圆中的动点问题精编版.docx
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圆中的动点问题精编版
圆中的动态问题
【方法点拨】
圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分
类讨论
【典型例题】
题型一：
圆中的折叠问题
例题一（2012江西南昌12分）已知，纸片OO的半径为2,如图1，沿弦AB折叠操作.
（1）①折叠后的AB所在圆的圆心为0时，求0A的长度；
2如图2,当折叠后的AB经过圆心为0时，求AOB的长度；
3如图3,当弦AB=2时，求圆心0到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片O0沿弦CD折叠操作.
1如图4,当AB//CD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点0到弦AB.CD的距离之和为d,求d的值;
2
如图5,当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点,
试探究四边形0MPN的形状，并证明你的结论.
•••△AOB为等边三角形。
过点O作OE丄AB于点E,「.OE=OA?
sin60°=^3。
设O',O〃为APB和CPD所在圆的圆心，
•••点O与点O关于AB对称，点O〃于点O关于CD对称,
•••点M为的OO中点，点N为OO〃的中点。
••浙叠后的APB与CPD所在圆外切，
•连心线O'O〃必过切点P。
••浙叠后的APB与CPD所在圆与OO是等圆,
11
•OP=O〃P=2,•PM=OO〃=N,PN=OO'OM,
22
•四边形OMPN是平行四边形。
【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。
【分析】
（1）①折叠后的AB所在圆O与OO是等圆，可得OA的长度。
2如图2,过点O作OE丄AB交OO于点E,连接OA.OB.AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角
形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。
3如图3,连接OA.OB,过点O'作OE丄AB于点E,可得△AOB为等边三角形，根据三角函数的知识
可求折叠后求AOB所在圆的圆心O到弦AB的距离。
（2）①如图4,AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF丄AB交AEB于于点E，交CFD于点F，根
据垂径定理及折叠，可求点O到AB.CD的距离之和。
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②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。
变式一如图是一圆形纸片,
AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D,得到BDC.
（2）若AB=8,BD-2CD求BC的长.
1变式二如图，△ABC内接于OO,AD丄BC,0E丄BC,OE=2BC.
（1）求/BAC的度数；
（2）将厶ACD沿AC折叠为△ACF,将厶ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H;求证：
四边形AFHG是正方形;
（3）若BD=6,CD=4，求AD的长.
题型二：
圆中的旋转问题
例题二（2011湖南常德，25.10分）已知△ABC分别以AC和BC为直径作半圆Oi、O2,P是AB的中点。
（1）如图8,若厶ABC是等腰三角形，且AC=BC在AC、BC上分别取点E、F,使NAO1^^BO2F，则有结论①
•沪0店三FO2P.②四边形PO1CO2是菱形。
请给出结论②的证明；
（2）如图9,若
（1）中厶ABC是任意三角形，其它条件不变，则
（1）中的两个结论还成立吗？
若成立，请给出证明;
（3）如图10,若PC是O0,的切线，求证：
AB?
二BC23AC2
1
（1）TBC是002直径，则02是BC的中点又P是AB的中点.，二P02是厶ABC的中位线二P02=2AC
1
又AC是O01直径•••P02=01C=2AC
1
同理P01=02C=2BC
•/AC=BC•P02=01C=P01=02C•四边形P。
1。
。
2是菱形
（2）结论①△P01E^^P02F成立，结论②不成立
丄1
证明：
在
（1）中已证P02=2AC,又01E=2AC
•P02=01E同理可得P01=02F
•/P02>^ABC的中位线•P02//ACP02B=ZACB
同理/P01A=ZACBP02B=ZP01Av/A01E=ZB02F
A01E=/P02B/B02F
即/P01E=/F02P、E01P^AP02F;
（3）延长AC交O02于点D,连接BD.•/BC是002的直径，则/D=90°,又PC是O01的切线，则/ACP=90°,
•/ACP=/D
又/PAC=/BAD
•△APSABAD
又P是AB的中点
ACAP1
ADAB2
222
在Rt△ABD中,AB二ADBD
AB2=4AC2BD2=AC2BD23AC2
222
AB二BC3AC
评析：
要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的
平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSSSASASA或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换.
变式一阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。
圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫
作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆O0,0O的面积为0,正四边形ABCD的面积为S2，以圆心0为顶点作/M0N,使/MON=90°,将/M0N绕点0旋转，0M、0N分别与O0相交于点E、F,分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。
设0E、0F、EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S
（1）当0M经过点A时（如图①），贝US、Si、S2之间的关系为：
S=（用含Si、S2的代数式表示）
（2）当0M丄AB时（如图②），点G为垂足，则
（1）中的结论仍然成立吗？
请说明理由。
（3）当ZM0N旋转到任意位置时（如图③，）则
（1）中的结论仍然成立吗？
请说明理由.
【答案】解：
（1）72
4
（2）成立。
理由：
连0B，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。
过点0分别作ABBC的垂线交ABBC于点PQ,交圆于点X、Y,可证直角三角形0P全等于直角三角形
0QH可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积.
变式二（2012?
杭州）如图，AE切O0于点E,AT交O0于点M,N，线段0E交AT于点C,0B丄AT于点B,已
知ZEAT=30°AE=^3,MN=2V^•
（1）求/C0B的度数；
（2）求00的半径R;
（3）点F在O0上（匸丄是劣弧），且EF=5，把△0BC经过平移、
旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的
同一侧，这样的三角形共有多少个？
你能在其中找出另一个顶点在
O0上的三角形吗？
请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与厶0BC的周长之比.
考点：
切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与
性质。
专题：
计算题。
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分析：
（1）由AE与圆0相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又0B与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角
形的对应角相等可得出所求的角与/A相等，由/A的度数即可求出所求角的度数；
（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由0B垂直于MN,
由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及
MB的长，利用勾股定理表示出0B的长，在直角三角形OBC中，由表示出0B及cos30°的值，利用锐角三角
函数定义表示出0C,用0E-OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；
（3）把厶OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧，这样的
三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长E0与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角
EFD的周长，再由第二问求出的三
形，由/FDE为30°,利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比.
解答：
解：
（1）•••AE切OO于点E,
•••AE丄CE，又OB丄AT,
•••/AEC=/CBO=90°,
又/BCO=/ACE,
•△AECOBC，又/A=30°
•••/COB=/A=30°
（2）vAE=3T,ZA=30°
•••在Rt△AEC中，tanA=tan30丄：
’,
AE
即EC=AEtan30°3,
•/OB丄MN,•B为MN的中点，又MN=2R,•MB=MN=",
2
连接OM，在△MOB中，OM=R,MB=",
•0B=L=J二，
在厶COB中，/BOC=30°
■/cos/BOC=cos30°•BO=■OC,
0C22
OC==OB=-；丁二，
又OC+EC=OM=R,•R=—^「-.+3,
整理得：
R+18R-115=0，即（R+23）（R-5）=0,
解得：
R=-23（舍去）或R=5,
则R=5;
如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示:
延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示,
•/EF=5，直径ED=10，可得出/FDE=30°
•FD=5■:
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则C^EFD=5+10+5>15+5\
由
（2）可得CAcob=3+g'二
二&△EFD:
e△COB=（15+5逅）：
（3+丘）=5:
1.
点评：
此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及
旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
题型三：
圆中的动点
例题三（2012江苏南京10分）如图，A、B为OO上的两个定点，P是OO上的动点（P不与A、B重合），我们称/APB
为OO上关于A、B的滑动角。
（1）已知/APB是LO上关于点A、B的滑动角。
1若AB为OO的直径，则/APB=
2若OO半径为1,AB=/2，求/APB的度数
（2）已知O2为LO1外一点，以O2为圆心作一个圆与LO1相交于A、B两点，/APB为LO1上关于点A、B的滑动角，
直线FA、PB分别交LO2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索/APB与/MAN、/ANB
之间的数量关系。
【答案】解：
（1）①90°。
②如图，连接AB、OA、OB.
在厶AOB中，TOA=OB=1.AB=2,二OA2+OB2=AB2。
•••/AOB=90°。
1
当点F在优弧AB上时（如图1）,/APB=—/AOB=45°;
2
当点F在劣弧AB上时（如图2）,
1
/APB=—（360°—/AOB）=135°。
2
（2）根据点F在OO1上的位置分为以下四种情况.
第一种情况：
点F在OO2外，且点A在点F与点M之间，点B在点F与
点N之间，如图3,
•//MAN=/AFB+/ANB,
•••/AFB=/MAN-/ANB。
第二种情况：
点
F在OO2夕卜，且点A在点F与点M之间，点N在点F与点B
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之间，如图4,
•••/MAN=/APB+/ANP=/APB+（180°—/ANB）,
•••/APB=/MAN+/ANB—180°。
②根据勾股定理的逆定理可得/AOB=90°,再分点P在优弧AB上；点P在劣弧AB上两种情况讨论即可。
（2）根据点P在O。
1上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN、/ANB之间的数量关系。
如图12-1所示，在△ABC中，AB=AC=2,/A=90；,O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动,
点E,F的移动过程中，AOEF是否能成为/EOF=45的等腰三角形？
若能，请指出AOEF为等腰三角形时
当/EOF=45时，设BE二x,CF二y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围.
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（1）点E,F移动的过程中，AOEF能成为.EOF=45°的等腰三角形•此时点E,F的位置分别是:
①E是BA的中点，F与A重合.
②BE二CF=、..2.③E与A重合，F是AC的中点
（2）在厶OEB和厶FOC中，NEOB+NFOC=135°,£EOB+NOEB=135°,
BE=x,CF=y,OB=OC=2■2-2,y=—（1WxW2）.
2x
（3）EF与LO相切.•••△OEBFOC，二匹=..•.=2!
.即_B!
=B2.
COOFBOOFOEOF
又TNB=NEOF=45°,•••△BEOOEF.二NBEO=NOEF.•••点O到AB和EF的距离相等.TAB与LO相切，•••点O到EF的距离等于LO的半径.二EF与LIO相切.
变式二如图，在OO上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=2AB,点P在半圆弧AB上运动（不与AB两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.
（1）
如图1,求证：
△PCD^^ABC
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD^AABC?
请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3,当点P运动到CPLAB时，求/BCD的度数.
图］
【课后练习】
1、（2012?
湘潭）如图，在OO上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、
P图1图2
（1）如图1,求证：
△PCDABC;
（2）当点P运动到什么位置时，△PCDABC?
请在图2中画出△PCD并说明理由;
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（3）如图3,当点P运动到CP丄AB时，求/BCD的度数.
考点：
圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。
专题：
几何综合题。
分析：
（1）由AB是OO的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得/ACB=90°又由PD丄CD,可得/D=/ACB,
又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得/A=/P,根据有两角对应相等的三角形相似，
即可判定：
△PCDABC;
（2）由厶PCDABC，可知当PC=AB时，△PCD◎△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求
得；
（3）由/ACB=90°AC=AB，可求得/ABC的度数，然后利用相似，即可得/PCD的度数，又由垂径定理，
解答：
（1）证明：
TAB是OO的直径，•••/ACB=90°
•/PD丄CD，•/D=90°D=/ACB,
•••/A与/P是「对的圆周角，•/A=/P,「.APCDs^ABC；
（2）解：
当PC是OO的直径时，△PCD^AABC,理由：
•••AB,PC是OO的半径，
•AB=PC,
•/△PCDABC,
•••△PCD也厶ABC；
（3）解：
•••/ACB=90°AC=AB,
•••/ABC=30°,
•/△PCDABC,
•••/PCD=/ABC=30°°
TCP丄AB,AB是OO的直径，
•••J=.“,」，
•••/ACP=/ABC=30°°
•••/BCD=/AC-ZACP-ZPCD=90°-30°-30°=30°
点评：
此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性
质等知识•此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用.
2、如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3,0）和点E（0,4）,动点C从点M（5,0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动•设运动时间为t秒.
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
1
（2）以点C为圆心、—t个单位长度为半径的OC与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB.
2
1当OC与射线DE有公共点时，求t的取值范围;
2
当厶PAB为等腰三角形时，求t的值.
10
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3、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90oAB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为OO的直径，动点
P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?
（2）当t为何值时，PQ与OO相切?
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