高中数学《椭圆》教案.doc

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课题：

8．1椭圆及其标准方程

教学目标：

1．通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法；

2．通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；

神州六号飞船运行轨道全程图（资料图）

图1

3．通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．

教学重点：

椭圆的定义和标准方程

教学难点：

椭圆标准方程的推导

教学手段：

计算机、实物投影仪

教学方法：

启发式、探究式

教学过程：

一、创设情境，导入新课

1．由“神六”引入新课

（1）大屏幕展示“神舟”六号飞船成功发射和运行轨道的资料图片（如图1）．

搭乘两名航天员的中国第二艘载人飞船“神舟”六号，在酒泉卫星发射中心发射升空．

（2）由“神六”飞船的运行轨道引出课题．

板书：

8．1椭圆及其标准方程

（一）．

图2

2．让学生直观认识椭圆

（1）“压扁”圆成椭圆

用计算机课件模拟演示将圆“压扁”成椭圆的过程（如图2）．类比圆的画法，导出椭圆的画法：

将细绳的两端固定在硬纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆．

3．师生共同画图体验

请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，自己动手画椭圆．然后教师用多媒体演示画椭圆的过程．

二、引导探究，掌握新知

1．椭圆的定义

（1）教师提出问题

在上面的作图过程中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？

（两个定点及绳长是不变的，点的位置是运动变化的）

在此基础上，请学生阐述“绳长不变”的意义．

（2）学生概括椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

教学预案：

若学生将定义叙述为“与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，这时教师要说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字．然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？

”由此引发学生大胆想象、质疑、推理，自我探究．教师再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于，则点的轨迹是线段；若这个常数小于，则点的轨迹不存在；若这个常数大于，则点的轨迹是椭圆．所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：

“此常数大于”．

（3）强调定义的条件

强调“平面内”三个字不可少，条件“常数大于”不可缺．

2．椭圆应用的实例

利用计算机课件演示，展现生活中椭圆的实例（如图3）．

图3

3.椭圆的标准方程

（1）复习求动点的轨迹方程的基本步骤

（由学生回答，不正确的教师给予纠正）

（2）椭圆标准方程的探求

（ⅰ）建系

以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图4）．设，则，．

（ⅱ）设点

（图4）

设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于（）．

由定义得到椭圆上点的集合为．

（ⅲ）列式

将条件式代数化，得

（*）

（ⅳ）化简

先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视．

①教学预案：

若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到

（**）

在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．

然后教师提出：

有无较为简单的方法化简（*）式呢？

请学生观察式子，

引导学生联想等差中项的定义：

“成等差数列”，

知，，成等差数列，

可设

再设法消去，即可将（*）式化简为（**）式．

若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（**）式，则师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（**）式．

②的引入

由椭圆的定义可知，,，

O

图

图5

让点运动到轴正半轴上（如图5），由学生观察图形自行获得，的几何意义，进而自然引进，此时，于是得，

两边同时除以，得椭圆的标准方程为

．

（3）标准方程的说明

（ⅰ）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；

（ⅱ）上述方程表示焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中；

（ⅲ）以上的推导过程，没有证明“以满足方程的实数对为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；

（ⅳ）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的；

（ⅴ）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．

三、应用举例，巩固新知

例求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是、，并且经过点．

分析：

解决问题的关键是求出，对于

（1），易知椭圆中心在原点，焦点在根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆的标准方程，由已知条件及椭圆的定义求出值，再根据已知条件及、、之间的关系求出的值，从而写出椭圆的标准方程为；

对于

（2），有两种解题思路，思路1：

利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程；思路2：

先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．

四、回顾小结，归纳提炼

1．知识与技能层面的小结

椭圆的定义；椭圆的标准方程；、、之间的关系；

2.过程与方法层面的小结

包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想以及思维能力和运算能力；

3．情感、态度、价值观层面的小结．

五、课后作业，巩固提高

1．基础题：

课本96页习题8.1第2题、第3题

2．思考题：

．

．

（1）比较焦点分别在轴上、轴上的两种椭圆的标准方程、，归纳它们各自的特点及相同点、不同点．

（2）如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面200，远地点（离地面最近的点）距地面约350，并且、、在同一直线上，地球半径约为6400，求“神六”运行轨道的方程（精确到1）．

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