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最新命题与证明复习资料
命题与证明复习资料
知识讲解一:
定义与命题
概念：
一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义
一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题结构：
命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题的分类：
正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题
判定一个命题是真命题的方法:
（1）通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
（2）人们经过长期实践后而公认为正确的：
数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.
命题
◆针对练习
1．下列语句中，为定义的是（）
A．两点确定一条直线吗;
B．三角形的角平分线是一条线段
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线;
D．同角的余角相等
2．已知下列句子：
①延长线段AB到C；②垂线段最短；③过点A画直线EF；④将4开平方．其中是命题的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）
A．如果同角，那么相等;
B．如果同角，那么补角相等;
C．如果同角的补角，那么相等;
D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等;
（2）全等三角形的面积相等．
5．正确的命题称为______命题，不正确的命题称为_______命题．
命题“如果ab=0，那么a=0”是________命题；
命题“如果a=0，那么ab=0”是________命题．
6．下列说法正确的是（）
A．定理不一定是真命题;B．真命题不一定正确
C．假命题不一定错误;D．公理一定是真命题
7．
（1）命题“若a>3，则
=a-3”是真命题还是假命题？
请说明理由．
（2）命题“如果ab>0，则a>0且b>0”是真命题还是假命题？
请说明理由．
8．命题“在一个三角形中，等边对等角”的条件是：
____________,结论是：
_______________，它是______命题．
9．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD∥BC，则AD平分△ABC的外角∠EAC.用推理的方法说明它是一个真命题．
◆综合提高
10．指出下列命题的题设和结论，并把它改写成“如果……那么……”的形式．
（1）三角形两边之和大于第三边;
（2）三角形的内角和等于180°．
11．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2-3x+4=0，x3+x-1=0，x3-2x2+3=x，y3+2y2-5y-1=0．
12．已知下列命题：
①有一个内角是60°的三角形是等边三角形；②有一个内有是60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个内角是60°的三角形是等边三角形；④三个内角相等的三角形是等边三角形．其中真命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下列命题中，哪些是真命题？
哪些是假命题？
请说明理由．
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角．
（2）关于x的方程ax2-x=0（a≠0）必有两个不相同的实数解．
14．下列关于代数式x2-4x+8的三个命题：
①该代数式的值必定大于8；②该代数式的值必定大于4；③该代数式的值必定大于2．其中是真命题的有_______．（填序号）
知识点二：
证明
概念：
要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推得结论成立,这样的推理过程就叫做证明
注：
证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内
证明命题的一般步骤:
（1）根据题意,画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
证明几何命题时,表述要按照一定的格式,一般为:
（1）按题意画出图形;
（2）分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
（3）在“证明”中写出推理过程.
注意：
1.要严格按规定的格式书写;
2.如果给出的几何命题已包括了相应的图形.已知及求证,则可在表述时直接写出证明的推理过程.
数学证明题的基本思路：
由“因”导“果”,执“果”索“因”
关于辅助线：
1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一4.定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
针对练习
1．下列说法正确的是（）
A．有公共顶点，且相等的两个角是对顶角;B．一条直线只有一条垂线;
C．垂线段最短;D．一条直线的垂直平分线只有一条
2．如图1，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）
A．∠A+∠2=180°B．∠A=∠3C．∠1=∠4D．∠1=∠3
3．直角三角形斜边上的高与中线长分别为4cm，5cm，则这个直角三角形的面积为________．
4．如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，且AD=DB=BC，则∠A=_______．
5．在△ABC中，D是BC边上一点，DE垂直平分AC，△ABD的周长是9cm，AC=3cm，则△ABC的周长是_________．
6．若三角形两边的长分别为7cm，2cm，第三边长为奇数，则第三边的长为（）
A．3cmB．9cmC．7cmD．不能确定
7．已知△ABC的三个内角度数比为2：
3：
4，则这个三角形是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的顶角为______．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=_________．
综合应用
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，DE和CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，求∠DEC的度数．
11．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．
12．“有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？
试说明理由．
13．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，∠A=50°.求∠BPC的度数．
14．如图，已知在△ABC中，O为∠B和∠C平分线的交点，OE∥AB交BC于点E，OF∥AC交BC于点F，若BC=10cm，求△OEF的周长．
15．如图，已知等腰△ABC，BD和CE分别是∠B和∠C的平分线，求证：
BD=CE．
16．如图，已知△ABC中，AB=AC，延长BA至点D，点E在边AC上，AD=AE，延长DE交BC于点F，求证：
DF⊥BC．
17．如图，以△ABC的边AB和AC向外作等边三角形△ABD和等边三角形△ACE，连结CD和BE．试问：
CD与BE所夹的锐角等于多少度？
请证明你的结论．
18．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部A1时，请你探究∠A1，∠1，∠2之间的关系．
知识点三：
反例与证明
归纳：
判断命题的真假；运用反例证明假命题；反例必须具备命题的条件,却不具备命题的结论,从而说明命题是错误的；说明一个命题是假命题,通常只用找出反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子.
针对练习
1．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”为假命题的反例是（）
A．3B．4C．5D．6
2．一个三角形中的内角小于90°的角至少有（）
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（）
A．120°，60°B．95．1°，104．9°C．30°，60°D．90°，90°
4．用反例来证明下列命题是假命题．
（1）若xy=0，则x，y同时为零．
（2）两个负数的差一定是负数．
（3）两个锐角的和一定大于直角．（4）任何有理数都有倒数．
5．可以用来证明命题“两个无理数的和仍是无理数”为假命题的反例是________．
6．请用反证证明下列命题是假命题．
（1）任何两个实数的平方和大于零．
（2）A，B，C是同一直线上的三点，则AB+BC=AC．
7．判断下列命题的真假，并给出证明．
（1）正比例函数的函数值随着自变量的增大而增大．
（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
（3）一个角的补角大于这个角．
（4）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
（5）如果n是整数，那么n2+3n+2是偶数．
8．判断命题“若∠1=∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角”的真假，画出图形，并给出证明．
9．判断命题“a，b，c是三条线段，若a+b>c，则a，b，c必能组成三角形”的真假，并给出证明．
10．已知x和y是实数，举例说明下列说法是错误的．
（1）│x+y│=│x│+│y│;
（2）若x≤y，则x2≤y2．
11．命题“有两边相等的两个直角三角形全等”是真命题还是假命题？
请给出证明．
◆综合提高
12．当n是正整数时，n（n+1）+1一定是（）
A．奇数B．偶数C．素数D．合数
13．用反例证明“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题．
14．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：
“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：
“乙说的不是实话．”丁说：
“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？
谁闯了祸？
知识点四：
反证法
概念：
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。
这种证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：
提出假设；推理论证；得出矛盾；结论成立
常用互为否定的表用方式：
是——不是存在——不存在平行——不平行
垂直——不垂直等于——不等于都是——不都是大于——不大于
小于——不小于至少有一个——一个也没有至少有三个——至多有两个
至少有三个——至多有两个至多有一个---至少有两个至少有一个---一个也没有
宜用反证法证明的题型：
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
用反证法证题时,应注意的事项:
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
针对练习：
1．“aA．a≠bB．a>bC．a=bD．a=b或a>b
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）
A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于cC．a⊥bD．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．
5．请说出下列结论的反面:
（1）d是正数
（2）a≥0（3）a<5
6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：
AB，CD只有一个交点．
证明：
假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
经常光顾□偶尔会去□不会去□7．完成下列证明．
（四）大学生对手工艺制品消费的要求如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：
假设结论不成立，则∠B是______或______．
可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
据统计，上海国民经济持续快速增长。
03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。
第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．
图1-5购物是对消费环境的要求分布综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
8．如图，已知AB∥CD，求证：
∠B+∠D+∠E=360°．
在我们学校大约有4000多名学生，其中女生约占90%以上。
按每十人一件饰品计算，大概需要360多件。
这对于开设饰品市场是很有利的。
女生成为消费人群的主体。
◆综合提高
10元以下□10～50元□50～100元□100元以上□9．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
一、消费者分析10．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设_______________．
众上所述，我们认为：
我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。
在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。
11．用反证法证明：
两直线平行，同旁内角互补．
调研要解决的问题：
12．用反证法证明：
是一个无理数．（说明：
任何一个有理数均可表示成
的形式，且a，b互质）
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