人教版九年级数学上册期末复习.docx

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人教版九年级数学上册期末复习

人教版九年级数。

上册知识点总结

21.1一元二次方程

知识点——元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax?

+bx+c=0（a=0）.其中，ax?

是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次一解•元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x=a（a^0）的方程，根据平方根的定义可解得

&=-插.

（2）直接开平方法适用于解形如xS＞或（mx+a）2=p（m^0）形式的方程，如果p'O,就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；②使二次项系数或含有未知数

的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：

一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号

右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a^O）,如果bFacNO,那么方程的两个根为x=7士*_竺,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

la

我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

1方程化为一般形式：

ax2+bx+c=0（a/0）,一般a化为正值②确定公式中a,b,c

的值，注意符号；

③求岀b2-4ac的值；④若bJac'O,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的貞别式

式子英4ac叫做方程ax+bx+c=0（a^0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即左

=b2-4ac.

△>0,方程ax2+bx+c=0（a^0）有两个不相等的实数根

二程△=（），方程ax2+bx+c=0（a=0）有两个相等的实数根

根的判别式

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名

称

理论依据

适用范围

直接开平

方法

平方根的意

义

形如x2=p或（mx+n）Jp（p

部）

配方法

完全平方公式

所有一元二次方程

公式法

配方法

所有一元二次方程

因式分解

法

当ab=O,则a=0

或b=0

一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与糸数的关系

若一元二次方程x2+px+Q=0的两个根为X】,X2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0（a^0）有两个实数根x”闻则有x1+x2=,aa

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：

是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是己知量，哪些是未知量以及它们之间

的等量关系。

（2）设：

是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：

就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：

就是解方程，求岀未知数的值。

（5）验：

是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：

写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题

三个连续整数：

若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-l,x+1。

三个连续偶数（奇数）：

若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：

设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是

100a+10b+c.

（2）增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后

的等量关系为a（l±x）2=bo

（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润X总

销售量；③利润=成本X利润率

（4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数知识点归纳及相关典型題

第-部分基础知识

1.定义：

一般地，如果），=京+笊+皿如是常数，”0）,那么），叫做X的二次函数.

2.二次函数），=京的性质

（1）抛物线），=履的顶点是坐标原点，对称轴是），轴.

（2）函数），=履的图像与。

的符号关系.

1当•>0时=抛物线开口向上。

顶点为其最低点；

2当.<0时=抛物线开口向下。

顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是），轴的抛物线的解析式形式为），=技（々。

0）.

3.二次函数），=物+笊+。

的图像是对称轴平行于（包括重合）），轴的抛物线.

4.二次函数厂宀况+c用配方法可化成：

a*的形式，其中,b,4ac-b2

n,k=.

2a4。

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①厂物；②y=^+k；③厂志-庁；

（4）j'=a（x—h^+k;⑤jytzx2-i-bx+c.

6.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

1。

的符号决定抛物线的开口方向：

当。

>0时，开口向上；当•<（）时，开口向下；

|。

|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2平行于），轴（或重合）的直线记作》=方.特别地，），轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。

相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

），=物+笊+。

=厶+9丫+竺让，.・.顶点是（一丄竺W）,对称轴是

\2aJ4ala4a

直线x=-A.

la

（2）配方法：

运用配方的方法，将抛物线的解析式化为），=*》-方下+左的形式，得到顶点为（方，Q,对称轴是直线》=方.

⑶运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线），=京+》x+c中，q如的作用

（1）々决定开口方向及开口大小，这与），=京中的a完全一样.

（2）方和。

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线

laa

工=-=,故：

①5=0时，对称轴为轴；②纟>0（即a、3同号）时，对称轴在），轴

左侧；③2<0（即a、b异号）时，对称轴在），轴右侧.

a

（3）c的大小决定抛物线），=履+笊+。

与N轴交点的位置.

当x=o时，），*,..・抛场线），=京+笊+。

与N轴有且只有一个交点（0,C）:

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与｝，轴交于正半轴；③c<0,与N轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在），轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：

y=a^+bx+c.己知图像上三点或三对X、），的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

y=a（X-hY+k.己知图像的顶点或对称辄通常选择顶点式.

（3）交点式：

己知图像与X轴的交点坐标也、x2»通常选用交点式：

y=a（x-xl\x-x2）.

12.直线与抛物线的交点

（1）），轴与抛物线），=履+彼+C得交点为（0,C）.

（2）与），轴平行的直线》=方与抛物线），=履+笊+。

有且只有一个交点（方，泌i泌+C）.

（3）抛物线与X轴的交点

二次函数），=宀bx+C的图像与X轴的两个交点的横坐标公巧，是对应一元二次方程衣2+笊+。

=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

1有两个交点。

△>0=抛物线与X轴相交；

2有一个交点（顶点在工轴上）=△=（）=抛物线与X轴相切；

3没有交点。

△<0=抛物线与X轴相离.

（4）平行于X轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为殆则横坐标是^+bx+c=k的两个实数根.

（5）一次函数），=女+〃（膈0）的图像，与二次函数），=技+笊+由。

0）的图像G的交点，

由方程组/'=枝:

〃的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时=，与G

=ov+bx+c

有两个交点；②方程组只有一组解时与G只有一个交点；③方程组无解时=/与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线），=京+笊+。

与X轴两交点为才（冲0）5（x2,0）,由于X］、工2是方程我+&v+c=0的两个根，故

bc

xx+x2=~9xrx2=-

如=ki一对二或也—易）2二/毎-戸尸-佔邑={■'）.兰="2"|4吃=存

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转，点

。

叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：

（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：

即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：

即把直线按要求绕旋转中心

转过一定角度（作旋转角）

③截：

即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接:

即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作岀一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作岀该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得岀成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转L80。

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

第二十四章岡

24.1圆

24.1.1g

知识点一圆的定义

圆的定义：

第一种：

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点。

叫作圆心，线段0A叫作半径。

第二种：

圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：

第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：

等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为CD,AB是弦，且CD丄AB,

JAM=BM

垂足月AC=BC。

AD=BD

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M,

_CD±AB

AM=BMAC=BC

AD=BD

注意：

因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3孤、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

（1）圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半。

（2）圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。

“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补。

24.2点、直线、圆和网的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有：

点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表示：

若设。

。

的半径是r,点P到圆的距离0P=d,则有：

点P在圆外<=>d>r；点p在圆上Ad=r；点p在圆内ndVr。

知识点二过己知点作圆

（1）经过一个点的圆（如点A）

以点A外的任意一点（如点0）为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作

无数个。

（2）经过两点的圆（如点A、B）

以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点0）为圆心，以0A（或0B）为半径作圆即

B

（3）经过三点的圆

1经过在同一条直线上的三个点不能作圆

©不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作

圆，且只能作一个圆。

如经辻不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：

连接

AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点0,以点。

为圆心，以0A（或OB、0C）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一

个。

2知识点三三角形的外接圆与外心

（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

（1）反证法：

假设命题的结论不成立，经过推理得岀矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

（2）反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

Q）从假设出发，经过逻辑推理，推岀或与定义，或与公理，或与定理，或与己知等相矛盾的结论；

①由矛盾判定假设不正确，从而得岀原命题正确。

24.2.2H线和岡的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有：

相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设。

。

的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有：

直线1和。

同位d

0相切导=r；直线1和。

0

相离d>ro

知识点二切线的判定和性质

（1）切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的其他性质：

切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过

圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

（1）切线长的定义：

经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（3）注意：

切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

（1）三角形的内切圆定义：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

（2）三角形的内心：

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

（3）注意：

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心己知时,过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3岡和圆的位置关系

知识点一圆与圆的位置关系

（1）圆与圆的位置关系有五种：

①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

Q）如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

3如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是1r2,且方Vr2,则有

两圆外离<=:

>d>r1+r2两圆外切u>d=x\+r2圆相交<==>r2-r1

24.3正多边形和阿

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：

外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：

正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：

中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

（1）正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

（2）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

（3）正n边形的每一个内角等于（"一2）x180。

中心角和外角相等，等于犯:

。

nn

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式1=缪

loO

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2mR,所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式1=三X2兀R喋o

36JloO

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=nR2,所以圆心角为n°的扇形的面积为S^=噤。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

S^=^-=—x-R=-IR;^s_=-IR

36018022>6形2

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为L底面圆的半径为“那么这个扇形的半径为L扇形的弧长为2叶，因此圆锥的侧面积晶哽=，20」=河。

圆锥的全面积为$“金=$僵哽+$底="+加。

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

知识点一必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。

知识点二事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。

不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知识点概率

一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事

件A发生的概率，记作P（A）o

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=竺。

由m和n的含义可知0

n

WmWn,因此0W竺W1,因此OWP（A）WL

n

当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.

25.2用列举法求概率

知识点一用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=竺。

n

知识点二用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能岀现的结果数目较多时，为不重不漏地列岀所有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的