基于随机库存系统的提前期需求分布推导.docx

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基于随机库存系统的提前期需求分布推导

基于随机库存系统的提前期需求分布推导

摘要对研究提前期需求分布〔distributionofleadtimedemand〕的几种方法，本文关注的是其中的复合分布法。

为减少分析量，大局部的分析模型都运用复合分布法，并忽略一些分量的复合性质。

本文描述了一个理论检验，并说明了分析模型时的假设，为研究人员和实践者提供一些预防措施。

关键词存货提前期需求复合分布更新过程

1.引言

提前期需求分布是设计存货管理系统的根本知识，这使提前期需求不断得到研究人员和实践者的关注。

在随机存货模型的作品中，关于LTD的理论研究可被粗略的分为三组：

第一组运用多种理论分布表示LTD，包括泊松分布、伽玛分布、正态分布、截略正态分布、对数正态分布、威布尔分布、非参数分布〔Poisson,Gamma，Normal,TruncatedNormal,Lognormal,Weibull,Non-parametric〕等等。

第二组试图适应包含4个参数的分布中的一个，皮尔逊分布或SchmeiserDeutsch。

这组的研究者包括Kottas和Lau（1980），Kumaran和Achary（1996），Lau和Lau（1993），Shore（1999）等。

第三组尝试从给定的需求分布和提前期得到LTD分布，包括Bagchi等人（1984），Carlson（1982），Girlich（1996），McFadden（1972），vanderHeijden和deKok（1998）等。

本文的重点在第三组方法，很明显它将LTD分布视为复合分布。

如Bagchi等人提到的，复合分布法有以下优势：

〔1〕复合分布的分量能单独作为模型，可以估计参数；〔2〕由于单个分量有更简单的结构，所以这比直接用复合分布建模更加可靠，而且这种方法可充分利用数据。

以上研究中，期间需求和提前期被假定为随机变量，LTD分布被视为复合分布。

Bagchi等人提出了得到LTD分布的方法。

OS-OI-LT法首先将订单强度〔orderintensity〕、订单大小〔ordersize〕、交货提前期作为主要因素。

然后，为减少LTD的分析任务，将其中的两个合并为中间因素。

依据此法的研究是最让人满意的，这并不让人奇怪。

因为即使只有两个随机因素，复合分布的分析依然是具有挑战性的。

一方面，对LTD分布建模会出现大量的计算困难，不易操作。

另一方面，即使用更简单的LTD分布法建模，也缺乏以代表真实值。

毫无疑问，我们会将用更简单的分布法得到的值作为近似值。

然而，我们需要研究的是在什么情况下更适合用更简单的方法。

本文并不旨在评论复合分布法中最常用的OS-OI-LT法，而是通过说明OS-OI-LT法的假设和一些预防措施来帮助研究人员和实践者们在现实中运用OS-OI-LT法。

首先，我们定义了所研究的问题的情形，将得到LTD的两种分布法---OS-OI-LT和OS-IT-LT视为复合分布法。

然后从理论上对两种方法进行检验和比拟。

基于检验和比拟的结果，详细观察了OS-OI-LT法的特征，并指出在哪种情况下适合用OS-OI-LT法。

最后，我们在不同情形下进行了比照实验。

的复合分布法

图1描述了我们关注的情况。

顾客订单到达的时间是随机的，假定下订单的时间间隔是随机的且相互独立，由单位的数量表示。

假定订单大小也相互独立，那么LTD就是在LT顾客需要的总单位数量。

如图1中的LTD是19。

假设将0-t之间的累积需求定义为D〔t〕，那么LTD就是D〔LT〕。

在存货管理系统中，LT或补充存货时间是装满一个订单与从供给商那里接到订单的时间〔LT≥0〕。

图2描述了两种得到LTD的方法。

左边的方法是由Bagchi等人提出的OS-OI-LT法。

它首先通过订单强度〔OI〕、每个时期的订单量和订单大小〔OS〕得到每单位时间的需求（DPUT），即一个时期的总需求。

然后将DPUT和LT结合在一起就得到了LTD。

〔Bagchi等人还提出过另外一种方法，此法运用了提前期订单饱和度、由OI和LT得到的提前期订单数量，然而由于这种方法与OS-OI-LT法根本相同，且知道的人不多，所以本文将此法略去。

〕

右边的方法是OS-IT-LT法，常被用于研究随机存货系统。

OS-IT-LT法首先运用OS和到达间隔〔IT，连续订单间的持续时间〕得到D（t），然后联合D（t）和LT得到LTD。

虽然OS-IT-LT法在计算和分析上较为棘手，但它比OS-OI-LT法更适合我们考虑的情形。

我们将通过OS-IT-LT法来研究OS-OI-LT法的特点。

2.1OS-IT-LT法

OS-IT-LT法运用OS和IT得到D（t），即在0到t期间的总需求。

假设一个订单大小的数列{OSi，i=0,1,2,……}，数列中每个OSi都是独立的，且有相同的概率质量函数〔probabilitymassfunction〕h（.）和累积分布函数H（.），均值为μOS，方差为σ2OS。

那么当t≥0时D（t）可定义如下：

N〔t〕是0到t期间顾客的订单数，N（0）=0，D（0）=0。

F（d;t）是D（t）的分布函数，给定时间t，令d,t≥0，那么

假设数列{ITi,i=0,1,2,……}为顾客下订单的时间间隔，其中每个ITi都相互独立，服从相同的概率密度函数g（.）和分布函数G（.），均值μIT，方差σ2IT。

非负整数随机过程〔nonnegative

integer-valuedstochasticprocess〕{N（t）,t≥0}是一个更新过程，它记录了0到t期间顾客下的订单。

设Wn为第n个订单发生前的等待时间。

这里W0=0，IT0=0。

等待时间过程{Wn,n=0,1,2,……}和再生过程{N（t）,t≥0}间的根本联系是，如果只有Wn≤t，那么N（t）≥n。

对于n,t≥0，

〔4〕

这里Gn（t）是G（t）的n重积分。

当t≥0时，

G0（t）=1,G1（t）=G（t）。

因此，从〔4〕中，可以得到，当n,t≥0时，

将〔6〕代入2中，得d,t≥0时

Hn（d）是H（d）的n重积分，因此d≥0时，

H0（d）=1，H1（d）=H（d）。

由〔7〕表示的D（t）的累积分布函数决定于〔5〕和〔8〕，通过转化方式可以得到D（t）的更加详细的描述。

我们分别用定理1和定理2表示一般的离散型分布和连续型分布〔generaldiscreteandcontinuousdistributions〕。

定理1：

h（x）是x的〔离散型〕概率质量函数，x=０，１，２……，Ｈ（x）定义为，当n≥１时

这里jl是非负整数，

证明：

运用离散拉普拉斯算子L[u]=

，得

*是离散型有限积分，由〔10〕定义的

是

中sj的系数。

定义

为指示函数〔indicatorfunction〕，即x=0时，

=1，x≠0时，

=0。

将

代入〔11〕中，得

定理2：

如果g（t）是t≥0时的〔连续型〕概率密度函数，

，那么

时Gn（t）可大概定义为

L是将

的时间等分成的数量，

jl是非负整数，

证明：

我们通过拉格朗日插值多项式〔Lagrangeinterpolatingpolynomial〕pl（t）在点〔ti,g（ti）〕处接近g（t），

。

〔5〕中的Gn〔t〕重新定义为

将拉普拉斯算子L[u]=

代入到〔15〕中，得

其中bn（k）由〔14〕定义，它是1/sj在

中的系数。

将

代入〔16〕，得到〔13〕。

最后，联合D（t）和LT，得到LTD。

设L（d）是LTD的累积分布函数，LT服从k（.）的概率密度函数，均值为μLT，方差σ2LT,那么d≥0时

2.2OS-OI-LT法

OS-OI-LT法结合OS和OI，通过隐式处理DPUT的复合性质，减少了决定LTD的分析任务。

假定OI服从概率质量函数p（.），均值μOI，方差σ2OI,那么每单位时间的需求可定义为

其联合概率分布〔associatedprobabilitydistribution〕为

为得出LTD，OS-OI-LT法将DPUT和LT联合起来。

然而，〔19〕式没有包括时间参数。

因此，在OS-OI-LT法中，在0到t时间的总需求D〔t〕由一段时间的DPUT得到。

换句话说，因为DPUT是单位时间的需求，OS-OI-LT法假定D〔t〕是由和DPUT成比例的时间得到。

那么d³0,t>0时

与〔7〕式相比，〔20〕说明了OS-OI-LT法通过忽略DPUT的复合性质而减少任务量。

最后，得到的LTD与〔17〕式类似。

2.3对OS-IT-LT法的理论检验

Bagchi等人认为，为得到解答，忽略OS-OI-LT法中的中间分量的复合性质可能需要支付代价。

然而，如果这个代价不可接受，我们认为最好还是考虑其他方法。

通过比拟这两种方法，我们检验需求过程的特性，并指出在何种情况下，适合用OS-OI-LT法。

在OS-IT-LT法中，由于〔1〕中的OSi和N〔t〕是随机变量，所以D（t）也是随机变量。

D（t）的均值和方差为

同样，〔18〕式中，DPUT也是随机变量，均值和方差为

由于OS-OI-LT法假定D〔t〕是由和DPUT成比例的时间得到，OS-OI-LT法中D（t）的均值和方差为

我们运用方差和均值的比值〔variance-to-meanratio〕（VMR）来测量需求变化。

虽然VMR〔也称离差指数〕与经常使用的变动系数相比少为人知，但它更易区别离散分布。

根据〔23〕式，OS-OI-LT法基于假定累积需求的VMR是不变的。

换句话说，累积需求的均值和方差随着时间以相同比率增加。

当〔21〕中的更新过程

是泊松过程时，这个假定是有道理的，换句话说，只有当IT服从指数分布时，OS-OI-LT法和OS-IT-LT法才是相容的。

但是，根据N（t）的渐近性态〔asymptoticbehaviors〕，

N（t）的均值和方差的估计值分别是t/μIT和

，这就意味着在时间足够长的情况下，无论IT服从什么分布，两种方法得到的D〔t〕类似。

基于以上理论检验，我们可以推断，OS-OI-LT法适合需求过程是复合泊淞过程的情况。

我们还可以推断，即使是其他情况，当IT的均值μIT大到允许使用渐近线时，也可以用OS-OI-LT法。

下一节我们通过不同情形下的比照实验来检验这个推测。

为检验两种方法，我们进行了多种情况下的比照试验，见表1。

设IT的分布为均匀分布和指数分布，OS的分布为均匀分布、二项式分布和泊松分布。

为了确定LT的影响，我们考虑μLT=3.0，μLT=5.0〔≦μIT〕和μIT=10.0，μIT=20.0〔≧μIT〕以及LT服从指数分布的情形。

图3表示了表1中的不同情形下D〔t〕的VMR，可以看到，随着时间的变化，所有情形下的D〔t〕的VMR都接近一个固定值。

因此，我们可以推测，如果考虑的时间足够长，那么两种方法得出的LTD相似。

LTD的累积分布函数L（d）可用OS-IT-LT法有〔17〕式得到。

然而，为了用OS-OI-LT法得到L（d）〔来自〔20〕式中的D〔t〕〕,我们需要有关OI和p（n）（它们都很难进行分析）的信息。

由于我们的单独实验结果说明，给定时间时，D〔t〕向右倾斜，数据点也进一步证实，因此我们用伽玛分布作为D〔t〕的渐进逼近。

又由于OS-OI-LT法基于假设累积需求的VMR是固定不变的，所以这里的伽玛分布有一个依赖于时间t的参数α。

图〔4〕表示的是在表1中的情形1下，两种方法得出的L〔d〕的比照。

第一个比照的是IT～U〔1.0，9.0〕，OS～U〔15，25〕，LT～E〔3.0〕或E〔10.0〕的情况，第二个比照的是IT～U〔6.0，14.0〕，OS～U〔15，25〕，LT～E〔5.0〕或E〔20.0〕的情况。

这是只解释一种比照实验的结果，另一种可按同样方式进行推导。

在图4中的第一个比照中，μLT=3.0〔即μLT<μIT〕时的近似均值为12〔=

〕，μLT=10.0（μLT>μIT）是的近似均值为4.0。

如果对两种方法的近似均值进行比照，可以看到近似均值为40的〔μLT>μIT〕的结果比12〔μLT<μIT〕更好。

我们可以推断，当μLT>μIT时，结果将更好。

图5-7表示了表1中的其他情形的比照结果。

可以看到，它们的结果与图4相似。

图3

图4

图5

图6

图7

求LTD分析的过程涉及需求和LT，它引出了复合分布，这使其分析任务变得困难。

为减少任务量，人们通过忽略一些分量的复合性质来进行研究，是这种研究最成功的一点。

本文从理论上研究了最常用的方法——Bagchi等人提出的OS-OI-LT法，并说明了OS-OI-LT法的假设。

比照OS-OI-LT法和OS-IT-LT法，可以得出:

〔1〕OS-OI-LT法适用于需求过程是复合泊松过程的情形；〔2〕即使是其他情形，当LT的均值大到允许使用渐近线时，OS-OI-LT法也是可接受的。

然而，比照实验说明，假设LT不够长，OS-OI-LT法就会有问题。

尝试在实践中使用OS-OI-LT法时，研究人员和实践者应该注意这种情形，而未来的研究也需就这个问题进行。

题目：

基于随机库存系统的提前期需求分布推导

作者:

ChangkyuPark

页码：

263-272