微观经济学计算题.docx
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微观经济学计算题
第一章
1.已知某一时期内商品的需求函数为Qd=50-5P，供给函数为Qs=-10+5P。
（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。
（2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。
求出相应的均衡价格Pe和均衡量Qe，并作出几何图形。
（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5P。
求出相应的均衡价格Pe和均衡量Qe，并作出几何图形。
解：
（1）根据均衡价格模型
（2）（3）
Qd＝50-5PQs＝-10+5PQd＝50-5P
Qs＝-10+5PQd＝60-5PQs＝-5+5P
Qd＝QsQd＝QsQd＝Qs
解之得：
Pe＝6，Qe＝20解之得：
Pe＝7，Qe＝25解之得：
Pe＝5.5，Qe＝22.5
2.假定下表是供给函数Qs=-3+2P在一定价格范围内的供给表：
某商品的供给表
价格（元）
2
3
4
5
6
供给量
1
3
5
7
9
（1）求出价格3元和5元之间的供给的价格弧弹性。
（2）根据给出的供给函数，求P=4元时的供给的价格点弹性。
解：
（1）Es弧＝（ΔQ/ΔP）·（P1+P2/Q1+Q2）
＝（7-3）/（5-3）·（3+5/3+7）＝（4/2）·（8/10）＝8/5
（2）Es点＝（dQ/dP）·（P/Q）＝2·（4/5）＝8/5
3.设需求函数为Q=M/Pn，式中M为收入，P为价格，n为常数，求需求的收入弹性和价格弹性。
解:
由Q=M/Pn，得EM=dQ/dM·M/Q=1/Pn·M/（M/Pn）=1
Ep=dQ/dp·P/Q=M·（-n）·1/Pn+1·P/M=-n
4.在英国，对新汽车需求的价格弹性Ed=-1.2，需求的收入弹性Ex=3.0，计算：
（a）其他条件不变，价格提高3%对需求的影响；
（b）其他条件不变，收入增加2%，对需求的影响；
（c）假设价格提高8%，收入增加10%，1980年新汽车销售量为800万辆，利用有关弹性系数的数据估计1981年新汽车的销售量。
解：
由题设，Ed=1.2，Ey=3.0
（a）由于Ed=（ΔQ/Q）/（ΔP/P）＝Qd/p，故Qd=Ed·P＝-1.2×3％＝-3.6％，即价格提高3％将导致需求减少3.6％。
（b）由于Ey=（ΔQ/Q）/（ΔY/Y）＝QY/Y，故QY=EY·Y＝3.0×2％＝6.0％，即价格提高2％将导致需求减少6.0％。
（c）由P＝8％，Y＝10％及Q＝800，得
Q′＝（Qd+Qy+1）·Q＝（Ed·p+Ey·Y+1）·Q
＝（-1.2×8％+3.0×10％+1）×800
＝963.2（万辆）
5.设汽油的需求价格弹性为-0.15，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10%?
解：
由题设，Ed＝-0.15，P＝1.20，假设汽油价格上涨ΔP才能使其消费量减少10％，则由点价格弹性公式
Ed＝-0.15＝（ΔQ/Q）/（ΔP/P）＝-10%/（ΔP/1.20）＝（-1/10）/（ΔP/1.20）
得ΔP＝（1/10）×1.20÷0.15＝8/10＝0.8（美元）
第二章
1.已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？
解：
设肯德基为x，衬衫为y，则，MRSxy=Px/Py=20/80=1/4
2.假设某消费者的均衡如图所示。
其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点已知商品1的价格P1=2元。
（1）求消费者的收入X1
（2）求商品2的价格P2AU
（3）写出预算线方程E
（4）求预算线的斜率
（5）求E点的MRS12的值。
OBX2
解：
（1）根据m=P1X1+P2X2，令X2=0，则I=P1·X1=2元·30=60元
（2）同理令X1=0，则I=P2·X2，所以P2=I/X2=60元/20=3元
（3）60=2X1+32X
（4）kAB=MRS1，2＝-P1/P2=-2/3
（5）MRS1，2（E）=P1/P2=2/3
3.已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1=20
元和P2=30元，该消费者的效用函数为U=3X1X22，该消费者每年购买这两种商品的数量各应是多少？
每年从中获得总效用是多少？
解：
根据预算方程和均衡方程，得以下联立方程：
540=20X1+30X2
3X22/20=6X1X2/30（其中MU1=dU/dX1=3X22，MU2=dU/dX2=6X1X2）
解之得，X1=9，X2=12
U=3X1X22=3888
4.已知效用函数为U=㏒aX+㏒aY，预算约束为：
PXX+PYY=M。
求：
①消费者均衡条件
②X与Y的需求函数
③X与Y的需求的点价格弹性
解：
（1）由U=㏒aX+㏒aY，MUX=（1/X）lna；MUy=（1/y）lna；
均衡条件为MUx/Px=MUy/Py，即，（1/X）lna/Px=（1/y）lna/PY，XPx=YPy
（2）由PxX+PyY=M；XPx=YPy，得X与Y的需求函数分别为：
X=M/2Px；Y=M/2Py
（3）Edx=dx/dPx·Px/x=-M/2Px2·P/M/2Px=-1同理，Edy=-1
第三章
（1）
1.已知某企业的生产函数Q＝L2/3K1/3，劳动的价格W＝2，资本的价格r＝1。
求：
（1）当成本C＝3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的值。
（2）当产量Q＝800时，企业实现最少成本时的L、K和C的值。
解：
（1）MPL＝∂Q/∂L＝（2/3）L-1/3K1/3 MPk＝∂Q/∂K＝（1/3）L2/3K-2/3
2L＋K＝3000
MPL/2＝MPk/1
2L＋K＝3000
（2/3）L-1/3K1/3/2=（1/3）L2/3K-2/3/1
2L＋K＝3000
L＝K
∴L＝1000＝K
Q＝10002/3·10001/3＝1000
（2）800＝L2/3K1/3L＝K
L＝800K＝800C＝2L＋K＝3×800＝2400
2.已知生产函数Q＝-L3＋24L2＋240L，求：
在生产的三个阶段上，L的投入量分别应为多少？
解：
在第Ⅰ阶段，APL应达到极大值，即APL′＝0
APL＝（Q/L）＝-L2＋24L＋240 APL′＝-2L＋24＝0
∴L＝12检验当L＜12时，APL是上升的。
在第Ⅱ阶段，MPL应该等于零MPL＝（dQ/dL）＝-3L2＋48L＋240
令MPL＝0即-3L2＋48L＋240＝0
解得L＝20当L＞8时，（dMPL/dL）＝-6L＋48＜0
所以，MPL对于所有的L＞20均小于零
因此，第Ⅰ阶段0＜L＜12；第Ⅱ阶段12＜L＜20；第Ⅲ阶段L＞20。
3.已知生产函数Q＝KL-0.5L2-0.32K2，若K＝10
求：
（1）劳动的平均产量函数和边际产量函数
（2）分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时，劳动的投入量。
（3）证明当APL达到极大值时，APL＝MPL。
解：
根据已知条件Q＝10L-0.5L2-32
（1）APL＝（Q/L）＝-0.5L+10-（32/L）；MPL＝（dQ/dL）＝10-L
（2）当MPL＝0时，即10-L＝0时，TP有极大值解得L＝10
令APL′＝0时，即-0.5+32／L2＝0
解得L＝8，AP达到极大MPL′＝-1，说明MPL处于递减阶段
（3）当APL达到极大值时，L＝8 APL＝-0.5＋8+10-32／8＝2
此时的MPL＝10-L＝10-8＝2所以，当MPL＝APL时，APL达到极大值
4.已知生产函数Q＝f（L,K）=2KL-0.5L2-0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10，求：
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。
（2）分别计算当总产量TPL、劳动平均产量APL和劳动边际产量MPL各自达到极大值时的厂商劳动的投入量。
（3）什么时候APL＝MPL？
它的值又是多少？
解：
（1）短期生产中K是不变的，短期关于劳动的总产量函数为：
TPL=f（L，K）=2·10L-0.5L2-0.5·102=20L-0.5L2-50
劳动的平均产量函数为：
APL=TPL/L=（20L-0.5L2-50）/L=20-0.5L-50/L
劳动的边际产量函数为：
MPL=20-L
（2）当MPL=0时，即20-L=0，L=20时，TPL达到极大值
当APL=MPL时，即20-0.5L-50/L=20-L，L=10时，APL达到极大值，
（MPL）＇=（20-L）＇=-1，说明LMP处于递减阶段
（3）APL=MPL→L=10
5.已知某厂商的生产函数为Q=f（K，L）=15KL/（2K+L）求解：
①劳动的边际产量MPL及劳动的平均产量APL函数。
②劳动的边际产量增减性。
解：
（1）MPL=dQ/dL=[15K（2K+L）-15KL·1]/（2K+L）2=30K2/（2K+L）2
APL=Q/L=15K/（2K+L）
（2）令K不变，由MPL=30K2/（2K+L）2，得，
MPL′=[-30K2×2（2K+L）]/（2K+L）4＜0，即MPL函数为减函数。
第三章
（2）
1.假定某企业的短期成本函数是TC（总成）＝Q3-10Q2+17Q+66，求：
（1）指出该成本函数中的可变成本部分和固定成本部分；
（2）写出下列函数：
AC、AVC、AFC、MC。
解：
（1）已知TC＝Q3-10Q2+17Q+66VC（可变成本）＝Q3-10Q2+17QFC（固定成本）＝66
（2）AC（平均成本）＝TC/Q＝Q2-10Q+17+（66/Q）
AVC（平均可变）＝（TVC/Q）＝Q2-10Q+17
AFC（平均固定）＝（TFC/Q）＝（66/Q）
MC（边际成本）＝TC′＝TVC′＝3Q2-20Q+17
2.已知某企业的短期总成本函数是STC＝0.04Q3-0.8Q2+10Q+5，求最小的平均可变成本值。
解：
因为STC＝0.04Q3-0.8Q2+10Q+5所以TVC＝0.04Q3-0.8Q2+10Q
AVC＝（TVC/Q）＝0.04Q2-0.8Q+10
AVC有最小值时，AVC′＝0即0.08Q-0.8＝0，Q＝10
把Q＝10代入AVC＝0.04Q2-0.8Q+10Q＝0.04×100-0.8×10+10＝6
3．假设某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100，且生产10单位产量时的总成本为1000。
（1）固定成本的值。
（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解：
（1）根据边际成本函数，对其进行积分，可得总成本函数为TC=Q3-15Q2+100Q+C（常数）
又知道当Q=10时，TC=1000，代入上式可求得C=500
即总成本函数为TC=Q3-15Q2+100Q+500固定成本是不随产量而变化的部分，因此固定成本为500。
（2）可变成本是随产量变化的部分，因此，总可变成本函数TVC=Q3-15Q2+100Q
平均成本函数AC=TC/Q=Q2-15Q+100+500/Q
平均可变成本函数AVC=TVC/Q=Q2-15Q+100
4.如果某企业仅生产一种产品，并且唯一可变要素是劳动，也有固定成本，其短期生产函数为Q=-0.1L3+3L2+8L，其中，Q是每月的产量，单位为吨，L是雇佣工人数，问：
①要使劳动的平均产量达到最大，该企业需要雇佣多少工人？
②要使劳动边际产量达到最大，其应该雇佣多少工人？
③在其平均可变成本最小时，生产多少产量？
解：
（1）APL=Q/L=-0.1L2+3L+8，MPL=-0.3L2+6L+8，
当APL=MPL时，APL最大。
则由-0.1L2+3L+8=-0.3L2+6L+8，得L=15
（2）当MPL′=0时，且MPL〞=-0.6＜0，MPL最大。
则由-0.6L+6=0，得L=10
（3）当APL最大时，AVC最小。
将L=15代入Q，得-0.1×153+3×152+8×15=457.5
5.若某企业短期总成本函数为STC=1200+240q-4q2+（1/3）q3.
问：
①当SMC达到最小值时，它的产量为多少？
②当AVC 达到最小值时，它的产量是多少？
解：
（1）当MC′=0，且MC〞>0时，NC有最小值。
MC=240-8q+q2,MC′=-8+2q=0,得q=4
（2）当MC=AVC时，AVC最小。
即240-8q+q2=240-4q+（1/3）q2得q=6
第四章
1.完全竞争厂商的短期成本函数为STC=O.1q3-2q2+15q+lO，试求厂商的短期供给函数。
解：
由STC=O.1q3-2q2+15q+lO，得:
MC=dSTC/dq=0.3q2-4q+15；AVC=VC/q=0.1q2-2q+15
当MC=AVC时，厂商开始提供产品，即：
0.3q2-4q+15=0.1q2-2q+15，得：
q=10，
即产量在10以上时，MC曲线为短期供给曲线。
故，P=0.3q2-4q+15（q≥10）为厂商短期供给函数。
2.某成本不变的完全竞争行业的代表性厂商的长期总成本函数为LTC=Q3-60Q2+1500Q，产品价格P=975美元，市场需求函数为P=9600-2Q。
试求：
（1）利润极大时的产量、平均成本和利润。
（2）该行业长期均衡时的价格和厂商的产量。
（3）用图形表示上述
（1）和
（2）。
（4）若市场需求曲线是P=9600-2Q，试问长期均衡中留存于该行业的厂商人数是多少？
解：
（1）LMC=dLTC/dQ=3Q2-120Q+1500当LMC=P=MR时，利润极大。
故3Q2-120Q+1500=975，得Q1=5（舍）；Q2=35
LAC=LTC/Q=Q2-60Q+1500=352+60×35+1500=625
π=TR-TC=P·Q-AC·Q=975×35-625×35=12250
（2）行业长期均衡时，LAC最小，当LAC′=0，且LAC〞＞0时，有最小值。
即，（Q2-60Q+1500）′=2Q-60=0，得，Q=30，LAC〞=2＞0
当Q=30时，P=LACmin=302-60×30+1500=600
（3）如图所示：
（4）若市场需求曲线是P=9600-2Q，又知长期均衡价格P=600，
则行业产量Q=（9600-P）/2=（9600-600）/2=4500
厂商人数N=行业产量/厂商产量=4500/30=150家
3.已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC＝0.1Q3—2Q2+15Q+10。
试求：
（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润；
（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产；
（3）厂商的短期供给函数。
解:
（1）P=MR=55
短期均衡时SMC=0.3Q2-4Q+15=MR=550.3Q2-4Q-40=0
∴Q=20或Q=-20/3 （舍去）
利润=PQ-STC=55×20-（0.1×8000-2×400+15×20+10）=790
（2）厂商停产时，P=AVC最低点。
AVC=SVC/Q=（0.1Q3—2Q2+15Q）/Q=0.1Q2-2Q+15AVC
最低点时，AVC′=0.2Q-2=0∴Q=10此时AVC=P=0.1×100-2×10+15=5
（3）短期供给函数为P=MC=0.3Q2-4Q+15（取P＞5一段）
4.已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC=Q3-12Q2+40Q。
试求：
（1）当市场商品价格是P=100，厂商实现MR=LMC时的产量，平均成本和利润
（2）该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量；
（3）市场的需求函数为Q=660-15P时，行业长期均衡时的厂商数量。
解:
（1）LTC′=LMC=3Q2-24Q+40=MR=P=100
此时，3Q2-24Q+60=0，∴Q=10或Q=-2（舍去）；LAC=Q2-12Q+40=20；利润=（P-LAC）Q=800
（2）LAC最低点=PLAC′=2Q-12=0，∴Q=6 LAC最低点=4
即该行业长期均衡时的价格为4，单个厂商的产量为6
（3）成本不变行业长期均衡时价格是市场均衡价格，所以市场需求为Q=660-15×4=600,则厂商数量为600/6=100
5.已知完全竞争市场上单个厂商的长期成本函数为LTC=Q3-20Q2+200Q,市场的产品价格为P=600。
求：
（1）该厂商实现利润最大化时的产量、平均成本和利润各是多少？
（2）该行业是否处于长期均衡，为什么？
（3）该行业处于长期均衡时每个厂商的产量、平均成本和利润各是多少？
（4）判断
（1）中的厂商是处于规模经济阶段，还是处于规模不经济阶段？
解：
（1）单个厂商总收益TR=PQ=600Q,边际收益MR=TR’（Q）=600
单个厂商边际成本MC=3Q2-40Q+200
实现利润最大化的条件为MR=MC,即600=3Q2-40Q+200，解得Q=20或Q=-20/3（舍去）
此时对应的平均成本LAC=LTC/Q=Q2-20Q+200=20×20-20×20+200=200
利润=TR-TC=600×20-（203-20×202+200×20）=8000
（2）完全竞争行业处于长期均衡时利润为0，现在还有利润存在，因此没有实现长期均衡。
（3）行业处于长期均衡时价格为长期平均成本的最小值。
LAC=LTC/Q=Q2-20Q+200，
LAC对Q求导为0时，LAC出现极值，即LAC’（Q）=2Q-20=0，Q=10时候实现长期均衡，
此时每个厂商的产量为10，平均成本LAC=102-20×10+200=100
利润=（P-LAC）*Q=（100-100）*10=0
（4）
（1）中厂商的产量为20，高于长期均衡时的产量，因此，厂商处于规模不经济状态。
第五章
（1）
1.假定一个垄断者的产品需求曲线为P=10-3Q，成本函数为TC=Q2+2Q，求垄断企业利润最大时的产量、价格和利润。
解：
TR=P·Q=10Q-3Q2，则MR=10-6Q,由TC=Q2+2Q，得MC=2Q+2
当MR=MC时，垄断企业利润最大，即10-6Q=2Q+2，得Q=1P=10-3×1=7；
π=TR-TC=7×1-12-2×1=4
2.已知垄断者成本函数为TC=6Q+0.05Q2，产品需求函数为Q=360-20P，
求：
（1）利润最大的销售价格、产量和利润。
（2）如果政府试图对该垄断企业采取规定产量措施使其达到完全竞争行业所能达到的产量水平。
求解这个产量水平和此时的价格，以及垄断者的利润。
（3）如果政府试图对垄断企业采取限价措施使其只能获得生产经营的正常利润。
求解这个限价水平以及垄断企业的产量。
解：
（1）利润最大时，MR=MC。
由Q=360-20P，得P=18-0.05Q，
则TR=18Q-0.05Q2，MR=18-0.1Q 由TC=6Q+0.05Q2，得MC=6+0.1Q，18-0.1Q=6+0.1Q，得Q=60，P=15，π=360
（2）政府对垄断企业限产，使其达到完全竞争行业所能达到的产量，则需MC=P，
即6+0.1Q=18-0.05Q，得Q=80，P=14，π=320
（3）政府限价，当LAC=P时，垄断企业只能得正常利润。
即6+0.05Q=18-0.05Q，得Q=120，P=12
3.假设某垄断者的一家工厂所生产的产品在一个分割的市场出售．产品的成本函数和两个市场的需求函数分别为TC=Q2+10Q，Q1=32-0.4Pl，Q2=18-0.1P2试问：
（1）若两个市场能实行差别价格，求解利润极大时两个市场的售价、销售量和利润；并比较两个市场的价格与需求弹性之间的关系。
（2）计算没有市场分割时垄断者的最大利润的产量、价格和利润；并与
（1）比较。
解：
（1）实行差别价格的两个城市实现利润极大化的条件是MR1=MR2=MR=MC。
由Q1=32-0.4Pl，得Pl=80-2.5Q1，则MR1=80-5Q1；
由Q2=18-0.1P2，得P2=180-10Q2，则MR2=180-20Q2；
由TC=Q2+10Q，得MC=2Q+10。
从MR1=MC，得80-5Q1=2Q+10，所以Q1=14-0.4Q。
从MR2=MC，得180-10Q2=2Q+10，所以Q2=8.5-0.1Q。
因为Q=Q1+Q2，即Q=14-0.4Q+8.5-0.1Q，所以Q=15
把Q=15代入Q1=14-0.4Q中，得Q1=8，Q2=15-8=7
把Q1=8代入Pl=80-2.5Q1中，得Pl=60，同理P2=110
π=TR1+TR2-TC=60×8+110×7-152-10×15=875
市场1价格低，需求弹性小，市场2价格高，需求弹性大。
（2）无市场分割时，价格相同，即P1=P2=P
由Q1=32-0.4Pl，Q2=18-0.1P2，得Q=Q1+Q2=32-0.4Pl+18-0.1P2=50-0.5P，
则P=100-2Q，MR=100-4Q。
当MR=MC时，利润极大。
则，100-4Q=2Q+10，得Q=15，代入P=100-2Q，得P=70，
π=TR-TC=675与有市场分割相比较，产量相等，价格低，利润少。
4.一垄断企业生产某产品的总成本函数为：
TC=1/3Q3-30Q2+1000Q，产品在实行差别价格的两个市场上出售。
第一个市场的需求函数为P1=1100-13Q1，在利润极大时产量为48；第二个市场需求曲线上，当价格为均衡价格时的弹性为-3。
试问该企业的纯利润为多少？
解：
MC=Q2-60Q+1000，当Q=48时，MC=424，从市场1的需求曲线导出，MR1=1100-26Q1=424，
得Q1=26，P1=762，Q2=Q-Q1=48-26=22，由ED=-3，在实行差别价格时，MR2=MC=424
由MR2=P2（1-1/ED），即424=P2（1-1/3），得P2=636
TR=TR1+TR2=26×762+22×636=33804，TC=483/3-30×482+1000=15744
故，π=TR-TC=33804-15744=18060
第五章
（2）
1.假设某垄断竞争厂商的产品需求函数为P=9400-4Q，成本函数为TC=4000+3000Q，求该厂商均衡时的产量、价格和利润。
解：
根据利润最大化原则MR=MC，MR=9400-8Q，MC=3000，得Q=800，P=6200，π=TR-TC=2556000
2.假设有两个寡头厂商行为遵循古诺模型，其成本函数分别为：
TCl=O.1Q21+20Q1+10000TC2=O.4Q22+32Q2+20000这两个厂商生产同一质量产品，其市场需求函数为：
Q=4000-10P根据古诺模型。
试求：
（1）厂商l和厂商2的反应函数；
（2）均衡价格和厂商1和厂商2的均衡产量；
（3）厂商1和厂商2的利润。
解：
（1）Q=Q1+Q2=4000-10P，则P=400-Q1/10-Q2/10，所以TR1=P·Q1=400Q1-0.1Q21-0.1Q1Q2，
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