荷集中载荷均布载荷均布载荷aba110.001480.005920.00345220.001400.006130.00394440.001300.005800.00403660.001280.007510.00405880.001270.005670.00406级数解级数解0.001260.005600.004065单元矩形薄板单元等效荷载单元矩形薄板单元等效荷载

（1）分布荷载的移置）分布荷载的移置等效结点荷载为等效结点荷载为上上应用虚功原理把作用在板面上的分布荷载应用虚功原理把作用在板面上的分布荷载等效为相应单元上的等效为相应单元上的结点荷载。

设单元结点的任意虚位移为结点荷载。

设单元结点的任意虚位移为,则等效结点荷载则等效结点荷载在在所作的虚功应等于分布荷载在相应的虚所作的虚功应等于分布荷载在相应的虚位移位移上所作的虚功，即上所作的虚功，即根据：

根据：

5单元矩形薄板单元等效荷载单元矩形薄板单元等效荷载由于虚位移的任意性，故得等效结点荷载为由于虚位移的任意性，故得等效结点荷载为:

故得故得:

这里这里分别为结点分别为结点i处的等效法向荷载和绕处的等效法向荷载和绕x、y轴向的等效力轴向的等效力矩荷载矩荷载。

5单元矩形薄板单元等效荷载单元矩形薄板单元等效荷载当板受到均布法向荷载当板受到均布法向荷载q0作用时作用时，则单元结点荷载可得为则单元结点荷载可得为6薄板弯曲问题中的位移边界条件薄板弯曲问题中的位移边界条件6薄板弯曲问题中的位移边界条件薄板弯曲问题中的位移边界条件如果如果x等于常量的边界是简支边，而结点等于常量的边界是简支边，而结点i在这个简支边上在这个简支边上,则则如果如果y等于常量的边界是简支边，而结点等于常量的边界是简支边，而结点i在这个简支边上在这个简支边上,则则如果如果x等于常量或等于常量或y等于常量的边界是固定边，而结点等于常量的边界是固定边，而结点i在这个在这个固定边上固定边上,则则在实际工程中怎么确定边界条件呢？

6薄板弯曲问题中的位移边界条件薄板弯曲问题中的位移边界条件在实际问题中在实际问题中，如果结点如果结点i是在是在x=常量或常量或y=常量的一个支常量的一个支承梁上承梁上，而支承梁的弯曲刚度很大而支承梁的弯曲刚度很大，支承梁为边梁的情况支承梁为边梁的情况下下，就可以认为就可以认为，它就是一个所谓的简支边它就是一个所谓的简支边。

如果结点如果结点i是在是在x=常量或常量或y=常量的一个支承梁上，而这个常量的一个支承梁上，而这个支承梁的弯曲刚度和扭转刚度都很大，在这个支承梁为边支承梁的弯曲刚度和扭转刚度都很大，在这个支承梁为边梁的情况下，就可以认为，它就是一个所谓的固定边。

梁的情况下，就可以认为，它就是一个所谓的固定边。

如果支承梁的弯曲刚度既不是很大又不是很小，则可按如果支承梁的弯曲刚度既不是很大又不是很小，则可按梁板组合结构进行分析梁板组合结构进行分析.整体分析整体分析如果薄板的简支边并不平行于整体坐标系的坐标轴，则如果薄板的简支边并不平行于整体坐标系的坐标轴，则可采用弹簧单元使结点处有关转角为零的约束条件足够近似可采用弹簧单元使结点处有关转角为零的约束条件足够近似地得到满足。

地得到满足。

以上关于结点位移约束条件的以上关于结点位移约束条件的具有一般性具有一般性，并非针对矩，并非针对矩形薄板单元，而是普遍适用的。

形薄板单元，而是普遍适用的。

6薄板弯曲问题中的位移边界条件薄板弯曲问题中的位移边界条件由于薄壳中面为曲面，象拱一样，受荷载作用将产生位由于薄壳中面为曲面，象拱一样，受荷载作用将产生位于中面的薄膜力，还产生弯曲变形的弯矩和扭矩等，它们于中面的薄膜力，还产生弯曲变形的弯矩和扭矩等，它们共同承受外荷载，彼此是互相影响的。

但在用矩形平板单共同承受外荷载，彼此是互相影响的。

但在用矩形平板单元集合体来代替单曲柱面薄壳的情况下，元集合体来代替单曲柱面薄壳的情况下，为简单计算，平为简单计算，平板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的。

也即板内板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的。

也即板内变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，这是本节讨论的基本出发点。

这是本节讨论的基本出发点。

象曲线边界可用直边单元逼近那样，对于柱状单曲薄壳等象曲线边界可用直边单元逼近那样，对于柱状单曲薄壳等结构，可用结构，可用矩形折板体系矩形折板体系来近似。

来近似。

7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题1）用离散的壳、板单元体系代替连续薄壳。

2）各单元连接点为刚接。

3）结点未知数为u,v,w,x,y,z。

一、概念:

）（）（kkkk1242424pmjipppiipiipmjiFFFF二、壳板单元刚度矩阵形式）（）（1242424eekF7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题三壳单元结点子矩阵的元素分析薄板单元单元薄板单元单元平面单元平面单元薄壳单元薄壳单元7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题ezryrxrrbrerrprebperezryrxrrbrerrprebperMMMWFVUFFFFwvurrrr其中同理：

其中7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题所以可以把分块子矩阵所以可以把分块子矩阵，写成如下形式，写成如下形式.0000000000000000000000brsprsrskkk7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题四壳单元特性1、ur,vr,与wr,xr,yr,zr无关。

（柯希霍夫假设第柯希霍夫假设第4条条:

中面不伸缩）中面不伸缩）2、Ur,Vr,与Wr,Mxr,Myr,Mzr无关。

（ur,vr的变形均匀伸长，沿的变形均匀伸长，沿Z方向不会引起翘曲方向不会引起翘曲.）3.zr对结点力不起作用。

对结点力不起作用。

（理应无需计算（理应无需计算zr,但是但是:

1）为了计算不共面的相邻单元为了计算不共面的相邻单元的弯扭应力的弯扭应力,必须考虑必须考虑zr.2）另外为了今后坐标转换（局另外为了今后坐标转换（局部整体），需要将此矩阵写成部整体），需要将此矩阵写成6X6的对称矩阵。

的对称矩阵。

）7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题4zr和和Mzr对应的刚度系数设定为零对应的刚度系数设定为零。

（所有结点相连单元共面，则壳的刚度矩阵将是奇所有结点相连单元共面，则壳的刚度矩阵将是奇异的，为了避免奇异性，需要引入一个关于中面法异的，为了避免奇异性，需要引入一个关于中面法线转动为零的附加条件。

线转动为零的附加条件。

）7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题五五用平面壳体单元进行壳体分析的步骤用平面壳体单元进行壳体分析的步骤1、离散化（手工或自动）并确定结点坐标。

、离散化（手工或自动）并确定结点坐标。

2、作局部坐标系下的单元分析、作局部坐标系下的单元分析

（1）作平面应力单元分析；）作平面应力单元分析；

（2）作平面弯曲单元分析；）作平面弯曲单元分析；（3）组成平面壳体单元特性公式。

）组成平面壳体单元特性公式。

3、建立坐标转换矩阵、建立坐标转换矩阵T，并求整体坐标下的单元特，并求整体坐标下的单元特性。

性。

4、按照“对号入座”规则形成整体结构刚度矩阵，、按照“对号入座”规则形成整体结构刚度矩阵，从而建立整体结构的刚度方程。

从而建立整体结构的刚度方程。

7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题5、解总刚度方程得壳体结构的结点位移。

、解总刚度方程得壳体结构的结点位移。

6、计算各单元应力、计算各单元应力

（1）形成单元整体坐标结点位移矩阵；）形成单元整体坐标结点位移矩阵；

（2）作坐标变换求局部坐标下结点位移矩阵；）作坐标变换求局部坐标下结点位移矩阵；（3）求平面应力问题应力；）求平面应力问题应力；（4）按平面弯曲求应力；）按平面弯曲求应力；（5）迭加（）迭加（3）、（）、（4）的应力结果；）的应力结果；（6）检查是否全部单元求毕，若没有则转（）检查是否全部单元求毕，若没有则转

（1）。

）。

7、进行应力结果整理。

、进行应力结果整理。

8、输出有关结果（或自动绘图并输出）。

、输出有关结果（或自动绘图并输出）。

7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题程序流程图程序流程图7矩形单元计算薄壳问题矩形单元计算薄壳问题1是几何上以平代曲，使得计算需用很细的网格才能给出良好是几何上以平代曲，使得计算需用很细的网格才能给出良好的逼近于精确的解；的逼近于精确的解；2单元内没有能反映出拉伸与弯曲耦合这一壳体力学特性；当单元内没有能反映出拉伸与弯曲耦合这一壳体力学特性；当某一点的所有单元近似共面时这个结点的处理将变得很困难某一点的所有单元近似共面时这个结点的处理将变得很困难平板壳元主要存的缺点平板壳元主要存的缺点