高中数学数列专题练习(精编版).doc
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高中数学数列专题练习(精编版)
1.已知数列是等比数列,且
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:
;
(3)设,求数列的前100项和.
2.数列{an}中,,,且满足常数
(1)求常数和数列的通项公式;
(2)设,
(3),
3.已知数列,求
4.已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且
.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)求数列的前项和.
5.某种汽车购车费用10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,…,各年的维修费平均数组成等差数列,问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年时,年平均费用最少)?
6.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
7.在等比数列{an}(n∈N*)中,已知a1>1,q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn;
(2)若数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与an的大小.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,
点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn。
9.已知数列的前n项和为且,数列满足且.
(1)求的通项公式;
(2)求证:
数列为等比数列;
(3)求前n项和的最小值.
10.已知等差数列的前9项和为153.
(1)求;
(2)若,从数列中,依次取出第二项、第四项、第八项,……,第项,按原来的顺序组成一个新的数列,求数列的前n项和.
11.已知曲线:
(其中为自然对数的底数)在点处的切线与轴交于点,过点作轴的垂线交曲线于点,曲线在点处的切线与轴交于点,过点作轴的垂线交曲线于点,……,依次下去得到一系列点、、……、,设点的坐标为().
(Ⅰ)分别求与的表达式;
(Ⅱ)求.
12.在数列
(1)求证:
数列是等差数列;
(2)求数列的前n项和;
13.在等差数列中,公差,且,
(1)求的值.
(2)当时,在数列中是否存在一项(正整数),使得,,成等比数列,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
(3)若自然数(为正整数)满足<<<<<,使得成等比数列,当时,用表示
14.已知二次函数满足条件:
①;②的最小值为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设数列的前项积为,且,求数列的通项公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若是与的等差中项,试问数列中第几项的
值最小?
求出这个最小值.
15.已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(nN+),
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
(Ⅱ)若x1=4,记an=lg,证明数列{}成等比数列,并求数列{}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
数列专题练习参考答案
1.解:
(1)设等比数列的公比为.
则由等比数列的通项公式得,
又
数列的通项公式是.
数列的前100项和是
2.解:
(1)
(3)
4.解:
证法1:
∵是关于的方程N的两根,
∴
由,得,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
证法2:
∵是关于的方程N的两根,
∴
∵,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:
由
(1)得,即.
∴
.
∴
.
6.解:
(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,…
第n年投入为800×(1-)n-1万元,所以,n年内的总投入为
an=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1=800×(1-)k-1
=4000×[1-()n]
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+),…,第n年旅游业收入400×(1+)n-1万元.所以,n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k-1=400×()k-1.
=1600×[()n-1]
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn-an>0,即:
1600×[()n-1]-4000×[1-()n]>0,令x=()n,
代入上式得:
5x2-7x+2>0.解此不等式,得x<,或x>1(舍去).即()n<,
由此得n≥5.
∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.
7.
8.解:
(1)∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2
a1+a2=S2=2a2-2,解得a2=4 ···3分
(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,
又Sn—Sn-1=an,
∴an=2an-2an-1,
∵an≠0,
∴,即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2n
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0,
∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,∴bn=2n-1, ···8分
(3)∵cn=(2n-1)2n
∴Tn=a1b1+a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n,
∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
因此:
-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1,
即:
-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1,
∴Tn=(2n-3)2n+1+6 ··14分
9.解:
(1)由得,……2分
∴……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;
∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由
(2)得,∴
=,∴是递增数列………11分
当n=1时,<0;当n=2时,<0;当n=3时,<0;当n=4时,>0,所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且…………………………13分
10.解:
(1)………5分
(2)设数列的公差为d,则
………9分
…12分
11.解:
(Ⅰ)∵,
∴曲线:
在点处的切线方程为,即.
此切线与轴的交点的坐标为,
∴点的坐标为.……2分
∵点的坐标为(),
∴曲线:
在点处的切线方程为,……4分
令,得点的横坐标为.
∴数列是以0为首项,为公差的等差数列.
∴,.()……8分
(Ⅱ)∴
……14分
12.解:
(1)由,可得
所以是首项为0,公差为1的等差数列.
(2)解:
因为即
设……①
……②
当时,①②得
13.解:
(1)在等差数列中,公差,且,
则……………………3分
(2)在等差数列中,公差,且,
则
又则………7分
(3)在等差数列中,公差,且,
则
又因为公比首项,
又因为…………12分
14.解:
(1)由题知:
解得,故.………2分
(2),
又满足上式.所以……………7分
(3)若是与的等差中项,则,
从而,得.
因为是的减函数,所以
当,即时,随的增大而减小,此时最小值为;
当,即时,随的增大而增大,此时最小值为.
又,所以,
即数列中最小,且.…………12分
15.解:
(Ⅰ)由题可得.
所以曲线在点处的切线方程是:
.
即.
令,得.
即.
显然,∴.
(Ⅱ)由,知,同理.
故.从而,即.所以,数列成等比数列.故.即.
从而所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
∴∴
当时,显然.当时,
∴.
综上,.
14