高中数学第一章集合与函数概念本章复习教学设计新人教A版必修1.docx

高中数学第一章集合与函数概念本章复习教学设计新人教A版必修1.docx

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高中数学第一章集合与函数概念本章复习教学设计新人教A版必修1

第一章集合与函数概念

本章复习

教材分析

集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．

函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：

思维从静止走向了运动、从运算转向了关系．函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体几何、解析几何、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对数函数，在必修四将学习三角函数．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．

学情分析

1．学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面．通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性．

2．学生学习基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力．但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘．通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯．

3．在研究例4时，对分类的情况研究的不全面．为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键．

设计思路

本节课中渗透的理念是：

“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”．在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理．一方面让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯．在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题．通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式．在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想．在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点．

教学目标分析

（一）知识与技能

1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算．

A：

能从集合间的运算分析出集合的基本关系．

B：

对于分类讨论问题，能区分取交还是取并．

2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质．

A：

会用定义证明函数的单调性、奇偶性．

B：

会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系．

（二）过程与方法

1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化．

2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质．

（三）情感态度与价值观

在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力．在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心．在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质．

重难点分析

教学重点：

掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题．

教学难点：

含参问题的讨论，函数性质之间的关系．

知识梳理

（约10分钟）

问题1：

把本章的知识结构用框图形式表示出来．

问题2：

一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗？

问题3：

类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算——交、并、补．

问题4：

通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？

请结合具体实例分析表示函数的三种方法，每一种方法的特点．

问题5：

分析研究函数的方向，它们之间的联系．

在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案．在自己的原有方案的基础上进行补充与完善．

学生回答问题要点预设如下：

1．集合语言可以简洁准确的表达数学内容．

2．运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质——函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．

3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用．

4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法．

设计意图：

通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻．让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效．让学生体会到知识的横向联系与纵向联系．通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的．

易错点分析

（约3分钟）

问题6：

集合中的易错问题，函数中的易错问题，主要包括作业、训练、考试中出现的问题．

（任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现．教师不进行修改，呈现的是原始的）

教师展示学习成果并进行点评．

对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充．这个过程尽量由学生来完成，教师可以适当的引导与点评．

设计意图：

让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识．通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误．

考察点分析

（约5分钟）

问题7：

分析集合中的考察点，函数中的考察点．

问题8：

知识的横纵联系．

学生回答问题要点预设如下：

1．集合中元素的互异性．

2．A⊆B，则集合A可以是空集．

3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题．

4．函数的单调性与奇偶性的证明．

5．作业与试卷中出现的问题．

6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面．

设计意图：

让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答．例如如果试题中出现集合，无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算．

典型问题分析

1设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，

（1）若B⊆A，求实数a的值；

（2）若A∩B＝B，求实数a的值；

（3）若A∪B＝B，求实数a的值．

教师点评，同时板书．

答案：

（1）a≤－1或a＝1；

（2）a＝1或a≤－1；（3）a＝1.

由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想．（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等．学生在解第

（1）问时，可能漏掉特殊情况．第

（2）、（3）问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考．

设计意图：

让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯，能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动地形成发散思维，主动应用转化与化归的思想．

2已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x），求函数f（x）的解析式．

变式：

若函数f（x）是偶函数，试求函数f（x）的解析式．

教师对学生回答进行点评，并板书．

答案：

f（x）＝

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．

学生回答问题要点预设如下：

1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系．

2．函数的奇偶性的定义．

3．转化与化归的思想．

法一：

本题即求x＜0时函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题．

法二：

本法更具有一般性，已知x≥0时，函数的解析式，要分析x＜0时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，－x＞0，所以可以研究－x的函数值．

设计意图：

学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质．

3已知f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断．

变式1：

若函数f（x）为奇函数，判断f（x）在（－∞，0）上的单调性．

变式2：

你能分析奇函数（偶函数）在对称区间上的单调性的关系吗？

试从数形两个方面来分析．

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．

学生回答问题要点预设如下：

1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系．

2．函数的单调性的定义．

3．数形结合、转化与化归的思想．

法一：

通过函数的图象分析．

法二：

把要研究的范围转化为已知的范围．

设计意图：

明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与化归的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明．

4求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

变式：

f（x）＝ax2＋（2a－1）x－3在区间

上的最大值是1，求a的值．

教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响．

答案：

a＜0时，最大值是3－4a，最小值是－1；0≤a＜1时，最大值是3－4a，最小值是－1－a2；1≤a≤2时，最大值是－1，最小值是－1－a2；a＞2时，最大值是－1，最小值是3－4a.

学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略．

学生回答考察点分析（预设）：

1．二次函数的图象与性质．

2．分类与整合．

3．逆向思维．

学生回答解题思路分析（预设）：

研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系．

设计意图：

通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点．

通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势．学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合．

课后小结

1．知识网络

2．知识的来龙去脉

3．问题中体现的数学思想

4．分析问题的基本思路

学生总结，教师板书．

设计意图：

让学生把知识穿串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题．

课后总结

巩固所学，补充课上的不足．主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题．

1．已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝

，h（x）＝

.

（1）试判断g（x）与h（x）的奇偶性；

（2）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；

（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？

2．设函数f（x）＝x2＋|x－2|＋1，x∈R，

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最小值．

3．已知集合A＝{x|x2－mx＋m2－19＝0}，B＝{y|y－5y＋6＝0}，C＝{z|z2＋2z－8＝0}，是否存在实数m，同时满足A∩B≠

，A∩C＝

.

4．将长度为20cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？

教学反思

在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题．在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦．从而养成良好的学习习惯、树立信心．感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题．通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途．通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合．

知识点总结——函数概念及性质

1．函数的概念：

设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：

y＝f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

如果只给出解析式y＝f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．

2．构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域．

构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：

①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）．

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：

直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．

3．函数图象知识归纳

定义：

在平面直角坐标系中，以函数y＝f（x）（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y＝f（x）（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y＝f（x），反过来，以满足y＝f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上，即记为C＝{P（x，y）|y＝f（x），x∈A}．图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线），也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．

画法：

（1）描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以（x，y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x，y），最后用平滑的曲线将这些点连结起来．

（2）图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换．

作用：

直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．

4．区间的概念

区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：

A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

说明：

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，

（1）集合A，B及对应法则f是确定的；

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；（3）对于映射f：

A→B来说，则应满足：

①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．

6．函数的表示法

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：

必须注明函数的定义域；图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值．

分段函数：

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

复合函数：

如果y＝f（u）（u∈M），u＝g（x）（x∈A），则y＝f[g（x）]＝F（x）（x∈A）称为f，g的复合函数．

7．函数的单调性

增函数：

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数．区间D称为y＝f（x）的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f（x）的单调减区间．

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）．

图象的特点：

如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的．

函数单调区间与单调性的判定方法：

定义法，任取x1、x2∈D，且x1＜x2；作差f（x1）－f（x2）；变形（通常是因式分解和配方）；定号〔即判断差f（x1）－f（x2）的正负〕；下结论〔指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性〕．图象法（从图象上看升降）；复合函数的单调性，复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u＝g（x），y＝f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

函数

单调性

u＝g（x）

增

增

减

减

y＝f（u）

增

减

增

减

y＝f[g（x）]

增

减

减

增

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集．

8．函数的奇偶性

偶函数：

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

奇函数：

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

注意：

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（－x）与f（x）的关系；作出相应结论：

若f（－x）＝f（x）或f（－x）－f（x）＝0，则f（x）是偶函数；若f（－x）＝－f（x）或f（－x）＋f（x）＝0，则f（x）是奇函数．注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数．若对称再根据定义判定：

有时判定f（－x）＝±f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（－x）±f（x）＝0或

＝±1来判定：

利用定理，或借助函数的图象判定．

9．函数的解析表达式

函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．

求函数的解析式的主要方法有：

待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）．

10．函数最大（小）值方法

利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；利用函数单调性；如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）；如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）．