二次项定理0大典型例题.docx
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二次项定理0大典型例题
（1）知识点的梳理
1．二项式定理：
（ab）nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn（nN），
2．基本概念：
①二项式展开式：
右边的多项式叫做（ab）n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr（r0,1,2,,n）.
3项数：
共（r1）项，是关于a与b的齐次多项式
4通项：
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnranrbr表示。
3．注意关键点：
1项数：
展开式中总共有（n1）项。
2顺序：
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
（ab）n与（ba）n是不同的。
3指数：
a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于n.
4系数：
注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令a1,bx,（1x）nCn0Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn（nN）
令a1,bx,（1x）nCn0Cn1xCn2x2Cnrxr
（1）nCnnxn（nN）
5．性质：
1
二项式系数的对称性：
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
2二项式系数和：
令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n，
变形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3
（1）nCnn（11）n0，
从而得到：
Cn0Cn2Cn4Cn2rC1nCn3Cn2r112n2n1
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和：
a0a1x1a2x2anxn
anxna2x2a1x1a0
（ax）nCn0anx0C1nan1xCn2an2x2Cnna0xn
（xa）nCn0a0xnC1naxn1Cn2a2xn2Cnnanx0
令x1,则a0a1a2a3an（a1）n①
令x1,则a0a1a2a3an（a1）n②
①②得,a0a2a4an（a1）（a1）（奇数项的系数和）
2
①②得,a1a3a5an（a1）（a1）（偶数项的系数和）
5二项式系数的最大项：
如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式n
系数Cn2取得最大值。
如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系n1n1
数Cn2,Cn2同时取得最大值。
6系数的最大项：
求（abx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
Ar1Ar
为A1,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有r1r，从而解出r来。
12n1Ar1Ar2
2）专题总结
专题一
题型一：
二项式定理的逆用；
例：
Cn1Cn26Cn362Cnn6n1
Sn
（13）n14n1
解：
（16）nCn0C1n6Cn262Cn363Cnn6n与已知的有一些差距，
C1nCn26Cn362Cnn6n11（C1n6Cn262Cnn6n）
6
1（Cn0Cn16Cn262Cnn6n1）1[（16）n1]1（7n1）
666
练：
Cn13Cn29Cn33n1Cnn.
解：
设SnCn13Cn29Cn33n1Cnn，则
3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1（13）n1
题型二：
利用通项公式求xn的系数；
例：
在二项式（413x2）n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？
解：
由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9（舍去）或n10，
由
1210r2r
Tr1C1r0（x4）10r（x3）rC1r0x43，由题意10r2r3,解得r6，
r1101043
则含有x3的项是第7项T61C160x3210x3,系数为210。
练：
求（x221x）9展开式中x9的系数？
解：
Tr1C9r（x2）9r
（1）rC9rx182r
（1）rxrC9r
（1）rx183r，令183r9,则
2x22
r3
题型三：
利用通项公式求常数项；
1
例：
求二项式（x221x）10的展开式中的常数项？
5
rr1r20r5
C10
（1）x2，令205r0，得r8，所以1022
练：
求二项式（2x1）6的展开式中的常数项？
2x
解：
Tr1C6r（2x）6r
（1）r
（1）r
（1）rC6r26r
（1）rx62r，令62r0，得r3，所2x2
以T4
（1）3C6320
练：
若（x21）n的二项展开式中第5项为常数项，则n.
x
解：
T5Cn4（x2）n4
（1）4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x
题型四：
利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：
求二项式（x3x）9展开式中的有理项？
1127r
解：
Tr1C9（x）（x）
（1）C9x，令6Z,（0r9）得r3或r9，
所以当r3时，64，T4
（1）C9x84x，
当r9时，27r3，T10
（1）C9xx。
6
题型五：
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：
若（x2312）n展开式中偶数项系数和为256，求n.
3x2
解：
设（x2312）n展开式中各项系数依次设为a0,a1,a
3x2
a1
令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有
a0a1a2a3
（1）an2,②
将①-②得：
2（a1a3a5）2n,a1a3a52n1
有题意得，22562，n9。
解：
Cn0Cn2Cn4Cn2r
练：
若（31512）n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
Cn1Cn3Cn2r12n1，2n11024，
解得n11
61
T61462x15
题型六：
最大系数，最大项；
例：
已知（12x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数
列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：
Cn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式
中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73
（1）42335,，
22
1
T5的系数C74
（1）32470,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
7177
T8的系数C174（）7273432。
2
练：
在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：
二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn1，22n1n1也就是第n1项。
的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项
是多少？
解：
只有第5项的二项式最大，则n15，即n8,所以展开式中常数项为第2
七项等于C86
（1）27
2
练：
写出在（ab）7的展开式中，系数最大的项？
系数最小的项？
解：
因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，
且同时取得最大值，从而有T4C73a4b3的系数最小，T5C74a3b4系数最大。
练：
若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（12x）n的展开式中系数最大
2的项？
解：
由Cn0C1nCn279,解出n12,假设Tr1项最大，（212x）12（21）12（14x）12
1
1210101010
C124x16896x
r10，展开式中系数最大的项为T11,有T11
（2）练：
在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少？
解：
假设Tr1项最大，Tr1C1r02rxr
解得2（11r）r，化简得到
r12（10r）
r7，展开式中系数最大的项为
Ar1ArC1r02rC1r012r1
Ar1Ar2C1r02rC1r012r16.3k7.3，又0r10，T8C102x15360x.
题型七：
含有三项变两项；
例：
求当（x23x2）5的展开式中x的一次项的系数？
解法①：
（x23x2）5[（x22）3x]5，Tr1C5r（x22）5r（3x）r，当且仅当r1
时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C51（x22）43x，
所以x得一次项为C51C44243x
它的系数为C51C44243240。
解法②：
（x23x2）5（x1）5（x2）5（C50x5C51x4C55）（C50x5C51x42C5525）
故展开式中含x的项为C54xC5525C54x24240x，故展开式中x的系数为240.
T31
（1）3C6320.
题型八：
两个二项式相乘；
例：
求（12x）3（1x）4展开式中x2的系数.
解：
（12x）3的展开式的通项是C3m（2x）mC3m2mxm,
（1x）4的展开式的通项是C4n（x）nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,
令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此（12x）3（1x）4
的展开式中x2的系数等于C3020C42
（1）2C3121C41
（1）1C3222C40
（1）06
练：
求（13x）6（141）10展开式中的常数项.
4x
mn4m3n
解：
（13x）6（141）10展开式的通项为C6mx3C1n0x4C6mC1n0x12
其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即m0,或m3,或m6,
n0,n4,n8,
时得展开式中的常数项为C60C100C63C140C66C1804246.
练：
1
已知（1xx2）（x13）n的展开式中没有常数项,nN*且2n8,则n.
x3
解：
（x13）n展开式的通项为Crnxnrx3rCrnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得x3
n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九：
奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
在（x2）2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S
解：
设（x2）2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006①
20061232006
（x2）=a0a1xa2xa3xa2006x②
①②得2（a1xa3x3a5x5a2005x2005）（x2）2006（x2）2006
（x2）2006展开式的奇次幂项之和为S（x）12[（x2）2006（x2）2006]
32006
当x2时,S
（2）1[（22）2006（22）2006]2223008
22题型十：
赋值法；
例：
设二项式（33x1）n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为x
s,若
ps272,则n等于多少？
解：
若（33x1）na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，
x
2n16或2n17（舍去），n4.
解：
令x1，则3x1的展开式中各项系数之和为2n64，所以n6，
则展开式的常数项为C63（3x）3
（1）3540.
6x
练：
的值为
若（12x）2009a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009（xR）,则a21a222a222000099
解：
令x12,可得a0a212a222a220000990,a212a22a222000099a0
在令x0可得a01,因而a212a22a2220000991.
练：
若（x2）5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5
解：
令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,
a1a2a3a4a531.
题型十一：
整除性；例：
证明：
32n28n9（nN*）能被64整除证：
32n28n99n18n9（81）n18n9
8n9
Cn018n1Cn118nCnn1182Cnn181Cnn11
Cn018n1Cn118nCnn11828（n1）18n9
Cn018n1C1n18nCnn1182
由于各项均能被64整除32n28n9（nN*）能被64整除
1、（x－1）11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f（x）=（x-1）11,偶次项系数之和是f
（1）f
（1）
（2）11/21024
2
2、C0n3C1n32C2n3nCnn2、
2、4n
3、（351）20的展开式中的有理项是展开式的第项
5
3、3,9,15,21
4、（2x-1）5展开式中各项系数绝对值之和是
4、（2x-1）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+1）5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求（1+x+x2）（1-x）10展开式中x4的系数
5、（1xx2）（1x）10（1x3）（1x）9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与（1-x）9展开式中的项C49（x）4作积，第一个因式中的－x3与（1-x）9展开式中的项C19（x）作积，故x4的系数是C19C94135
6、求（1+x）+（1+x）+⋯+（1+x）展开式中x的系数x3实为这分子中的x4，则所求系数为C171
7、若f（x）（1x）m（1x）n（mnN）展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
7、由条件得m+n=21，x2的项为C2mx2Cn2x2，则C2mC2n（n21）2399.因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小
8、自然数n为偶数时，求证：
12C1nC2n2Cn3Cn42Cnn1Cnn32n1
8、原式=（C0nC1nC2nCnn1Cnn）（C1nCn3C5nCnn1）2n2n13.2n1
9、求8011被9除的余数
9、8011（811）11C1018111C1118110C111081181k1（kZ）,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴8111被9除余8
10、在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数
2555
10、（x23x2）5（x1）5（x2）5
在（x+1）5展开式中，常数项为1，含x的项为C155x，在（2+x）5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C1524x80x
∴展开式中含x的项为1（80x）5x（32）240x，此展开式中x的系数为240
11、求（2x+1）12展开式中系数最大的项
11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有
11
3r4,r433
∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C142x47920x4
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