初一找规律经典题型(含部分问题详解).doc
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初一数学规律题应用知识汇总
“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：
a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+（n-1）b。
例：
4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：
4+（n-1）6＝6n－2
例1、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．
（1）当n=5时，共向外作出了个小等边三角形
（2）当n=k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．
n=3
n=4
n=5
……
例2、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数式表示）。
（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
例1.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。
妙题赏析：
规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：
1、设计类
【例1】（2005年大连市中考题）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。
（1）请你利用这个几何图形求的值为 。
（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。
【例2】（2005年河北省中考题）观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
解析：
【例1】
（1）
（2）可设计如图1，图2，图3，图4所示的方案：
【例2】
（1），对应的图形是
（2）。
此类试题除要求考生写出规律性的答案外，还要求设计出一套对应的方案，本题魅力四射，光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用图形说话。
考察学生的动手实践能力与创新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！
”的命题思想。
3、数字类
【例5】（2005年福州市中考题）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第七个数据是 。
解析：
【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为。
【例6】（2005年长春市中考题）按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。
解析：
【例6】有序数对的前一个数比后一个数小1，而每一个有序数对的第一个数形成等差数数列，1，4，7，故第5个数为13，故第5个有序数对为（13，14）。
【例7】（2005年威海市中考题）一组按规律排列的数：
，，，，，…请你推断第9个数是
解析：
【例7】中这列数的分母为2，3，4，5，6……的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差2，4，6，8……故第9个数为1+2+4+6+8+10+12+14+16＝73，分母为100，故答案为。
4、计算类
【例10】（2005年陕西省中考题）观察下列等式：
，……则第n个等式可以表示为 。
解析：
【例10】
【例11】（2005年哈尔滨市中考题）观察下列各式：
，，，……根据前面的规律，得：
。
（其中n为正整数）
解析：
【例11】
【例12】（2005年耒阳市中考题）观察下列等式：
观察下列等式：
4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为 。
解析：
【例12】（n≥1，n表示了自然数）
5、图形类
【例13】（2005年淄博市中考题）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。
观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。
解析：
【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，
【例14】（2005年宁夏回自治区中考题）“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。
按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。
【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个图案中以乙中植物有4×4＝16个，……故第六个图案中以乙中植物有7×7＝49个.
【例15】（2005年呼和浩特市中考题）如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：
第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。
【例15】第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方，第三个图案有1+3+5＝9＝3的平方，……故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。
综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。
2007•无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=．
如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
解析：
（1）图3中依次排列为1，2，4，7，11……，如果用后项减前项依次得到1，2，3，4，5……，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：
1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4……,从分解看，第n个圆圈的个数应为1+（1+2+3+4+……n），而1+2+3+4+……+n正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了公式:
1+2+3+…+n=，则第n项公式为1+，已知共有12层，那么求图3最左边最底层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11（11+1）/2=67.
解析：
（2）已知图中的圆圈共有12层，按图4的方式填上-23，，-22，-21，……,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和？
第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：
（1+12）12/2=78个，那78个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1有23个负数，1个0，78-24=54个正数，1至54，所以分段求和，两段相加得到图4中所有圆圈的和。
第一段：
S==（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）*54/2=1485，相加后得1761。
例如、观察下列数表：
解析：
根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为______.（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。
题目条件里的数构成一个正方形。
让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。
我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。
这是奇数从小到大的排列。
于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。
即2n-1。
三、要善于比较
“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：
0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是。
”
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0，3，8，15，24，……。
序列号：
1，2，3，4，5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。
解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：
①13＝12；
②13＋23＝32；
③13＋23＋33＝62；
④13＋23＋33＋43＝102；
…………
由此规律知，第⑤个等式是．”
解析：
这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。
所以，需要进行比较的因素也比较多。
就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。
所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。
所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。
再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。
等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。
比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。
所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。
四、要善于寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
譬如，玉林市2005年中考数学试题：
“观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。
”
这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。
每个循环节里有3个实心球。
我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。
因为2004÷10=200（余4）。
所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。
200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。
所以，一共有602个实心球。
六、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律。
而数学规律，多数是函数的解析式。
函数的解析式里常常包含着数学运算。
因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。
所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：
0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。
试按此规律写出的第10个式子是。
”
这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。
容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。
然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：
0，1，1，2，3，5，8，……。
从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。
也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。
使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。
所以，原数列第10项是34x9。
一、数字排列规律题
1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？
23581217____
2、请填出下面横线上的数字。
112358____21
5、观察下列一组数的排列：
1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）.
A．1 B．2 C．3 D．4
7、一组按规律排列的数：
，，，，，……请你推断第9个数是．
9、观察下列各式；①、1+1=1×2；②、2+2=2×3；③、3+3=3×4；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来。
10、观察下面的几个算式：
①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9；
③、1+2+3+4+3+2+1=16；④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子
12、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
第1行1
第2行－2 3
第3行－4 5 －6
第4行7 －8 9 －10
第5行11－12 13 －14 15
………………（第13题）
13、已知一列数：
1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于．
14、观察下列各算式：
1+3=4=2的平方，1+3+5=9=3的平方，1+3+5+7=16=4的平方…
按此规律
（1）试猜想：
1+3+5+7+…+2005+2007的值
？
（2）推广：
1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？
（3）小凡在计算时发现，11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321，他从中发现了一个规律。
你能根据他所发现的规律很快地写出111111111×111111111=______吗?
答案是___________________________。
（4）四个同学研究一列数：
1，－3，5，－7，9，－11，13，……照此规律，他们得出第n个数分别如下，你认为正确的是（）
A.2n－1B.1－2nC.D.
（5）有一列数从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为___________.
（6）观察数列1，1，2，3，5，8，x，21，y，……，则2x-y=____________
（7）观察下列各式：
…，请你根据上述规律，猜想的末位数字是_________.
（8）观察下列各式：
……猜想：
15、观察数表，根据其中的规律，在数表中的内填入适当的数。
1
1-1
1-21
1-331
1-46-41
1-5-105-1
1-6-2015-61
17.观察下面一列有规律的数
，根据这个规律可知第n个数是（n是正整数）
二、几何图形变化规律题
5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示）
………
6、观察下面图形我们可以发现：
第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。
7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．
8、……
用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：
第（4）个图案中有黑色地砖4块；那么第（）个图案中有白色地砖块。
10.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.
三、根据已知等式探究规律
2、观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____
4、观察下列等式：
21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；……
用你发现的规律确定22007的个位数学数字是
分析：
观察计算结果的末位数字，依次按2，4，8，6循环出现。
而2007÷4=501……3，故22007的个位数字与23的个位数字相同，所以2的个位数字是8
19.研究下列等式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.
5、探索规律 可写成,可写成
可写成,可写成
（1）把这个规律用含有n的式子写出来；
（2）计算952．
6、观察：
…
计算：
．
7、
9、一只小虫在数轴上原点处，第一次向右跳了1个单位，紧接着又向左跳了2个单位，第3次向右跳了3个单位，第4次向左跳了4个单位……按以上规律，它共跳了101次，你能确定小虫在数轴上的最后落点表示什么数吗？
①
②
③
④
前4次跳动图
10.观察下面一列数：
-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式
第8题
按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是.
11.观察下列等式9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
…………
这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为.
四、与数阵有关的问题
1、]下图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数]则：
（1）、a、c的关系是：
__________________；
（2）、当a＋b＋c＋d＝32时，a＝__________．
日一二三四五六
123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031
2、上面给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A．69 B．54 C．27 D．40
3、在如图所示的2003年1月份的日历中，用一个方框圈出任意3×3个数
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
（1）从左下角到右上角的三个数字之和为45,那么这9个数的和是多少?
这9个日期中最后一天是1月几日?
（2）用这样的方框能否圈出总和为162的9个数?
五、与视图、展开图有关的问题
1
2
2
1
1、如图是几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数
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