高中数学 用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2“用二分法求方程的近似解”教学设计
一、内容与内容解析
本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：
结合函数大致图象，能够借助计算器或计算机用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
二、目标和目标解析
（1）理解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定精确度的近似解；
（2）引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体会函数与方程的思想、数形结合、逼近思想、算法思想；
（3）帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。
教学重点：
理解二分法的基本思想，把找方程近似解转化为缩小函数零点所在区间，对函数与方程的关系及化归思想有更深入的认识。
教学难点：
对精确度的理解，用二分法求近似解中，在不断缩小区间时，对区间端点的循环迭代替换的理解.
三、学生诊断分析
学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。
但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。
因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.
四、教学支持条件分析
将问题导学法、讨论法、模拟实验等多种教学方法有机结合，并结合多媒体手段，组织学生自主探究学习，合作交流完成本节的内容。
学生的课前准备：
1复习前一节课的内容，熟悉连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；2准备好科学计算器，熟悉科学计算器的使用；
教师的教学准备：
模拟实验用具：
直管，剪刀，牙签；将上课内容制作成课件。
5、教学过程设计
知识回顾：
1、满足f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的________
2、方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图象与x轴有________
函数y=f（x）有________
3、如果函数y=f（x）的图象在区间[a,b]上________、且f（a）·f（b）___0，
那么函数y=f（x）在区间（a,b）上必有零点.
【设计意图】培养学生复习的习惯，对上节课的复习为本节的学习提供了知识保障。
课题引入：
思考：
你会求下列方程的根吗？
【设计意图】从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认识冲突，激起进一步探究的欲望.
对于第一个方程，学生很快找出解决办法，第二个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，然而实际生产生活又要求我们知道它的解，尤其是一定精确度下的近似解，这节课我们就来研究求方程近似解的方法。
（引入课题：
板书：
“二分法”填空留白）
新知探究：
问题1:
以lnx+2x-6=0为例,联系函数零点与相应方程根的关系,能否利用函数的知识求它的根呢？
从方程角度入手不知如何下手，这时教师适时点拨引导：
当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题。
方程
，由课本88页例1我们知道函数
在区间（2,3）内有唯一零点。
问题2：
函数f（x）=lnx+2x－6在（2,3）内只有一个零点，如何找出这个零点？
一个直观的想法是：
如果能够把零点所在的区间尽量缩小，我们就可以得到一定精确度下零点的近似值（给出精确度的定义）
【设计意图】进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，这样一来问题更具有游戏的味道，激发学生的学习热情。
如果本题中给定精确度为0.1，显然（2,3）这个范围显得太大，因此我们就要把这个区间缩小，下面我们就借助一个实验寻找缩小区间的方法。
模拟实验：
现有一根直管，函数的零点就好比一颗珍珠藏在这根直管里，请你设计一个方案，借助下面的工具：
一把尺子，一个剪刀，一支牙签，又快又准地找到这颗珍珠。
【设计意图】学生分小组讨论，找到解决方案，找两个同学上台演示，引导学生体会二分（比三分、四分、黄金分割等）的优越性，并引导学生思考通过操作的每一步骤对求零点近似值的问题有什么帮助和启发。
通过直管找珍珠的实验，学生很快找出“寻找近似零点”的方法，教师通过几个问题引导并总结：
（1）如何缩小区间？
（取线段的中点类似于取直管的中点）
（2）如何确定缩小后的区间？
（利用零点存在性定理找函数值异号的区间类似于牙签通过验证的过程，提问学生）
（3）区间缩小到什么程度？
（区间长度小于精确度类似于直管的长度比牙签短）
（4）区间符合精确度后，如何确定方程的近似解？
（区间内的任意值到精确值的距离都小于精确度，所以区间内的值都可作为零点的近似值，为了方便，一般取区间的端点为零点的近似值即方程的近似解）
合作探究
借助计算器或计算机求函数f（x）=lnx+2x－6在区间（2，3）内的零点近似值（精确度0.1）.
借助计算器，学生小组合作完成求解过程（填表）。
思考：
如果精确度改为0.01？
任给一个精确度，是否可以在有限次内得到零点的近似值？
【设计意图】让学生继续巩固求解过程，何时终止运算？
如何确定零点的近似值，并体会感受极限的思想。
上面这种求零点近似值（方程近似解）的方法就是二分法（课题空白处填上“二分法”）然后借助图形，形象演示区间端点逼近零点的过程，自然而然地引出二分法定义。
知识形成：
1.二分法的定义
对于在区间
上连续不断，且
的函数
，通过不断地把函数
的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【设计意图】引导学生总结定义并理解能用二分法求零点近似值的函数具有怎样的特点，给出教材上规范的定义，强调关键词，对二分法的条件，做法，目的有更深刻的认识
辨析：
下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求函数零点的是____
思考：
用二分法求零点的函数应具备的条件？
零点左右两侧连续且端点函数值异号（变号零点）。
【设计意图】让学生辨析什么情况下宜用二分法求零点，对二分法有更深层次的认识，辨析过程也是学生认识完善的过程。
归纳总结：
用二分法求方程近似解的步骤：
（以框图形式板书，渗透算法思想）
1.确定初始区间[a,b]，验证f（a）f（b）<0,给定精确度，
2.求区间[a,b]的中点c
3.计算f（c）判断：
（1）如果f（c）=0，则c就是f（x）的零点，计算终止；
（2）如果f（a）f（c）<0，则令b=c（此时零点x0∈（a,c））；
（3）如果f（a）f（c）>0，则令a=c（此时零点x0∈（c,b））
4.判断是否达到精确度ε：
即若最终区间长度小于ε，则得到零点近似值是a或,b；否则重复2～4步骤。
【设计意图】通过归纳总结形成二分法的理论知识，训练学生数学表达能力，培养学生的概括能力。
学以致用
借助计算器用二分法求方程
的近似解（精确度0.1）
引导学生分析思路，方程
的近似解转化为哪个函数的零点,让学生了解除了试值和数形结合法外，还可以从几何画板上画图像看出零点所在大致区间，最后学生自主完成表格填写（分组合作）并展示。
【设计意图】通过练习巩固二分法的步骤，体会信息技术的优越性。
达标训练：
1、用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可取的初始区间是（）
A[-2,1]B[-1,0]C[0,1]D[1,2]
2、用二分法求函数y=f（x）在（3,4）内零点近似值的过程中得到f（3）<0,f（3.5）>0,f（3.25）<0,则函数的零点落在区间_____,接下来需要计算____的值。
A.（3，3.25）,f（3.125）B.（3.25,3.5）,f（3.375）
C.（3.5，4）,f（3.75）D.不能确定
3、某方程有一无理根在区间D=（0,3）内，若用二分法求此根的近似值，将区间D至少等分___次后，所得近似值可满足精确度0.1。
课堂小结：
这节课你有哪些收获？
1、二分法的定义；
2、用二分法求方程近似解的步骤；
3、数学思想？
作业：
1、必做题:
课本P92习题3.1A组3、4、5
2、选做题:
用二分法求
的近似值（精确度0.01）。
3、课外拓展：
中外历史上方程的求解经历了哪些过程？
结合阅读材料和
二分法的学习与应用，你对二分法及对数学有哪些新的认识?
板书设计：
课题
二分法定义例题解析
用二分法求零点近似值的步骤
学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确度的理解也比较困难。
同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。
学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。
但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。
因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.
本节课，通过实验和实例讲授方法和过程，很容易使学生总结和掌握“二分法”的基本算法和注意事项。
通过课堂反应及对练习的跟踪检查，基本达到预想的效果。
虽然，教学内容安排不是很多，但通过学生的亲历亲为，独立思考并在教师引导下总结出用二分法求方程近似解的步骤，在45分钟的课堂教学过程中，鼓励学生质疑，提倡独立思考、自主探索，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的“再发现”、“再创造”过程。
对于通过实验找寻缩小区间的方法,学生的兴趣很高,由学生代表上台演示操作过程,并把该实验环节及做法对应到求方程的近似解这个问题上是本节课的中心环节,学生基本掌握二分法的思想及操作步骤,对精确度有了一定的了解,后面通过具体实例对二分法的定义及求方程近似解的步骤就很自然地总结出来了,我觉得学生基本掌握了本节课的精髓.
教学过程中注重环节与环节之间的有机联系，精心设计，努力使知识点
间过渡的自然合理，做到环环相扣，步步为营，以帮助学生对本节的知识点形成一个统一的整体，进而构建一个比较全面的框架。
本节是人教A版《普通高中标准试验教科书•数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：
结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是课标教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
课堂练习
1：
下列函数中能用二分法求零点的是（）
2：
计算函数
的一个正零点近似值，列表如下：
中点坐标
中点函数值
取区间
若精确度为0.1，结果是。
达标训练：
1、用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可取的初始区间是（）
A[-2,1]B[-1,0]C[0,1]D[1,2]
2、用二分法求函数y=f（x）在（3,4）内零点近似值的过程中得到f（3）<0,f（3.5）>0,f（3.25）<0,则函数的零点落在区间_____,接下来需要计算____的值。
A.（3，3.25）,f（3.125）B.（3.25,3.5）,f（3.375）
C.（3.5，4）,f（3.75）D.不能确定
3、某方程有一无理根在区间D=（0,3）内，若用二分法求此根的近似值，将区间D至少等分___次后，所得近似值可满足精确度0.1
二分法是这次高中数学课改新增加的内容．引入二分法的主要目的是加强函数与方程的联系，它是求方程近似解的一种方法．由于二分法中逼近思想和算法思想非常明确，并且在大纲人教版中没有涉及这部分内容，设计《利用二分法求函数零点的近似解》教学内容时我遇到了比较大的困难。
如何安排本节的教学过程？
如何达到良好教学效果？
如何利用现有的素材？
等问题一直围绕着我。
一、经过认真查阅资料和研究教材后，我对本节课的初步理解：
1.本节地位：
二分法是新课程新增的知识，里边还蕴含着逼近思想、算法思想、数形思想等，因此应该是高考必考点；
2.重点的把握：
本节课的核心是理解二分法的本质思想，懂得用二分法就方程的近似解；
3.难点的把握：
本节课的难点是对精确度的理解、怎么取区间、理解步骤中蕴含的算法思想，除此之外，本节还有一个难点就是计算，学生计算能力也较大程度影响本节的各个环节；
4.找好学习动机：
二分法是学生很陌生的东西，学这东西有什么用，因此帮学生寻找学习的动机也很重要；
5.教师角色要摆正：
既然是一种方法，那就得让学生多动手多动脑，因此教师应该把课堂还给学生，把舞台让给学生，教师充当“导演”的角色，这样才能还原“一节真实的课堂”。
二、基于以上的理解，我对本节的流程如下：
1.引入:
本节采用复习引入，主要检查课前学生完成学案的情况；
2.提出问题：
从模拟实验中找寻解决方法，并由学生操作完成，并引导学生总结；
3.解决问题:
这个环节主要解决本节重点和突破难点，为了突破重难点，我把实验和例题融合到一起，将实验的操作过程及蕴含的道理与解决例题方法步骤对比讲解，以此来突破本节重难点；
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