新课标人教版高中数学必修1全套教案.docx
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新课标人教版高中数学必修1全套教案
新课标人教版高中数学必修1全套教案
高中数学教案必修全套人教A版
必修1教案｜全套
目录
第一章函数与集合的概念1
11集合2
com集合的含义与表示2
com集合间的基本关系13
com集合的基本运算21
12函数及其表示37
com函数的概念37
com函数的表示法49
13函数的基本性质73
com单调性与最大小值73
com奇偶性94
本章复习102
第二章基本初等函数Ⅰ114
21指数函数115
com指数与指数幂的运算115
第1课时指数与指数幂的运算1115
第2课时指数与指数幂的运算2123
第3课时指数与指数幂的运算3132
com指数函数及其性质141
第1课时指数函数及其性质1141
第2课时指数函数及其性质2150
第3课时指数函数及其性质3156
22对数函数167
com对数与对数运算167
第1课时对数与对数运算1167
第2课时指数与指数幂的运算2174
第3课时指数与指数幂的运算3182
23幂函数200
第三章函数的应用207
31函数与方程207
com方程的根与函数的零点207
第2课时方程的根与函数的零点214
com用二分法求方程的近似解221
32函数模型及其应用232
com几类不同增长的函数模型232
第2课时几类不同增长的函数模型240
com函数模型的应用举例247
第1课时函数模型的应用实例247
第2课时函数模型的应用举例252
第一章函数与集合的概念
本章教材分析
通过本章的学习使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象并能在自然语言图形语言集合语言之间进行转换体会用集合语言表达数学内容的简洁性准确性帮助学生学会用集合语言描述数学对象发展学生运用数学语言进行交流的能力通过本章的学习使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系同时还会用集合与对应的语言刻画函数为后续学习奠定基础函数是高中数学的核心概念本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习强调结合实际问题使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法从而发展学生对变量数学的认识培养学生的抽象概括能力增强学生应用数学的意识
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识通过列举丰富的实例强调从实例出发让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础再用集合与对应语言抽象出函数概念课本突出了集合和函数概念的背景教学这样比较符合学生的认识规律教学中要高度重视数学概念的背景教学课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会并注意运用Venn图表达集合的关系及运算用图象表示函数帮助学生借助直观图示认识抽象概念课本在例题习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究处理数学问题这一观点一直贯穿到以后的数学学习中在例题和习题的编排中渗透了分类讨论思想让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用这是学生在初中阶段所缺少的函数的表示是本章的主要内容之一课本重视采用不同的表示法列表法图象法分析法目的是丰富学生对函数的认识帮助理解抽象的函数概念在教学中既要充分发挥图象的直观作用又要适当地引导学生从代数的角度研究图象使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法课本将函数推广到了映射体现了由特殊到一般的思维规律有利于学生对函数概念学习的连续性
在教学中要坚持循序渐进逐步渗透数形结合分类讨论这方面的训练对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解而对定义域值域的繁难计算特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡要准确把握这方面的要求防止拔高教学重视函数与信息技术整合的要求通过电脑绘制简单函数动态图象使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用为了体现课本的选择性在练习题安排上加大了弹性教师应根据学生实际情况合理地取舍
本章教学时间约需13课时具体分配如下仅供参考
com集合的含义与表示约1课时com集合间的基本关系约1课时com集合的基本运算约2课时com函数的概念约2课时com函数的表示法约3课时com单调性与最大约2课时com奇偶性约1课时本章复习约1课时
11集合
com集合的含义与表示
整体设计
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础在高中数学中集合的初步知识与其他内容有着密切的联系是学习掌握和使用数学语言的基础课本从学生熟悉的集合自然数的集合有理数的集合等出发结合实例给出元素集合的含义课本注重体现逻辑思考的方法如抽象概括等
值得注意的问题由于本小节的新概念新符号较多建议教学时先引导学生阅读课本然后进行交流让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用在信息技术条件较好的学校可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识也可以由教师给出问题让学生读后回答问题再由教师给出评价这样做的目的是培养学生主动学习的习惯提高阅读与理解合作与交流的能力在处理集合问题时根据需要及时提示学生运用集合语言进行表述
三维目标
1通过实例了解集合的含义体会元素与集合的属于关系能选择集合不同的语言形式描述具体的问题提高语言转换和抽象概括能力树立用集合语言表示数学内容的意识
2了解集合元素的确定性互异性无序性掌握常用数集及其专用符号并能够用其解决有关问题提高学生分析问题和解决问题的能力培养学生的应用意识
重点难点
教学重点集合的基本概念与表示方法
教学难点选择恰当的方法表示一些简单的集合
课时安排
1课时
设计方案一
教学过程
导入新课
思路1军训前学校通知8月15日8点高一年级学生到操场集合进行军训试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生
在这里集合是我们常用的一个词语我们感兴趣的是问题中某些特定是高一而不是高二高三对象的总体而不是个别的对象为此我们将学习一个新的概念集合
思路2首先教师提出问题在初中我们已经接触过一些集合你能举出一些集合的例子吗引导学生回忆举例和互相交流自己举的例子与此同时教师对学生的活动给予评价接着教师指出那么集合的含义是什么呢这就是我们这一堂课所要学习的内容
推进新课
新知探究
提出问题
①请我们班的全体女生起立接下来问咱班的所有女生能不能构成一个集合啊
②下面请班上身高在175以上的男生起立他们能不能构成一个集合啊
③其实生活中有很多东西能构成集合比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等那么大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢请你给出集合的含义
④如果用A表示高一3班全体学生组成的集合用a表示高一3班的一位同学b是高一4班的一位同学那么ab与集合A分别有什么关系由此看见元素与集合之间有什么关系
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合
⑥世界上的高山能不能构成一个集合
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质
⑧由实数1231组成的集合有几个元素
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质
⑩由实数123组成的集合记为M由实数312组成的集合记为N这两个集合中的元素相同吗这说明集合中的元素具有什么性质由此类比实数相等你发现集合有什么结论
讨论结果
①能
②能
③我们把研究的对象统称为元素那么把一些元素组成的总体叫集合
④a是集合A的元素b不是集合A的元素学生得出元素与集合的关系有两种属于和不属于
⑤能是珠穆朗玛峰
⑥不能
⑦确定性给定的集合它的元素必须是明确的即任何一个元素要么在这个集合中要么不在这个集合中这就是集合的确定性
⑧3个
⑨互异性一个给定集合的元素是互不相同的即集合中的元素是不重复出现的这就是集合的互异性
⑩集合M和N相同这说明集合中的元素具有无序性即集合中的元素是没有顺序的可以发现如果两个集合中的元素完全相同那么这两个集合是相等的
提出问题
阅读课本P3中数学中一些常用的数集及其记法快速写出常见数集的记号
活动先让学生阅读课本教师指定学生展示结果学生写出常用数集的记号后教师强调通常情况下大写的英文字母NZQR不能再表示其他的集合这是专用集合表示符号类似于110119等专用电话号码一样以后我们会经常用到这些常见的数集要求熟练掌握
讨论结果
常见数集的专用符号
N非负整数集或自然数集全体非负整数的集合
N或N正整数集非负整数集N内排除0的集合
Z整数集全体整数的集合
Q有理数集全体有理数的集合
R实数集全体实数的集合
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的
②阅读课本中的相关内容并思考除字母表示法和自然语言之外还能用什么方法表示集合
③集合共有几种表示法
活动①学生回顾所学的集合并作出总结教师提示可以用字母或自然语言来表示
②教师可以举例帮助引导
例如24的所有正约数构成的集合把24的所有正约数写在大括号内即写出为1234681224的形式这种表示集合的方法是列举法注意大括号不能缺失有些集合所含元素个数较多元素又呈现出一定的规律在不至于发生误解的情况下亦可用列举法表示如从1到100的所有整数组成的集合123100自然数集N01234n区分a与aa表示一个集合该集合只有一个元素a表示这个集合的一个元素用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序相同的元素不能出现两次
又例如不等式x-32的解集这个集合中的元素有无数个不适合用列举法表示可以表示为x∈Rx-32或xx-32这种表示集合的方法是描述法
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法
讨论结果
①方法一字母表示法大写的英文字母表示集合例如常见的数集NQ所有的正方形组成的集合记为A等等
方法二自然语言用文字语言来描述出的集合例如所有的正方形组成的集合等等
②列举法把集合中的全部元素一一列举出来并用大括号括起来表示集合这种表示集合的方法叫做列举法
描述法在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值或变化范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法注在不致混淆的情况下也可以简写成列举法的形式只是去掉竖线和元素代表符号例如所有直角三角形的集合可以表示为xx是直角三角形也可以写成直角三角形
③表示一个集合共有四种方法字母表示法自然语言列举法描述法
应用示例
思路1
1下列各组对象不能组成集合的是
A大于6的所有整数B高中数学的所有难题
C被3除余2的所有整数D函数y图象上所有的点
活动学生先思考讨论集合元素的性质教师指导学生此类选择题要逐项判断判断一组对象能否构成集合关键是看是否满足集合元素的确定性
在选项ACD中的元素符合集合的确定性而选项B中难题没有标准不符合集合元素的确定性不能构成集合
答案B
变式训练
1下列条件能形成集合的是
A充分小的负数全体B爱好足球的人
C中国的富翁D某公司的全体员工
答案D
22007浙江宁波高三第一次十校联考理1
在数集2xx2-x中实数x的取值范围是
分析实数x的取值满足集合元素的互异性则2x≠x2-x解得x≠0且x≠3∴实数x的取值范围是xx0或0x3
答案xx0或0x3
点评本题主要考查集合的含义和元素的性质当所指的对象非常明确时就能构成集合若元素不明确没有判断的标准就不能构成集合
2用列举法表示下列集合
1小于10的所有自然数组成的集合
2方程x2x的所有实数根组成的集合
3由120以内的所有质数组成的集合
活动学生先思考或讨论列举法的形式展示解答过程当学生出现错误时教师及时加以纠正利用相关的知识先明确集合中的元素再把元素写入大括号内并用逗号隔开所给的集合均是用自然语言给出的
提示学生注意以下方面
1自然数中包含零
2解一元二次方程有公式法和分解因式法方程x2x的根是x0x1
3除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数120以内的所有质数是235711131719
解1设小于10的所有自然数组成的集合为A那么
A0123456789
2设方程x2x的所有实数根组成的集合为B那么
A01
3设由120以内的所有质数组成的集合为C那么
C235711131719
点评本题主要考查集合表示法中的列举法通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性以后我们尽量用集合来表示数学内容
如果一个集合是有限集并且元素的个数较少时通常选择列举法表示其特点是非常显明地表示出了集合中的元素是常用的表示法
列举法表示集合的步骤1用字母表示集合2明确集合中的元素3把集合中所有元素写在大括号内并写成A的形式
变式训练
用列举法表示下列集合
1所有绝对值等于8的数的集合A
2所有绝对值小于8的整数的集合B
答案1A-88
2B-7-6-5-4-3-2-101234567
3试分别用列举法和描述法表示下列集合
1方程x2-20的所有实数根组成的集合
2由大于10小于20的所有整数组成的集合
活动先让学生回顾列举法表示集合的步骤思考描述法的形式再找学生到黑板上书写当学生出现错误时教师指导学生书写过程用描述法表示集合时要用数学符号表示集合元素的特征大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10x20x∈Z重点引导用描述法表示集合
用描述法表示集合时用一个小写英文字母表示集合中的元素作为集合中元素的代表符号找到集合中元素的共同特征并把共同特征用数学符号来表达然后写在大括号内在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值或变化范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征
在1中利用条件中现有元素代表符号x集合中元素的共同特征就是满足方程x2-20
在2的条件中没有元素代表符号故要先设出用一个小写英文字母表示即可集合中元素的共同特征有两个一是大于10小于20用不等式表示二是整数用元素与集合的关系符号∈来表示
解1设方程x2-20的实根为x它满足条件x2-20因此用描述法表示为
Ax∈Rx2-20
方程x2-20的两个实数根为因此用列举法表示为
A
2设大于10小于20的整数为x它满足条件x∈Z且10x20因此用描述法表示为
Bx∈Z10x20
大于10小于20的整数有111213141516171819因此用列举法表示为
B111213141516171819
描述法表示集合的步骤1用字母分别表示集合和元素2用数学符号表达集合元素的共同特征3在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值或变化范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征并写成A的形式描述法适合表示有无数个元素的集合
注意当集合中的元素个数较少时通常用列举法表示否则用描述法表示
思路2
11A13判断元素35和集合A的关系并用符号表示
2所有素质好的人能否表示为集合
3A224表示是否准确
4A太平洋大西洋B大西洋太平洋是否表示同一集合
活动如果学生没有解题思路让学生思考以下知识
1元素与集合的关系及其符号表示
2集合元素的性质
3两个集合相同的定义
解1根据元素与集合的关系有两种属于∈和不属于知3属于集合A即3∈A5不属于集合A即5A
2由于素质好的人标准不可量化不符合集合元素的确定性故A不能表示为集合
3表示不准确不符合集合元素的互异性应表示为A24
4因其元素相同A与B表示同一集合
变式训练
1数集3xx2-2x中实数x满足什么条件
解集合元素的特征说明3xx2-2x中元素应满足
即也就是即满足x≠-103
2方程ax25xc0的解集是则a________c_______
分析方程ax25xc0的解集是那么是方程的两根
即有得那么a-6c-1
答案6-1
3集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x20的解构成其中k∈R若A中仅有一个元素求k的值
解由于A中元素是关于x的方程kx2-3x20k∈R的解
若k0则x知A中有一个元素符合题设
若k≠0则方程为一元二次方程
当Δ9-8k0即k时kx2-3x20有两相等的实数根此时A中有一个元素
综上所述k0或k
42006山东高考理1定义集合运算A⊙Bzzxyxyx∈Ay∈B设集合A01B23则集合A⊙B的所有元素之和为
A0B6C12D18
分析∵x∈A∴x0或x1
当x0y∈B时总有z0
当x1时
若x1y2时有z6当x1y3时有z12
综上所得集合A⊙B的所有元素之和为061218
答案D
注意①判断元素与此集合的关系时用列举法表示的集合只需观察这个元素是否在集合中即可用符号∈表示注意这两个符号的左边写元素右边写集合不能互换它们的位置否则没有意义
②如果有明确的标准来判断元素在集合中那么这些元素就能构成集合否则不能构成集合
③用列举法表示的集合直接观察它们的元素是否完全相同如果完全相同那么这两个集合就相等否则不相等
2用列举法表示下列集合
1小于5的正奇数组成的集合
2能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合
3方程x2-90的解组成的集合
415以内的质数
5x∈Zx∈Z
活动教师指导学生思考列举法的书写格式并讨论各个集合中的元素明确各个集合中的元素写在大括号内即可
提示学生注意
2中满足条件的数按从小到大排列时从第二个数起每个数比前一个数大3
4中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数
5中3-x是6的约数6的约数有±1±2±3±6
解1满足题设条件小于5的正奇数有13故用列举法表示为13
2能被3整除且大于4小于15的自然数有6912故用列举法表示为6912
3方程x2-90的解为-33故用列举法表示为-33
415以内的质数有23571113故该集合用列举法表示为23571113
5满足∈Z的x有3-x±1±2±3±6解之得x241506-39故用列举法表示为241506-39
变式训练
用列举法表示下列集合
1x2-4的一次因式组成的集合
2yy-x2-2x3x∈Ry∈N
3方程x26x90的解集
420以内的质数
5xyx2y21x∈Zy∈Z
6大于0小于3的整数
7x∈Rx25x-140
8xyx∈N且1≤x4y-2x0
9xyxy6x∈Ny∈N
思路分析用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素要注意不重不漏不计次序地用隔开放在大括号内
解1因x2-4x-2x2故符合题意的集合为x-2x2
2y-x2-2x3-x124即y≤4又y∈N∴y01234
故yy-x2-2x3x∈Ry∈N01234
3由x26x90得x1x2-3∴方程x26x90的解集为-3
420以内的质数235711131719
5因x∈Zy∈Z则x-101时y01-1
那么xyx2y21x∈Zy∈Z-10010-110
6大于0小于3的整数12
7因x25x-140的解为x1-7x22则x∈Rx25x-140-72
8当x∈N且1≤x4时x123此时y2x即y246
那么xyx∈N且1≤x4y-2x0122436
9xyxy6x∈Ny∈N06152433425160
点评本题主要考查集合的列举法表示列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合用列举法表示集合先明确集合中的元素再把元素写在大括号内并用逗号隔开相同的元素写成一个
3用描述法分别表示下列集合
1二次函数yx2图象上的点组成的集合
2数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合
3不等式x-73的解集
活动让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点如何表示数轴上的点如何表示不等式的解学生板书教师在其他学生中间巡视及时帮助思维遇到障碍的同学必要时教师可提示学生
1集合中的元素是点它是坐标平面内的点集合元素代表符号用有序实数对xy来表示其特征是满足yx2
2集合中元素是点而数轴上的点可以用其坐标表示其坐标是一个实数集合元素代表符号用x来表示其特征是对应的实数绝对值大于6
3集合中的元素是实数集合元素代表符号用x来表示把不等式化为xa的形式则这些实数的特征是满足xa
解1二次函数yx2上的点xy的坐标满足yx2则
二次函数yx2图象上的点组成的集合表示为xyyx2
2数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合则
数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为x∈Rx6
3不等式x-73的解是x10则
不等式x-73的解集表示为xx10
点评本题主要考查集合的描述法表示描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合
用描述法表示集合时集合元素的代表符号不能随便设点集的元素代表符号是xy数集的元素代表符号常用x集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述最好用数学符号表示必须抓住其实质
变式训练
用描述法表示下列集合
1方程2xy5的解集
2小于10的所有非负整数的集合
3方程axby0ab≠0的解
4数轴上离开原点的距离大于3的点的集合
5平面直角坐标系中第ⅡⅣ象限点的集合
6方程组的解的集合
71357
8x轴上所有点的集合
9非负偶数
10能被3整除的整数
解1xy2xy5
2x0≤x10x∈Z
3xyaxby0ab≠0
4xx3
5xyxy0
6xy
7xx2k-1k∈N
8xyx∈Ry0
9xx2kk∈N
10xx3kk∈Z
知能训练
课本P5练习12
补充练习
1下列对象能否组成集合
1数组1357
2到两定点距离的和等于两定点间距离的点
3满足3x-2x3的全体实数
4所有直角三角形
5美国NBA的著名篮球明星
6所有绝对值等于6的数
7所有绝对值小于3的整数
8中国男子足球队中技术很差的队员
9参加2008年奥运会的中国代表团成员
答案1234679能组成集合58不能组成集合
2口答说出下面集合中的元素
1大于3小于11的偶数
2平方等于1的数
315的正约数
答案1其元素为46810
2其元素为-11
3其元素为13515
3用符号∈或填空
11______N0______N-3______N05______N______N
21______Z0______Z-3______Z05______Z______Z
31______Q0______Q-3______Q05______Q______Q
41______R0______R-3______R05______R______R
答案
1∈∈
2∈∈∈
3∈∈∈∈
4∈∈∈∈∈
4判断正误
1所有属于N的元素都属于N
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