第4讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算.pdf

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第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU600kVHVDC600kVHVDC电磁暂态分析电磁暂态分析ElectromagneticTransientAnalysisElectromagneticTransientAnalysis何金良何金良?

清华大学电机工程与应用电子技术系高电压与绝缘技术研究所清华大学电机工程与应用电子技术系高电压与绝缘技术研究所?

+62775585，13601024327?

第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU第4讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算第4讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU1概述1概述?

所谓非耦合元件只是普遍存在的有耦合元件的近似处理所谓非耦合元件只是普遍存在的有耦合元件的近似处理?

问题问题1：

实际存在许多相互之间有电磁耦合的集中参数元件，如变压器绕组之间的电磁耦合实际存在许多相互之间有电磁耦合的集中参数元件，如变压器绕组之间的电磁耦合?

电路中电容电路中电容:

对地电容，互电容对地电容，互电容?

当用集中参数电路模拟多导线分布参数线路时，电路中不仅有电感耦合，而且还有电容耦合当用集中参数电路模拟多导线分布参数线路时，电路中不仅有电感耦合，而且还有电容耦合?

问题问题2：

平行多导线系统由于导线之间有电磁联系，因此多导线线路上的电磁暂态过程通常不能孤立地看成相互独立的单根导线上的暂态过程平行多导线系统由于导线之间有电磁联系，因此多导线线路上的电磁暂态过程通常不能孤立地看成相互独立的单根导线上的暂态过程第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.有耦合电路的暂态等值计算电路2.有耦合电路的暂态等值计算电路电感耦合电路电感耦合电路）（）（）（ttdttdmkkmUUIL=）（）（）（tttmkLUUU=nnnnnLLLLLLLLLn212222111211LMOMMLLL当电路无耦合时，则为当电路无耦合时，则为n个独立的微分方程个独立的微分方程第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.有耦合电路的暂态等值计算电路2.有耦合电路的暂态等值计算电路电感耦合电路电感耦合电路?

当电路无耦合时，则为当电路无耦合时，则为n个独立的微分方程个独立的微分方程?

有耦合时，如果有耦合时，如果L是平衡矩阵，即具有相同的对角线元素是平衡矩阵，即具有相同的对角线元素Ld和相同的非对角线元素和相同的非对角线元素Lod：

=d0d0d0dd0d0d0ddLLLLLLLLLL+=+=）（31）2（311010LLLLLLodd第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.1电感耦合电路2.1电感耦合电路）（）（21）（）（1tttttttLLkmkm=UULI）（）（）（）（1tttttLmkLkm+=IUURI等值电阻矩阵等值电阻矩阵LRtL=2）（）（）（）（1ttttttttmkLkmL+=UURII等值电流源列向量的递推公式等值电流源列向量的递推公式）（）

（2）2（）（1ttttttttmkLkmL+=UURII第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.2电感耦合电路2.2电感耦合电路MMMMLLLLLLnLLnnnmmkkmmkkYYYYY=1111）（tLI第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.2电感耦合电路2.2电感耦合电路=22211211YYYYLY=333231232221131211YYYYYYYYYLY第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.3电容耦合电路2.3电容耦合电路k1k2k3C12C13C11C22C33C23CkUk（t）第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.3电容耦合电路2.3电容耦合电路dtdKKUCI=各节点之间存在互电容，各节点之间存在互电容，C是满阵。

用梯形积分是满阵。

用梯形积分）（）（）（1ttttckck+=IURI电容电容C的暂态等值电阻矩阵为的暂态等值电阻矩阵为12=CRtc等值电流源列向量等值电流源列向量）（）（）（1ttttttkkcc=IURI递推公式递推公式）2（）

（2）（1ttIttURttIckcc=第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.3电容耦合电路2.3电容耦合电路Y31k2k3k）（ttcIRc）（tkIk）（1ttIcY1）（2ttIcY2）（3ttIc-Y12-Y23-Y13=332313232212131211YYYYYYYYYcY1312111YYYY+=2312222YYYY+=2313333YYYY+=第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.4有耦合的电感和电阻串联电路2.4有耦合的电感和电阻串联电路mUktkS）（ttRLIUmtIkm第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.4有耦合的电感和电阻串联电路2.4有耦合的电感和电阻串联电路mkkmkmdtdUUILRI=+或或kmmkkmdtdRIUUL=1梯形积分后梯形积分后）（）（）

（2）（）（1tttttttkmmkkmkmRIUULII+=）（）（）（ttttttkmmk+RIUU）（）（）（）（1tttttRLmkkm+=IUUSI第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.4有耦合的电感和电阻串联电路2.4有耦合的电感和电阻串联电路LRSt+=2反映历史记录的暂态等值电流源列向量反映历史记录的暂态等值电流源列向量）（）（）

（2）（11ttttttttmkkmRL+=UUSIRSSI等值电流源递推公式等值电流源递推公式）2（）2（）（）（）（ttttttttttRLRLmkRL+=ISIUUHI1112=RSSSHmikm1k1m1Uk（t）kS）（ttRLIUm（t）IkmkmLRikm2m2ikm3m3k2k3Ikm第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.5接地网的时变模型2.5接地网的时变模型?

接地导体在雷电流作用下具有时频特性接地导体在雷电流作用下具有时频特性当接地导体周围的电场强度超过土壤的临界击穿场强时，土壤被击穿，产生火花放电由于冲击电流频率很高，接地体本身电感作用非常明显，阻碍冲击电流向接地体远端流动当接地导体周围的电场强度超过土壤的临界击穿场强时，土壤被击穿，产生火花放电由于冲击电流频率很高，接地体本身电感作用非常明显，阻碍冲击电流向接地体远端流动第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.5接地网的时变模型2.5接地网的时变模型014iilliiiiddDLiill=+=222222）2（124ln）（1ln22iiiiiiiiilhhhlllaaalllahlr222）（1ln2）（iiiiiiiiiiilaaalllalaC+=）2（）（iiiiiahCaCC+=iiCG=laiEJiici=2第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU2.5接地网的时变模型2.5接地网的时变模型+=001）（）

（1）（41ijijlljijilljiijjiijdldlDjjdldlDjllZjillijijddDLijll=140第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.1平行多导体线路的波动方程3.1平行多导体线路的波动方程?

L和和C是单位长度电感和电容参数矩阵，因为导线之间存在电磁耦合，所以这些参数矩阵都是是单位长度电感和电容参数矩阵，因为导线之间存在电磁耦合，所以这些参数矩阵都是n阶满阵阶满阵，各元素都是实数，各元素都是实数?

电容参数矩阵电容参数矩阵C可以由电位系数矩阵可以由电位系数矩阵P求逆计算求逆计算tx=UCItx=ILU2222tx=ULCU2222tx=ICLI二阶偏微分方程二阶偏微分方程第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.1平行多导体线路的波动方程3.1平行多导体线路的波动方程?

电感和电容参数矩阵电感和电容参数矩阵L、C都是实对称矩阵都是实对称矩阵?

在线路均匀换位情况下在线路均匀换位情况下，L、C都属于平衡矩阵，即具有相同的对角线元素和相同的非对角线元素。

因为都属于平衡矩阵，即具有相同的对角线元素和相同的非对角线元素。

因为L、C都是平衡矩阵，其乘积也是平衡矩阵，而且都是平衡矩阵，其乘积也是平衡矩阵，而且LCCL?

实际线路只能在有限的地方换位，因此所谓均匀换位只是一种近似的处理实际线路只能在有限的地方换位，因此所谓均匀换位只是一种近似的处理?

均匀换位的假定对多导线线路波过程的计算带来很大方便均匀换位的假定对多导线线路波过程的计算带来很大方便多导线线路电感和电容参数矩阵特点：

多导线线路电感和电容参数矩阵特点：

第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.1平行多导体线路的波动方程3.1平行多导体线路的波动方程?

一般情况下，一般情况下，L、C是对称矩阵，但不是平衡矩阵是对称矩阵，但不是平衡矩阵，因此其乘积，因此其乘积LC和和CL都不是对称矩阵，更不是平衡矩阵。

都不是对称矩阵，更不是平衡矩阵。

LC不等于不等于CL?

对非均匀换位线路来说，描述线路上电压和电流变化的波动方程式是有区别的对非均匀换位线路来说，描述线路上电压和电流变化的波动方程式是有区别的?

在低压及电子系统的连接电缆也可以处理为平行多导线系统。

而对于常见的电压电源线路或电子线路，如果采用扭绞线，则可视为平衡线路。

否则应视为不平衡线路在低压及电子系统的连接电缆也可以处理为平行多导线系统。

而对于常见的电压电源线路或电子线路，如果采用扭绞线，则可视为平衡线路。

否则应视为不平衡线路多导线线路电感和电容参数矩阵特点：

多导线线路电感和电容参数矩阵特点：

第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.2平行多导体线路的模变换方法3.2平行多导体线路的模变换方法基本方法基本方法:

?

模变换方法模变换方法，也称作相，也称作相-模变换方法模变换方法?

运用矩阵特征值和特征向量原理，采用矩阵相似变换，把波动方程中运用矩阵特征值和特征向量原理，采用矩阵相似变换，把波动方程中LC或或CL转换为对角阵转换为对角阵?

变换以后的波动方程变成变换以后的波动方程变成n个互相独立的模量上的波动方程个互相独立的模量上的波动方程?

采用求解单导线波过程的采用求解单导线波过程的Bergeron计算方法，分别对每个模量进行求解，计算方法，分别对每个模量进行求解，得到模量上的波过程解以后再反变换到相量，得到模量上的波过程解以后再反变换到相量，得到相量上的波过程解得到相量上的波过程解第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.2平行多导体线路的模变换方法3.2平行多导体线路的模变换方法变换矩阵变换矩阵mSUU=mQII=模量上的电压和电流列向量模量上的电压和电流列向量USU1=mIQI1=m模量上的波动方程模量上的波动方程22122txmm=ULCSSU22122txmm=ICLQQI模变换就是要选取一定的模变换矩阵模变换就是要选取一定的模变换矩阵S和和Q对矩阵乘积对矩阵乘积LC和和CL分别进行相似变换，使成为对角阵分别进行相似变换，使成为对角阵uLCSS=1iCLQQ=1第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.2平行多导体线路的模变换方法3.2平行多导体线路的模变换方法模量上的波动方程模量上的波动方程22122txmm=ULCSSU22122txmm=ICLQQI根据矩阵的特征值和特征向量原理根据矩阵的特征值和特征向量原理u和i的对角线元素分别为LC和CL的特征值变换矩阵S和Q的第i个列向量分别是对应于u和i第i个对角线元素的特征向量，各向量之间线性无关第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.2平行多导体线路的模变换方法3.2平行多导体线路的模变换方法?

模量上的波动方程模量上的波动方程22122txmm=ULCSSU22122txmm=ICLQQI2222txmum=UU2222txmim=II?

模变换后多导线波动方程变换为模变换后多导线波动方程变换为n个独立的多导线波动方程个独立的多导线波动方程?

在相量上相互之间有电磁联系的多导线上的波过程简化为在相量上相互之间有电磁联系的多导线上的波过程简化为n个相互独立的模量上相当于单导线的波过程个相互独立的模量上相当于单导线的波过程?

变换矩阵与线路参数特征有关（是否均匀换位或线路参数矩阵是否平衡矩阵）变换矩阵与线路参数特征有关（是否均匀换位或线路参数矩阵是否平衡矩阵）第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.3平衡线路的模变换矩阵3.3平衡线路的模变换矩阵对换位线路来说，可以对换位线路来说，可以采用相同的电压变换矩阵和电流变换矩阵采用相同的电压变换矩阵和电流变换矩阵S=Q，变换得到完全相同的对角阵，变换得到完全相同的对角阵CLLCP=+=+=odododododdodododdddCLnCLCLPCLnCLP）2（）1（=iu第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵设设i为矩阵为矩阵P的第的第i个特征值，即个特征值，即的第的第i个对角线元素；而个对角线元素；而Si为对应于为对应于i的特征向量，即变换矩阵的特征向量，即变换矩阵S的第的第i个列向量，则个列向量，则iiiSPS=或或0）（=iiSIPI为为nn单位矩阵。

单位矩阵。

确定变换矩阵确定变换矩阵S：

先求出先求出P的特征值的特征值1、2,n及相应的特征向量及相应的特征向量S1、S2、Sn，就可构成变换矩阵，就可构成变换矩阵S第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵设设为平衡矩阵为平衡矩阵P的特征值，则矩阵的特征值，则矩阵P的特征多项式即行列式的特征多项式即行列式IP等于零等于零0）det（）（=IP即即0PPPPPP）（odododododod=dddPPPLMOMMLL整理后整理后0）（）1（1=+noddoddPPPnP矩阵矩阵P的的n个特征值为个特征值为=+=oddnoddPPPnPL321）1（P的特征方程的特征方程第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵模变换矩阵特点：

模变换矩阵特点：

?

第第1列的各元素值必须相等列的各元素值必须相等?

其余列向量中所有元素之和等于零其余列向量中所有元素之和等于零?

变换矩阵不是唯一的变换矩阵不是唯一的011111111121=niiiSSSMLMOMMLL0）（=iiSIP0-11111111112111=nSSSnnnMLMOMMLL第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵对称分量法对称分量法：

分零序、正序和负序三个分量：

分零序、正序和负序三个分量=aaaa2211111S；=1111131221aaaaS对称分量变换矩阵在三相交流稳态计算中经常采用。

因为三相电源对称，各相之间相位上相差对称分量变换矩阵在三相交流稳态计算中经常采用。

因为三相电源对称，各相之间相位上相差120o，满足正序要求，计算上比较方便。

在这种情况下，正序、负序、和零序就是三个不同的模量。

但算子，满足正序要求，计算上比较方便。

在这种情况下，正序、负序、和零序就是三个不同的模量。

但算子a是复数，使计算复杂化，在暂态计算中经常不采用。

是复数，使计算复杂化，在暂态计算中经常不采用。

o120jea=第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵111120111=S=303121222611S=1-1-1101011S=1-211-1-2111311S,Clarke变换矩阵变换矩阵0,变换矩阵变换矩阵第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵-111111111=nnLMOMMLLS；10101111111=OMLnS=211121111S；=101011111311S结构上更为简单实际计算中普遍采用结构上更为简单实际计算中普遍采用Karenbauer变换矩阵变换矩阵对三相线路有对三相线路有第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵均匀换位线路的模变换的有实际意义的结论均匀换位线路的模变换的有实际意义的结论?

均匀换位线路可采用相同的电压变换矩阵和电流变换矩阵均匀换位线路可采用相同的电压变换矩阵和电流变换矩阵SQ?

对路参数矩阵的乘积对路参数矩阵的乘积P=LC=CL进行相似变换得到相同的对角矩阵进行相似变换得到相同的对角矩阵?

任何平衡矩阵都可以选取固定的变换矩阵任何平衡矩阵都可以选取固定的变换矩阵S，经过相似变换使之对角线化，经过相似变换使之对角线化?

变换矩阵与平衡矩阵的具体参数无关变换矩阵与平衡矩阵的具体参数无关?

变换矩阵不是唯一的变换矩阵不是唯一的第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.4平衡线路的模变换矩阵3.4平衡线路的模变换矩阵0，,变换矩阵为例变换矩阵为例模量中电流的0模量3/）（01cbamiiiii+=以大地为回路的“地中模量”，这一分量波的传播参数与大地有关和模量6/）2（2cbaamiiiii+=和2/）（3camiiii=以导线为回路的“空间模量”，其传播参数与大地无关abc地abc地abc地=303121222611S第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.6平衡线模量上的线路参数3.6平衡线模量上的线路参数平衡线模量上波的传播速度平衡线模量上波的传播速度2222tuxumiimi=imiv1=）2）（2（11oddoddmCCLLv+=）（13,2oddoddmCCLLv+=+=oddnoddPPPnPL321）1（第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU3.6平衡线模量上的线路参数3.6平衡线模量上的线路参数例500千伏均匀换位线路例500千伏均匀换位线路2305451=mv公里/秒2928493,2=mv公里/秒40.4781=mZ欧17.2593,2=mZ欧由于模量上各分量的传播速度不同，各分量到达2公里处的时间有先后。

因为3,21mmvv0，就称，就称M正定正定矩阵在正定正定矩阵在相似变换相似变换下可化为标准型，即下可化为标准型，即单位矩阵单位矩阵。

第第4讲讲-有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算有耦合电路和多导线线路暂态过程的计算CopyrightbyProf.He,JinliangofTHU实域中求解模变换矩阵实域中求解模变换矩阵）（）（iiiTHQ=HQHCHi不仅是不仅是CL的特征值，而且也是的特征值，而且也是HCHT特征值。

特征值。

HQi是矩阵是矩阵HCHT相应的特征向量。

如果电容参数相应的特征向量。

如果电容参数C是实对称矩阵，可以有是实对称矩阵，可以有TTTHCHHCH=）（说明矩阵说明矩阵HCHT是对称矩阵。

这就证明了矩阵是对称矩