《第2章+一元二次方程》单元测试.docx
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《第2章+一元二次方程》单元测试
《第2章一元二次方程》2009年单元测试
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一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、2x2=3（x﹣1）B、
﹣2=0
C、ax2+bx+c=0D、x2+2x=x3﹣5
2、已知x=3是关于x的方程
x2﹣2a+1=0的一个解，则2a的值是（ ）
A、11B、﹣6.5
C、13D、﹣13
3、关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（ ）
A、k＜0B、k＞0
C、k≥0D、k≤0
4、已知x，y是实数，若xy=0，则下列说法正确的是（ ）
A、x一定是0B、y一定是0
C、x=0或y=0D、x=0且y=0
5、若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（ ）
A、±
B、±1
C、±
D、±
6、若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A、1，0B、﹣1，0
C、1，﹣1D、无法确定
7、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（ ）
A、
B、
C、
D、
8、使分式
的值等于零的x是（ ）
A、6B、﹣1或6
C、﹣1D、﹣6
9、（2002•金华）方程x（x+1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A、﹣1，2B、1，﹣2
C、0，﹣1，2D、0，1，﹣2
10、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A、x（x+1）=1035B、x（x﹣1）=1035×2
C、x（x﹣1）=1035D、2x（x+1）=1035
二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）
11、把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：
_________ ，二次项为 _________ ，一次项系数为 _________ ，常数项为 _________ ．
12、写出一个根为5，一个根为2的一元二次方程 _________ ．
13、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2=5，应选用 _________ 法；
（2）2x2﹣3x﹣3=0，用选用 _________ 法．
14、方程x2﹣16=0的根是 _________ ；方程（x+1）（x﹣2）=0的根是 _________
15、已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k= _________ ，另一根为 _________ ．
16、x2+3x+ _________ =（x+ _________ ）2．
17、（2001•吉林）方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根为x1，x2，且x1＞x2，则x1﹣2x2的值等于 _________ ．
18、直角三角形的两直角边是3：
4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是 _________ cm2．
19、若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是 _________ 和 _________ ．
20、一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000m2？
列出方程 _________ ，能否求出x的值：
_________ （能或不能）．
三、解答题（共5小题，满分0分）
21、解方程
（1）x2=49
（2）3x2﹣7x=0
（3）（2x﹣1）2=9（直接开平方法）
（4）x2+3x﹣4=0（用配方法）
（5）（x+4）2=5（x+4）（因式分解法）
（6）（x+1）2=4x．
22、阅读下面的例题：
（2007甘肃白银3市）阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
方法一：
教材中方法
方法二：
∵ax2+bx+c=0，
∴4a2x2+4abx+4ac=0，
配方可得：
∴（2ax+b）2=b2﹣4ac．
当b2﹣4ac≥0时，
2ax+b=±
，
∴2ax=﹣b±
．
当b2﹣4ac≥0时，∴x=
．
请回答下列问题：
（1）两种方法有什么异同？
你认为哪个方法好？
（2）说说你有什么感想？
23、（2006•中山）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
24、（2007•咸宁）某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话：
邻队：
组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？
导游：
如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
邻队：
超过25人怎样优惠呢？
导游：
如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？
25、（2007•眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
（1）根据图中提供的信息，请你写出两条结论；
（2）根据图中数据，求2002年至2004年的“十•一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率．（精确到0.1）
答案与评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、2x2=3（x﹣1）B、
﹣2=0
C、ax2+bx+c=0D、x2+2x=x3﹣5
考点：
一元二次方程的定义。
分析：
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
解答：
解：
A、方程符合一元二次方程的定义，故正确；
B、方程不是整式方程，是分式方程，故错误；
C、方程中二次项系数可能为0，若a=0，则不是一元二次方程，故错误；
D、未知数的最高次项是3，故错误．
故选：
A．
点评：
本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．
2、已知x=3是关于x的方程
x2﹣2a+1=0的一个解，则2a的值是（ ）
A、11B、﹣6.5
C、13D、﹣13
考点：
一元二次方程的解。
专题：
计算题。
分析：
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得2a的值．
解答：
解：
把x=3代入原方程得：
×9﹣2a+1=0，
∴2a=13；
故选C．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
3、关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（ ）
A、k＜0B、k＞0
C、k≥0D、k≤0
考点：
根的判别式。
分析：
由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围．
解答：
解：
∵△=b2﹣4ac=0﹣4k≥0，
解上式得k≤0．
故选D．
点评：
当一元二次方程的判别式△≥0时，方程有实数根，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．
4、已知x，y是实数，若xy=0，则下列说法正确的是（ ）
A、x一定是0B、y一定是0
C、x=0或y=0D、x=0且y=0
考点：
一元二次方程的解。
专题：
计算题。
分析：
如果两个因式的乘积等于零，那么其中至少有一个因式为零．
解答：
解：
根据零乘以任何数都得零，
可得：
若xy=0，
则x=0或y=0；
故本题选C．
点评：
在两个因式的乘积为零时，只要有一个为零即可．
5、若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（ ）
A、±
B、±1
C、±
D、±
考点：
解一元二次方程-直接开平方法。
分析：
两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．
解答：
解：
根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得4x2﹣1=1，
移项得4x2=2，
系数化为1得x2=
；
开方得x=±
．
故选C．
点评：
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：
x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；
a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：
要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．
6、若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A、1，0B、﹣1，0
C、1，﹣1D、无法确定
考点：
一元二次方程的解。
分析：
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
解答：
解：
在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：
当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选C．
点评：
本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
7、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：
解一元二次方程-配方法。
专题：
配方法。
分析：
此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解答：
解：
∵x2+px+q=0
∴x2+px=﹣q
∴x2+px+
=﹣q+
∴（x+
）2=
故选B．
点评：
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数
8、使分式
的值等于零的x是（ ）
A、6B、﹣1或6
C、﹣1D、﹣6
考点：
解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件。
分析：
分式的值为0的条件是：
（1）分子=0；
（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答：
解：
∵
=0
∴x2﹣5x﹣6=0
即（x﹣6）（x+1）=0
∴x=6或﹣1
又x+1≠0
∴x=6
故选A．
点评：
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
9、（2002•金华）方程x（x+1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A、﹣1，2B、1，﹣2
C、0，﹣1，2D、0，1，﹣2
考点：
解一元二次方程-因式分解法。
专题：
因式分解。
分析：
此题用因式分解法比较简单，易求解．
解答：
解：
依题意得：
x=0或x+1=0或x﹣2=0，
∴x1=0，x2=﹣1，x3=2；
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：
直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
要根据方程的特点灵活选用合适的方法，所以本题运用的是因式分解法．
10、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A、x（x+1）=1035B、x（x﹣1）=1035×2
C、x（x﹣1）=1035D、2x（x+1）=1035
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：
其他问题。
分析：
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
解答：
解：
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选C．
点评：
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）
11、把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：
x2﹣6x+5=0 ，二次项为 x2 ，一次项系数为 ﹣6 ，常数项为 5 ．
考点：
一元二次方程的一般形式。
分析：
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：
解：
把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：
x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．
点评：
去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12、写出一个根为5，一个根为2的一元二次方程 x2﹣7x+10=0 ．
考点：
一元二次方程的解。
专题：
开放型。
分析：
由题意可知：
知道两根分别为2和5，则根据因式分解法可以确定一元二次方程，当然本题的答案不唯一．
解答：
解：
∵两根分别为2和5，
∴根据因式分解法可以确定一元二次方程为（x﹣2）（x﹣5）=0，
即x2﹣7x+10=0．
点评：
已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．
13、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2=5，应选用 直接开平方 法；
（2）2x2﹣3x﹣3=0，用选用 公式 法．
考点：
解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法。
专题：
计算题。
分析：
观察题目的形式，选择合适的解法．
（1）中，方程可化为x2=a，所以用直接开平方法；
（2）中，是一个一元二次方程，系数不特殊，所以用公式法．
解答：
解：
（1）方程4x2=5左边是完全平方的形式，故适宜用直接开平方法来解；
（2）方程2x2﹣3x﹣3=0是一元二次方程的一般形式，故适宜用公式法来解．
点评：
对一元二次方程的解答，应根据不同形式的方程，适当采取直接开平方法，公式法来解答，同学们在学习中应不断积累，达到灵活运用．
14、方程x2﹣16=0的根是 x1=﹣4，x2=4 ；方程（x+1）（x﹣2）=0的根是 x1=2，x2=﹣1．
考点：
解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：
计算题。
分析：
本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
解答：
解：
（1）原方程变形得（x﹣4）（x+4）=0，∴x1=﹣4，x2=4；
（2）∵（x+1）（x﹣2）=0，∴x1=2，x2=﹣1．
点评：
根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．
15、已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k= 4 ，另一根为 ﹣3 ．
考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解。
分析：
可设出方程的另一个根，根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之积是3，两根之和是﹣k，即可列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．
解答：
解：
设方程的另一根为x1，
又∵x2=﹣1
∴
解得x1=﹣3，k=4．
故本题答案为k=4，另一根为﹣3．
点评：
此题也可先将x=﹣1代入方程x2+kx+3=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．
16、x2+3x+
=（x+
）2．
考点：
配方法的应用。
专题：
配方法。
分析：
此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数一半的平方．
解答：
解：
x2+3x+
=（x+
）2．
点评：
解此题的关键是找到常数项，常数项是一次项系数一半的平方．
17、（2001•吉林）方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根为x1，x2，且x1＞x2，则x1﹣2x2的值等于 0 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法。
分析：
用因式分解法求得两根后，根据x1＞x2，求得x1﹣2x2的值．
解答：
解：
∵（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x﹣1=0或者x﹣2=0，
解得：
x1=2，x2=1，
∴x1﹣2x2=0．
故本题答案为：
0．
点评：
注意两数的积为0，那么这两个数至少有一个数为0．
18、直角三角形的两直角边是3：
4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是 96 cm2．
考点：
一元二次方程的应用；勾股定理的应用。
专题：
几何图形问题。
分析：
根据直角三角形的两直角边是3：
4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．
解答：
解：
设两直角边分别是3x、4x，
根据勾股定理得：
（3x）2+（4x）2=400，
解得：
x=4，（负值舍去）
则：
3x=12cm，4x=16cm．
故这个三角形的面积是
×12×16=96cm2．
点评：
此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．
19、若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是 ﹣3 和 ﹣4 ．
考点：
一元二次方程的应用。
专题：
数字问题。
分析：
设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，根据“积为12”可得x（﹣7﹣x）=12，解方程即可求解．
解答：
解：
设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，
根据题意得x（﹣7﹣x）=12，
解得x=﹣3或x=﹣4，
那么这两个数就应该是﹣3和﹣4．
点评：
可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
20、一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000m2？
列出方程 （x+100）（200﹣x）=20000 ，能否求出x的值：
能 （能或不能）．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：
几何图形问题。
分析：
如果把游泳池的长增加xm，那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（300﹣100﹣x），然后矩形根据面积公式可列出方程．
解答：
解：
由于游泳池的长增加xm，
那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（300﹣100﹣x），
即（x+100）（200﹣x）=20000，
解得x=100．
故填空答案：
（x+100）（200﹣x）=20000，能．
点评：
要会用x分别表示扩建前后长、宽和面积的变化．
三、解答题（共5小题，满分0分）
21、解方程
（1）x2=49
（2）3x2﹣7x=0
（3）（2x﹣1）2=9（直接开平方法）
（4）x2+3x﹣4=0（用配方法）
（5）（x+4）2=5（x+4）（因式分解法）
（6）（x+1）2=4x．
考点：
解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：
计算题。
分析：
要灵活运用解方程的方法．
（1）（3）（6）可用直接开平方法；
（2）（5）运用因式分解法；
（4）配方法．
解答：
解：
（1）x2=49，解得x=±7．
（2）3x2﹣7x=0，提取公因式x（3x﹣7）=0，解得x1=0，x2=
．
（3）（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，则x=2或，﹣1．
（4）x2+3x﹣4=0利用配方法得x2+3x+
=4+
，（x+
）2=
，x+
=±
，解得x=﹣4或1．
（5）方程（x+4）2=5（x+4）提取公因式得（x+4）（x+4﹣5）=0，解得x=﹣4或1．
（6）方程（x+1）2=4x可转化为x2+2x+1﹣4x=0，即（x﹣1）2=0，解得x=1．
点评：
（1）用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；
（2）用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键，“二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提；
（3）将多项式分解成两个因式的积，每个因式分别等于零，将方程降为两个一元一次方程为求解．
22、阅读下面的例题：
（2007甘肃白银3市）阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
方法一：
教材中方法
方法二：
∵ax2+bx+c=0，
∴4a2x2+4abx+4ac=0，
配方可得：
∴（2ax+b）2=b2﹣4ac．
当b2﹣4ac≥0时，
2ax+b=±
，
∴2ax=﹣b±
．
当b2﹣4ac≥0时，∴x=
．
请回答下列问题：
（1）两种方法有什么异同？
你认为哪个方法好？
（2）说说你有什么感想？
考点：
解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法。
专题：
阅读型。
分析：
本题主要给出解一元二次方程的公式法的推导过程．两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．但不同的是第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新！
所以第二种方法好．
解答：
解：
（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．
不同的是：
第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“±”，相除后为何只有分子上有“±”，不好理解；更重要地是易误认为
=2a．
第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二种方法好．
（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．
虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科．
说明：
其它感想，只要合理，参考本标准给分．
点评：
本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程．
23、（2006•中山）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
考点：
一元二次方程的应用。
专题：
几何图形问题。
分析：
（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为
=（5﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y=x2+（5﹣x）2=2（x﹣
）2+
，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
解答：
解：
（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2=17，
整理得：
x2﹣5x+4=0，
（x﹣4）（x﹣1）=0，
解方程得x1=1，x2=4，
1×4=4cm，20﹣4=16cm；
或4×4=16cm，20﹣16=4cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y=x2+（5﹣x）2=2（x﹣
）2+
，
∵y=12＞0，
∴当x=
时，y的最小值=12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（另解：
由
（1）可知x2
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