双曲线的定义及标准方程-(1).doc
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双曲线的定义及标准方程
题型一、圆锥曲线的标准方程
例1、讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：
由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．
解：
（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3），，时，所给方程没有轨迹．
说明：
将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．
例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点
解：
（1）设双曲线方程为∵、两点在双曲线上，
∴解得∴所求双曲线方程为
说明：
采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在轴上，，
∴设所求双曲线方程为：
（其中）
∵双曲线经过点（－5，2），∴∴或（舍去）
∴所求双曲线方程是
（3）设所求双曲线方程为：
∵双曲线过点，∴
∴或（舍）∴所求双曲线方程为
说明：
（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．
例3、求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
解：
设所求双曲线方程为：
，则，
∴，∴，∴所求双曲线方程为
说明：
（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：
设等轴双曲线，则，∴
∴，∴
反之，如果一个双曲线的离心率．
∴，∴，，∴，∴，∴双曲线是等轴双曲线
（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：
两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．
例4、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
（1）过点，离心率．
（2）已知双曲线的右准线为，右焦点为，离心率．
（3）、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，又离心率为．
分析：
（1）、（3）用待定系数法，
（2）用定义法．
解：
（1）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下．
如双曲线的实轴在轴上，设为所求．由，得． ①
由点在双曲线上，得． ②
又，由①、②得，． ③
若双曲线的实轴在轴上，设为所求．
同理有，，．解之，得（不合，舍去）．
∴双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线方程为．
（2）设双曲线上任意一点，因为双曲线右准线，右焦点，离心率，根据双曲线的第二定义，有，化简，得，即．
∴所求双曲线方程为．
（3）设双曲线方程为，因，而，由双曲线的定义，得．
由余弦定理，得
，
∴．
又，
∴．∴，，得，．
∴所求双曲线的方程为．
题型二、双曲线的定义及焦点三角形
例5、是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．
分析：
利用双曲线的定义求解．解：
在双曲线中，，，故．
由是双曲线上一点，得．∴或．
又，得．
说明：
本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或．
（2）方程表示的曲线是_____
例6、已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．
解：
∵点在双曲线的左支上
∴∴
∴∵∴
例7、已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
分析：
利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．
解：
∵为双曲线上的一个点且、为焦点．
∴,∵
∴在中，
∵
∴∴∴
练习、设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为；
例8、已知：
是双曲线上一点．求：
点到双曲线两焦点、的距离．
分析：
利用双曲线的第二定义．
解：
如图，设点到相应焦点、的准线的距离为、．
当点在双曲线的右支上时，，且有
当点在双曲线的左支上时，，且有
∴，
说明：
以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．
例9、若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
分析：
椭圆和双曲线有共同焦点，在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到和的关系式，再变形得结果．解：
因为在椭圆上，所以．又在双曲线上，所以．两式平方相减，得，故．选（A）．
练习、已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是（ ）
A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1
解析：
∵·＝0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，
∴（|MF1|－|MF2|）2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.答案：
A
题型三、双曲线的轨迹
例10、求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
分析：
这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：
设动圆的半径为
（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：
，，
∴双曲线方程为
（2）∵⊙与⊙、⊙都外切
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：
，，
∴所求的双曲线的方程为：
（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切
（4）∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：
，，
∴所求双曲线方程为：
说明：
（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析，体会，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
例11、在周长为48的直角三角形中，，，求以、为焦点，且过点的双曲线方程．
分析：
首先应建立适当的坐标系．由于、为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知，，所以利用条件确定的边长是关键．
解：
∵的周长为48，且，
∴设，，则．
由，得．∴，，．
以所在直线为轴，以∴的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为．
由，得，，．
由，得，．由，得所求双曲线方程为．
例12、在中，，且，求点的轨迹．
分析：
要求点的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？
解：
以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．
设，由及正弦定理可得：
∵∴点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：
∴，∴，∴
∴所求双曲线方程为∵∴
∴点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分
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