金融时间序列分析第4章谱分析方法.docx
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金融时间序列分析第4章谱分析方法
第4章谱分析方法
§1绪论
一．时间序列模型：
通过分析自相关就获得描述与预测时间序列可能够用模型的第一印象。
如yt-fyt-1=at这里yt与yt-1相关性较大，而与yt-2相关较弱，为什么？
二．分析时间序列的两种方法
频谱法，时间序列法-BoxJenkins方法三．时间序列模型的五个特征（最重要的）描述趋势有多种方法
1．趋势
yt=a+dt+mtt=1,2,,n确定性趋势
yt-yt-1=d+mt-mt-1随机趋势
2．季节性：
yt-yt-1=a1D1,t+a2D2,t+...+asDs,t+mtt=1,2,,n
Ds,t是季节哑变量，定义为
T=1,2,,N
Ds,t=1，t=（T-1）S+s，S=1,2,...,S
Ds,t=0其它
3．异常观测值
异常观测值：
在时间序列中，可能有一个或几个点，会对时间序列的建模与预测起到重要的作用。
这样的数据点称为奇异观测值。
4．条件异方差异常观测值倾向于成群出现，这个现象称为波动性集聚（vilatilityclustering）条件异方差
22
（yt-yt-1）=a+r（yt-1-yt-2）+mtt=3,4,...,n
5．非线性：
状态依赖——机制转换特征
§2谱分析
一．时间序列分析的方法
1时序分析方法：
也就是时序建模方法，ARMA等，也就是原序列的时间顺序不变。
2频谱建模方法：
单变量频谱建模技术就是时间序列看作是有不同频率的正弦和余弦波组成。
其基本思想是：
把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。
做法：
对某个时间序列剔除趋势和季节因素后的循环项（平稳）进行
谱估计，根据估计出的普密度函数，找出序列中的主要频率分量，从而把握该序列的周期波动特征。
优点：
当频率分量的行为或内在机制互不相同时，谱分析可以避免时域方法带来的混淆（因为时域方法所衡量的只是各频率分量共同叠加后的结果）更精细的研究各种行为及因素。
基本原理
1.对于确定性函数X（t），周期为2T,如果X（t）在［-T,T］可积，并在t点连续，则有如下的傅立叶级数展开：
Y
X（t）=a0+?
轾|cos（2pfkt）+bkSin（2pfkt）
2k=i
1T
其中ak=aX（t）cos（2pfkt）dtk=0,1,2,....
T
1T
ak=tQTX（t）sin（2pfkt）dtk=0,1,2,•…
意义：
周期函数通常可以分解为常数项包与频率fk的正弦和余弦函数之和。
2
为了方便，令人=¥‘Ak=3k\ibk,A-k=Ak=3k+ibk,k=1,2,....
222
从而得到复数形式的傅氏级数展开
Y
X（t）=?
Akei2pfkt
k=-?
1T
A,=aX（t）e-i2pfktdtk=0,北1,2,...
其中Ak为振幅，fk为频率
因此，周期函数X（t）可以表示成不同频率fk及其对应的振幅Ak的正弦和余
弦函数之和，这就是X（t）的谱表示。
在周期T,T内Xt消耗的能量等于每一个不同频率的三角函数分量所消
耗的能量之和:
单位时间上的能量消耗Xt的功率为
即Xt的总功率等于各频率分量的功率之和
功率谱：
功率依不同频率的分布，表示为
fk,k0,1,…,
0
称此函数为功率谱密度函数。
般确定性非周期函数Xt的谱表示
构造以2T为周期的函数XTt,满足
XTtXtTtT
XTt2nT则当XTt展开，在
XTtn1,2,....
在T,T内可积，并在t点连续的情况下，Xtt进行傅立叶级数
T,T内：
Xt的功率为
2
df
则Gf是在频率
处的能量密度，或称为连续能量谱密度。
而且非周期函
1T
数Xt的功率为lim一X2tdt0。
t2Tt
§3平稳过程的频域分析
因为无法保证实现Xt的周期性和可积性，因而需采取相应的手段。
对平稳过程的实现Xt加以截取，构造新函数
其傅立叶展开为
XTtGtfei2ftdf
这里GtfXTtei2ftdt:
Xtei2ftdt
Gf|2
Gtf2是Xtt的能量谱密度函数。
Xtt的总能量无限，但功率limL
T2T
2
gf
却可能有限。
lim称为功率功率谱密度函数。
T2T
2
如果功率谱密度函数的期望hflimE£^丄一存在，则称为平稳过
T2T
f
程Xt的功率谱密度函数，简称功率谱或谱密度。
称Hfhd称为
谱分布函数。
二•自协方差函数和谱密度hf的关系
定理1:
平稳过程Xt的谱密度hf存在，则过程Xt的自协方差函数R有如下的傅立叶变换
hfRei2ftdtFR
Rhfei2fdfF1[hf
密度必定存在。
稳过程的总平均功率。
量对总功率的贡献率。
rei2fd
一hf
2
x
2）对任何f,pf0。
3）对实值过程，对于任何f，满足pfpf。
积分谱Pf具有下列性质：
1）0Pf1。
2）P0，P1。
3）Pf是f的单调非减函数，即当右f2时，Pt,Pf2
定理2（维纳-辛钦定理）：
Xt的自相关函数的充分必上具有分布函数的性质（即
自相关函数r是某个平稳（连续）随机过程要条件是：
存在一个函数Pf，在，
P0,P1，且Pf是单调非减），使得对一切，r可以表示
成：
Rei2fdHf
H0,HRO分别称为自相关函数和自协方差函数的谱表示。
如果Pf是绝对连续的分布函数，则对任何f都存在谱密度函数dPf
称随机过程Xt具有纯连续谱。
如ARMAp,q过程
三.平稳时间序列的频域分析
1•平稳时间序列是平稳随机过程的特殊情况。
具有两种特殊性质:
1）t只取整数值，因此自协方差和自相关函数只在整数点有定义。
2）谱密度只在f土舟范围内有定义。
2.Wold定理：
序列rk,k0,1,....作为某个时间序列Xt的自相关函数的充分必要条件是：
存在一个fi,i上的单调非减函数Pf，
p10,p21，使得
丄
自相关函数rk:
ei2fkdPf,k=0,1,....
2
自协方差Rk:
e2^dHf,k0,1,....
2
Hf称为非标准化积分谱。
Pf为标准化积分谱。
当序列为实值，自相关函数为偶函数时，标准化谱密度函数：
2Rkcos2fk
k1
例：
求白噪声的谱密度其自协方差函数Rk
0k=1,2,.…
丄
2
1
2
上是
表明
表明纯随机序列具有常值谱密度函数，意味着总功率或方差在f
均匀分布的，即每个频率成分对总功率或方差的贡献是一样的。
一般情况下,纯连续谱的时间序列的谱密度可划分为三种类型：
1）谱密度从频率0到频率1/2递减，高谱密度值集中在相对低频处，序列异常周期波动为主。
2）在高频处显示高谱密度，说明序列以短周期波动为主，比白噪声还不规则的随机过程。
3）谱密度主要集中在某个特定频率附近，意味着序列的变动主要是由这个频率所确定的周期波动。
它描述了f偏离均值的程度，方差越小，估计量越好。
3.均方误差:
EhNfhfvarhNfbNf
）2一c
N时，EhNfhf0,则《f是hf在均方意义下的一致估计。
二.估计方法：
非参数方法和参数方法
（一）非参数方法：
周期图和窗谱估计
1.周期图估计：
研究观测数据中可能隐藏的周期性
k
模型为XtAcos2fitBjSin2ftt
1
其中AGeosi;BiCisinj
从而Ci..AB：
;iaretgBjA
估计的基本思想（寻找隐含周期的基本思路）：
用一组足够密的备选频率f1,f2,....作选择，得到参数估计值
A%,B2,A%,B3••…，做出振幅的平方Ci2A2Bi2关于频率fi,i1,2,…
是渐进不相关的，当N增大时，Inf特别不
3.窗谱估计：
对周期图进行截断，即对In
i2fke
两头的若干求和项去掉，从而得到谱密度的新估计量:
lh0fRkei2fk，其中M为小于N-1的正整数，称这个M为截断点,
kM
M
E?
f
kM
更一般的形式为h?
N
而上面的估计式称为截断周期图。
ki2fk
Rke
N
N1
fwkI?
kei2fk
kN1
为窗谱估计。
其中wk为Rk的权函数，称为时窗函数或时窗。
hN
（二）参数方法：
ARMA和极大熵谱估计
1.AR和ARMA谱估计
基于ARMA模型的谱估计方法是近代谱分析中比较感兴趣的一种方法
1）AR谱估计
假设一个时间序列Xt是由ARp过程生成的，即
’i2fi2pf
1a1e....ape
其估计量为
这种方法就是所谓的自回归谱估计或AR谱估计。
3）极大熵估计（现代谱分析）
熵是一种不规则性的度量，现在用于表示不确定性的度量。
可用来度量随机变量或随机过程的不确定程度。
强，所受人为干预越少，包含信息越多
2）极大熵准则，对于满足约束条件
1/2i2fk
hfei2fkdfRk,k0,1,...,p
1/2
使谱熵Sh达到最大的hf，记为h?
f（极大熵谱估计）
§4谱分析在经济中的应用须注意的问题1）序列长度要大：
至少100-200个数据。
2）数据需要预先处理：
要求平稳序列、去掉长期趋势以及可能的季节性变化
3）谱估计方法的选择。
4）窗函数的确定。
5）频率点的选取。
6）谱估计的计算。
参考教材：
1）《经济计量学手册》17章格兰杰著
2）《经济周期波动的分析与预测》高铁梅等著吉林大学出版社
3）《时间序列分析：
预测与控制》Box和Jenkins著中国统计出版社
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