第60讲--立体几何中的向量方法(二)——利用空间向量求空间角与距离.doc
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第60讲 立体几何中的向量方法
（二）——利用空间向量求空间角与距离
夯实基础 【p138】
【学习目标】
会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离．
【基础检测】
1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝（1，0，1），b＝（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
A．90°B．30°C．45°D．60°
2．已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的二面角的大小为（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．90°
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则DB到平面EFG的距离为（ ）
A.B.C.D．1
【知识要点】
1．空间角和空间距离的向量表示
（1）直线与平面所成的角
直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线a与平面α所成的角θ等于向量m，n所成的锐角的余角（若所成角为钝角，则取其补角的余角），即__sin__θ＝__．
特例：
若m⊥n，则__a∥α__或__aα__．若m∥n，则a⊥α.
（2）二面角的平面角
设二面角α－l－β的两个半平面α和β的法向量分别为m，n，二面角α－l－β的大小为θ，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时，cosθ＝|cos〈m，n〉|＝；当二面角为钝角时，__cos__θ＝－|cos__〈m，n〉|＝－__．
特例：
若m∥n，则__α∥β__，若m⊥n，则__α⊥β__．
2．点到平面的距离
设平面α的法向量为__n__，P是平面α外一点，Q是平面α内任一点，则点P到平面α的距离d等于在法向量n上的投影的绝对值，即d＝____．
典例剖析 【p138】
考点1 求异面直线所成的角
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD
同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
（1）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
考点2 求直线与平面所成的角
四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.
（1）证明：
SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．
考点3 求二面角
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：
PA∥平面EDB；
（2）求二面角F－DE－B的正弦值．
考点4 求空间距离
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
（1）求证：
BE⊥平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离；
（3）求异面直线AF与BE之间的距离．
方法总结 【p139】
1．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：
先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量（注意量的集中），然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解．
2．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系．表示出已知点（或向量）的坐标．难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法．
3．向量法求空间角与距离一般在易建系而又不易直接作出所求角与距离时使用，事半功倍．
走进高考 【p139】
1．（2017·天津）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
（1）求证：
MN∥平面BDE；
（2）求二面角C－EM－N的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
2．（2017·全国卷Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．
考点集训 【p260】
A组题
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
3．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，BC＝BD＝2，AB＝1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为________．
4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．
5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是__________．（填写序号）
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A－BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．
B组题
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为________．
2．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3.E，F分别为线段BC，SB上的点（端点除外），满足＝＝λ，当实数λ的值为________时，∠AFE为直角．
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
（1）求点C到平面A1ABB1的距离；
（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．
4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D－AP－C的余弦值为，求PF的长度．
第60讲 立体几何中的向量方法
（二）——利用空间向量求空间角与距离
夯实基础 【p138】
【学习目标】
会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离．
【基础检测】
1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝（1，0，1），b＝（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
A．90°B．30°C．45°D．60°
【答案】D
2．已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的二面角的大小为（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．90°
【答案】C
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
【解析】以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1（1，0，2），B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0），
则＝（－1，1，－2），＝（－1，0，0），
cos〈，〉＝
＝＝.
【答案】D
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则DB到平面EFG的距离为（ ）
A.B.C.D．1
【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标系，∴F（4，2，0），E（2，4，0），G（0，0，2），∴＝（－2，2，0），＝（－2，－4，2），∴平面EFG的一个法向量为m＝（1，1，3），∵BD∥平面EFG，∴直线BD到平面EFG的距离即点B到平面EFG的距离，∴d＝＝.
【答案】B
【知识要点】
1．空间角和空间距离的向量表示
（1）直线与平面所成的角
直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线a与平面α所成的角θ等于向量m，n所成的锐角的余角（若所成角为钝角，则取其补角的余角），即__sin__θ＝__．
特例：
若m⊥n，则__a∥α__或__aα__．若m∥n，则a⊥α.
（2）二面角的平面角
设二面角α－l－β的两个半平面α和β的法向量分别为m，n，二面角α－l－β的大小为θ，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时，cosθ＝|cos〈m，n〉|＝；当二面角为钝角时，__cos__θ＝－|cos__〈m，n〉|＝－__．
特例：
若m∥n，则__α∥β__，若m⊥n，则__α⊥β__．
2．点到平面的距离
设平面α的法向量为__n__，P是平面α外一点，Q是平面α内任一点，则点P到平面α的距离d等于在法向量n上的投影的绝对值，即d＝____．
典例剖析 【p138】
考点1 求异面直线所成的角
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD
同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
（1）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【解析】
（1）证明：
如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，
所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
（2）以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz.
由
（1）可得A（0，－，0），E（1，0，），F，C（0，，0），
所以＝（1，，），＝.
故cos〈，〉＝＝－.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
考点2 求直线与平面所成的角
四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.
（1）证明：
SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．
【解析】
（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，
得SO⊥平面ABCD.
因为SA＝SB，所以AO＝BO，
又∠ABC＝45°，所以△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB，
如图，以O为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立空间直角坐标系O－xyz.
A（，0，0），B（0，，0），C（0，－，0），S（0，0，1），
D（，－2，0），
＝（，0，－1），＝（0，2，0），·＝0，
所以SA⊥BC.
（2）设n＝（x，y，z）为平面SAB的法向量，则
得所以
令x＝1，得n＝（1，1，），
|cos〈n，〉|＝＝，
SD与平面SAB所成的角与与n所成的角互余．
所以，直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.
考点3 求二面角
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：
PA∥平面EDB；
（2）求二面角F－DE－B的正弦值．
【解析】如图，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1.
（1）证明：
连结AC，AC交BD于点G，连结EG.
依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E.
因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，且＝（1，0，－1），
＝.
所以＝2，即PA∥EG，而EG平面EDB，且PA平面EDB，
因此PA∥平面EDB.
（2）B（1，1，0），＝（1，1，－1），又＝，
故·＝0，所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
所以平面EFD的一个法向量为＝（1，1，－1）．
＝，＝（1，1，0），
不妨设平面DEB的法向量为a＝（x，y，z），
则
不妨取x＝1，则y＝－1，z＝1，即a＝（1，－1，1），
设二面角F－DE－B的平面角为θ，
则cosθ＝＝－，
因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝.
即二面角F－DE－B的正弦值大小为.
考点4 求空间距离
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
（1）求证：
BE⊥平面ACF；
（2）求点E到平面ACF的距离；
（3）求异面直线AF与BE之间的距离．
【解析】
（1）以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）．
于是＝（－2，2，0），＝（0，2，4），＝（－2，－2，1）．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A，∴BE⊥平面ACF.
（2）由
（1）知，为平面ACF的一个法向量，
∴向量在上的射影的大小即为E到平面ACF的距离，设为d1，
于是d1＝||·|cos〈，〉|
＝||·
＝＝，
故点E到平面ACF的距离为.
（3）由
（1）知＝（0，2，4），＝（－2，－2，1），
设AF与BE的公垂线的方向向量d＝（x，y，z），
则
得取z＝2，得d＝（5，－4，2）．
又＝（0，2，0），设AF与BE之间的距离为d2，
则d2＝＝＝.
【点评】利用向量法求距离关键是应用一个向量在另一个向量上的投影．
方法总结 【p139】
1．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：
先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量（注意量的集中），然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解．
2．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系．表示出已知点（或向量）的坐标．难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法．
3．向量法求空间角与距离一般在易建系而又不易直接作出所求角与距离时使用，事半功倍．
走进高考 【p139】
1．（2017·天津）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
（1）求证：
MN∥平面BDE；
（2）求二面角C－EM－N的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）．
（1）＝（0，2，0），＝（2，0，－2）．
设n＝（x，y，z）为平面BDE的法向量，
则即
不妨设z＝1，可得n＝（1，0，1）．
又＝（1，2，－1），可得·n＝0.
因为MN平面BDE，所以MN∥平面BDE.
（2）易知n1＝（1，0，0）为平面CEM的一个法向量．
设n2＝（x1，y1，z1）为平面EMN的法向量，则
因为＝（0，－2，－1），＝（1，2，－1），
所以
不妨设y1＝1，可得n2＝（－4，1，－2）．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，
于是sin〈n1，n2〉＝.
所以，二面角C－EM－N的正弦值为.
（3）依题意，设AH＝h（0≤h≤4），则H（0，0，h），
进而可得＝（－1，－2，h），＝（－2，2，2）．
由已知，得|cos〈·〉|＝＝＝，
整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝，或h＝.
2．（2017·全国卷Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．
【解析】
（1）由题设可得，△ABD≌△DBC，从而AD＝DC.
又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及
（1）知，OA，OB，OD两两垂直.以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（－1，0，0），D（0，0，1）．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故＝（－1，0，1），＝（－2，0，0），＝.
设n＝（x，y，z）是平面DAE的法向量，则
即
可取n＝.
设m是平面AEC的法向量，则
同理可取m＝.
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角D－AE－C的余弦值为.
考点集训 【p260】
A组题
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
【解析】建立坐标系如图所示．
则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2），＝（－1，0，2），＝（－1，2，1）．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
【答案】B
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，
∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.
【答案】A
3．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，BC＝BD＝2，AB＝1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为________．
【解析】以B为原点，分别以射线BC，BD，BA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，∵BC＝BD＝2，AB＝1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴＝（－2，0，0），＝（－2，0，1），＝（－2，2，0），
设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z）．
则∴
∴可取n＝（1，1，2），
设直线BC和平面ACD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.
【答案】
4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．
【解析】∵＝＋＋，
∴||＝
＝
＝
＝2.
∴·＝||·||·cos〈，〉＝－24.
∴cos〈，〉＝－.
而二面角与〈，〉互补，
∴所求二面角为60°.
【答案】60°
5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．
【解析】不妨设PM＝a，PN＝b，如图，
作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，
∵∠EPM＝∠FPN＝45°，
∴PE＝a，PF＝b，
∴·＝（－）·（－）
＝·－·－·＋·
＝abcos60°－a×bcos45°－a×bcos45°＋a×b
＝－－＋＝0，
∴⊥，
∴二面角α－AB－β的大小为90°.
【答案】90°
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是__________．（填写序号）
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A－BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．
【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D.
∴AC⊥BE，故①正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，
∴EF∥平面ABCD，故②正确．
③中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA－BEF为定值，③正确．
当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A（1，1，0），B（0，1，0），E（1，0，1），F，
∴＝（0，－1，1），＝，∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，
此时E，F（0，1，1），
∴＝，＝（0，0，1），
∴·＝1，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故④不正确．
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