克罗内克与康托尔数学的欺骗.docx
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克罗内克与康托尔数学的欺骗
克罗内克与康托尔--数学的欺骗
欧几里得几何的核心部分用了很多著名的定义、公理和符号。
这个自成体系的数学分支用它的精确和有序启发了一代又一代的数学家。
欧几里得广为人知的一个“普遍观念”是：
整体大于部分。
这个观念历经2000多年都没有受到质疑。
后来，在19世纪70年代早期，一个不知名的数学家开始宣称：
对数和数论来说，整体不一定大于它的一部分。
这似乎是一个离经叛道的主张，如果它不是由天才而执著的德国年轻人格奥尔格·康托尔提出来，会很容易被人忽略。
但它只是康托尔众多震动数学界的断言之一，另一个与这个神秘观念有关的是无穷。
对这个神秘的观念，长期以来，数学家和哲学家们一直关注着，缓慢地取得了一些进展，但始终没有深入。
一些人，比如伽利略，主张“从根本上来说，无穷是我们无法理解的”。
卡尔·弗里德里希·高斯（KarlFriederichGauss）写信给另一位数学家说：
“我反对把无穷量当作实体来用，数学中从来不允许这样做。
无穷仅仅是一个说法而已。
”康托尔不仅主张一个实在、具体的无穷概念，还坚持认为有很多种不同规格的无穷，他甚至找到了一种在数学上处理这个观念的方法。
康托尔的工作有多重要？
他创造了集合论，这成为拓扑学、分形论和其他很多现代科学的基础。
康托尔在集合上的成就所推动数学的进步帮助微积分打下了坚实的基础。
将集合论和无穷这两个观念结合起来，他提出了无穷集。
这个观念让其他人激动，为很多人开拓了新研究领域，也让他自己陷入了悲喜交加的境地。
康托尔的新数论将影响他那个时代整整一代人，并对他们的数学观念形成挑战。
它引发了一场动摇数学根基的批判性的数学内审。
另外，它的蕴意和矛盾还会继续影响接下来的几代数学家，直到现在。
后来，杰出的德国数学家戴维·希尔伯特形容康托尔的工作为“数学思想中最惊人的成果，纯智力领域中人类活动最完美的实现”。
提出一项新成果，从而面临反对，这并非不寻常的事。
但康托尔的遭遇似乎特别严重和不幸。
约瑟夫·W·道本可能是美国最重要的康托尔研究者，他把康托尔的遭遇与布鲁诺被宗教裁判所施以火刑进行对比。
他写道：
“现在的数学家没有谁敢尝试从一个封闭的数学世界闯入一个奇异的、复杂的、无限的数学世界。
有一个人曾经被烧死在火刑柱上，格奥尔格·康托尔的遭遇没有那么激烈，但他遭受了很多同时代人的审查和抵制。
”
这些反对者中，最重要的是利奥波德·克罗内克。
他是一位地位颇高、有着极大影响力的数学家。
克罗内克曾经是康托尔的老师之一，实际上，在早些时候，他还支持过康托尔的工作，甚至给康托尔的早期论文提过一些建设性的批评。
但当康托尔的研究脱离正统时，克罗内克越来越反对康托尔本人和他的研究工作。
道本说：
在他们的冲突达到顶点时，“克罗内克认为康托尔是一个科学骗子、叛徒、‘败坏青年者’。
”
克罗内克
利奥波德·克罗内克1823年生于一个富有的德国犹太家庭，受过良好的早期教育。
条件优越的他，只要想学数学，就可以一直学下去。
在家乡李格尼茨（Liegnitz，现在是波兰的莱格尼察，Legnica）的学校，他跟恩斯特·爱德华·库墨尔（ErnstEduardKummer）学数学，后者后来在算法和几何方面取得了很高成就，并一直是克罗内克的密友。
1841年，克罗内克进入当时的世界数学中心柏林大学，跟随当时最优秀的几位数学家学习。
他们是：
P·G·勒尤恩·狄利赫莱（P.G.LejeuneDirichlet）、卡尔·古斯塔夫·雅可比（CarlGustavJacobi）和费迪南德·哥特霍尔德·艾森斯坦（FerdinandGottholdEisenstein）。
1845年，他获得博士学位。
但这时他从数学领域转到了陷入困境的家族商业中，长达10年。
这段时间里，他结婚生子，但始终没有间断数学研究工作，虽然仅仅是作为业余爱好。
1855年，他和他的家庭搬到柏林，他才由此开始了职业数学生涯，接下来，他的事业发展很快。
这个时候，德国数学发生了很重要的变化。
狄利赫莱在哥廷根大学的请求下，离开了柏林大学，库默尔填补了留下的空缺。
在库默尔的推荐下，卡尔·特奥多尔·魏尔斯特拉斯（KarlTheodorWeierstrass）也进入柏林大学任教。
魏尔斯特拉斯是一位成功的中学教师，刚刚在方程的幂级数表示法上发表了一篇广受好评的论文。
虽然克罗内克还没有成为柏林大学的教员，但他写出了一些水平很高的论文，渐长的声誉使他成为位于柏林的皇家科学院的成员，这使他有了在大学讲课的资格。
1866年，哥廷根大学向克罗内克提供了一个很好的职位。
但他留恋柏林的幸福生活，拒绝了这个邀请。
然而到1883年库默尔退休时，他还是成为了柏林大学的一名教授。
不过，从19世纪60年代起，这三位数学家——库默尔，魏尔斯特拉斯和克罗内克——成为支配德国数学界的三巨头，时间超过25年。
在柏林科学界，克罗内克尤其活跃。
在招募很多国内国外最重要的数学家方面，他扮演了极其重要的角色。
这些数学家中，有西尔维斯特和理查德·戴德金（RichardDedekind）。
对于后者，我们将在以后详细讨论。
克罗内克还是几个其他学会的成员。
当国内和国外有空缺的数学职位时，有关人员经常会征求他的意见。
1880年，他成为奥古斯特·利奥波德·克列尔（AugustLeopoldCrelle）出版的《纯粹与应用数学杂志》（JournalforPureandAppliedMathematics）的编辑。
这本杂志通常简称为《克列尔杂志》（Crelle'sJournal），它可能是当时最受尊敬的数学杂志。
克罗内克的成就主要在于他在整合算术、代数和分析学上的努力，以及他在椭圆方程上的贡献。
他在代数和数论方面做出了很多改进，也提出了很多新观念和新定理，例如他在无穷级数收敛上的定理。
有趣的是，克罗内克有点特立独行。
比如，他相信所有的算术可以建立在整数的基础上。
因此，他认为在算术中，分数仅仅是派生出来的，只有充当符号的用途。
除了几何和机械之外，他对所有的数学学科进行了分类，但他把代数和分析归入算术一类。
因为他相信所有的算术都可以建立在整数的基础上，他认为不仅是分数，无理数和复数也都是错误和虚幻的观念，它们是运用一些错误的数学逻辑得出来的。
于是，当费迪南德·林德曼（FerdinandLindemann）写了一篇论文，里面有证明超越数存在的内容时，克罗内克会评论说：
“你对数π的漂亮研究有什么用？
无论如何无理数根本就不存在，为什么要在这样的问题上费脑子？
”他相信最终会找到一个办法重组这些“不自然”的形式，得到一个只包含自然数的更基本的形式。
他说过一句漂亮的俏皮话：
“上帝创造了整数，所有其他的数都是人造的。
”
克罗内克和康托尔发生冲突，有什么好奇怪的呢？
但克罗内克研究数学的方法也让他和其他一些同行发生了争执。
虽然克罗内克谨慎地不与他视为对手的同行发生激烈争执，也不发表恶毒的评论，但他还是没有做到，照样用下流、伤人的方式行事，在背后诋毁他们。
他中伤的这些人中间，就有他昔日的好友魏尔斯特拉斯。
两人生命的最后几年，他们一直都在为他们的数学观点争执。
魏尔斯特拉斯作为一个杰出教师的巨大成功，也很让克罗内克恼火和沮丧。
从一封1885年魏尔斯特拉斯给他的同行索尼娅·柯瓦列夫斯基（SonyaKowalevsky）的信中，我们可以了解克罗内克的所作所为。
他写道：
但最糟的是，克罗内克利用他的权威宣称，迄今为止，所有致力于建立方程理论的人在主面前都是罪人。
当一个像克里斯托费尔（ElwinB.Christoffel）这样极其古怪的人说二三十年后现有的方程理论将全都过时时……我以耸肩作答。
但［接着］克罗内克下了这样一个定论——我一字不漏地重复他的话：
“如果时间和精力允许，我将展示……更严格的方法。
如果我不能亲自做到，接替我的人会……，它们会认同所有当今那些所谓的分析工作的错误。
”一个有着卓越才能和杰出成就的人下出这样一个论断……我由衷地钦佩……像他所有的同事一样。
这不仅对那些诚恳承认犯错的人是一种耻辱……也直接诱导年轻一代抛弃他们的前辈并凑集在他的周围……看到一个曾经无瑕的人，在自我膨胀驱使下，说出这些影响恶劣的话——而这种影响他似乎觉察不到，这种事确实让人伤心，让我内心充满了苦涩与悲痛。
克罗内克身材矮小，而魏尔斯特拉斯身材高大。
数学史家阿米尔·D·阿克泽尔（AmirD.Aczel）这样形容他所说的“这些冲突的滑稽特性”：
“这个小个子男人经常攻击这个大个子，就像一只小狗在追一只圣伯纳狗。
”为了躲避和克罗内克的争执，魏尔斯特拉斯甚至想逃到瑞士去。
但他又担心克罗内克极有可能会成为他的继任者，那样人们为了迎合克罗内克，他（魏尔斯特拉斯）的工作就没有人接着做了。
他坚持留了下来。
到1888年，魏尔斯特拉斯让他的几个朋友知道，他和克罗内克的友谊结束了。
但是很显然，克罗内克从来没有意识到自己的言行对魏尔斯特拉斯的伤害有多深。
后来在好几个场合中，他都称魏尔斯特拉斯是他的朋友之一。
克罗内克还和他长期的朋友兼同事赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（HermannAmandusSchwarz）发生了一场有趣的争执。
施瓦茨是库默尔的女婿，曾经是魏尔斯特拉斯的学生。
记住，魏尔斯特拉斯是一个大个子；而克罗内克不仅很矮，而且对此很忌讳。
1885年，施瓦茨问候他，说了这样的话：
“不尊敬矮子的人，不配称作才俊。
”施瓦茨显然认为他在聪明且幽默地对克罗内克致以敬意。
克罗内克却不认为这是一个玩笑，但是之后他没有发出任何尖锐的书面回应，连口头的都没有。
他只是再也不跟施瓦茨打交道了。
因此，康托尔不是唯一一个和克罗内克闹翻的人。
当我们了解一下克罗内克具有的因素——他在数字和无穷上的固执观念；他在学术和出版界的声誉和强大地位；他向人施加影响和权威的能力时，我们会明白为什么康托尔会成为他最大的靶子。
这里还有另外一个争议：
他这样对待康托尔，他的对手们怎么看。
施瓦茨，魏尔斯特拉斯，还有其他一些人，都对这事不高兴，但他们也不加干涉。
正如我们在后面要看到的，康托尔在和克罗内克的相处过程中，麻烦不断，差不多一生都摆脱不掉。
康托尔和他的奇怪想法
半个世纪前，我们可能会读到这两个人反目成仇的另一个有趣原因。
埃里克·坦普尔·贝尔是20世纪早期的一位康托尔和克罗内克传记作者。
他妙笔生花，想象丰富，是一位很有影响的数学史家。
1937年，他这样写他们（康托尔和克罗内克）的争端：
“一个犹太人和另一个犹太人，他们为了纯科学问题发生争议，或者仅仅是其中一位对另一位出于忌妒或担忧。
学术上所生的怨恨，没有比他们这个时候所表现出来的更恶毒了。
”
贝尔的这段陈述中有些内容有误。
康托尔不是犹太人，尽管这是个犹太发音的名字，他也确实选了希伯来语第一个字母做他的符号。
实际上，贝尔在这篇文章的其他地方写道：
“他的家人是基督徒，父亲已皈依新教，母亲生来就是罗马天主教徒。
”
因为血缘背景的原因，康托尔也许在某个地方有犹太人的因素。
但他生在一个虔诚的基督教家庭，他后来也深深地被罗马天主教教义所吸引，并陷入其中。
他甚至认为集合论是神揭示给他的。
正如他在1896年所写的：
“从我开始，真正的无穷理论将第一次提供给基督教哲学。
”
康托尔和克罗内克另一个不同在于他们的文化背景。
克罗内克的父亲是一位商人。
康托尔的父亲也经商，但一家人深深沉浸在艺术之中。
小时候，康托尔就在音乐和绘画上展现出了天才。
不过，他直到10多岁才显露出对数学的能力和兴趣。
虽然他的父亲希望他学工程，但他抵制了父亲的反对，坚持了自己的选择。
康托尔1845年生于圣彼得堡，并在那里上了小学。
但在格奥尔格11岁时，他父亲健康不佳，他们搬到德国，因为那里气候温暖。
看起来，格奥尔格在德国从来没有真正感到过舒适，他常常深情地回忆着早年在俄国的生活。
1863年18岁时，他进入柏林大学，开始跟随魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克潜心学习。
他还积极参与柏林数学学会的活动，在1864年到1865年，他担任了该学会的主席。
1866年在哥廷根大学学了一学期之后，1867年他在柏林大学完成了博士论文。
论文的名字是《关于不定二次方程》（OnIndeterminateSecond-DegreeEquations）。
为了准备口头答辩，他还钻研“在数学里，提出问题的艺术比解决问题更重要”的课题。
卡尔·弗里德里希·高斯在1801年他的《算术研究》（DisquisitionesArithmeticae）中没有解决的一个数论问题，被他拿来作为例子。
这是康托尔问问题方式特殊的一个早期迹象，后来这开创了全新的数学探究领域。
1867年，在获得博士学位后，他在柏林的一个女子学校教了一段时间的书，不久，就成为哈勒大学（theUniversityofHalle）的教师。
他余下的职业生涯都是在那里度过的：
开始是讲师（只有讲课费）；然后，在1872年成为一名助理教授；终于，在1879年成为一名正教授。
这是一个让他犯难的境地。
他感觉他是被放逐到一个根本就是二流的学校，对他整个的研究生命来说，与其他高水平同行的联系被切断了，很难从他们那里得到启发。
在他研究生涯的后期，康托尔指责克罗内克通过这种方式排挤他。
然而在他整个数学生涯中，他都尽力和那些高水平的同行保持联系，比如卡尔·魏尔斯特拉斯、赫尔曼·A·舒瓦茨、理查德·戴德金、哥斯塔·米塔格-列夫勒（GostaMittag-Leffler）和费里克斯·克莱因（FelixKlein）。
康托尔总认为，在哈勒大学任教，就好比（美国数学家）在马萨诸塞大学阿默斯特校区（UMassAmherst）任教，哈佛或麻省理工才是理想之地。
实际上，阿默斯特不是二流学校，在那里也不会切断与学术界其他同行的联系，当然它确实不是哈佛。
换句话说，尽管康托尔对没在柏林大学或哥廷根大学任教心存怨恨，但事实上，哈勒大学也不像他认为的那样糟糕。
最后，正如我们将要看到的，他情绪容易剧烈波动，这会增强他的不快。
从积极的方面来看，无论如何康托尔取得了极大的成功。
他开始撰写数学论文。
起初是数论方面的，反映了高斯对他的影响和他对高斯的兴趣。
有趣的是，也反映了克罗内克对他的影响和他对克罗内克的兴趣。
接着，哈勒大学的一位前辈爱德华·海涅（EduardHeine）认识到康托尔的过人之处。
海涅曾经努力钻研过一个有趣的问题，并就此写过一篇论文。
这个问题是这样的：
如果某个方程能用三角级数表示，那么该级数是否唯一？
在海涅的建议下，康托尔钻研了这个问题，并对这个级数的唯一性提出了重要的证明。
这不是一个简单的问题，需要好几个步骤才能完成，每一步他都发表了一篇论文，展示他的唯一性定理使用的范围。
他早期大部分的论文都发表在瑞典的《数学学报》（ActaMathematica）上。
这份受人尊敬的杂志是瑞典人哥斯塔·米塔格-列夫勒创办并编辑的。
他是最早认识到康托尔天才的数学家之一。
在写这些论文的早些时候，克罗内克给康托尔提过一个被证明是很有用的建议。
很显然，在这个时候两人依然相处得很好。
康托尔继续追究下去。
他开始思考数（或点）集的问题，包括无理数，这跟三角表示不矛盾。
在1872年的一篇论文中，他按照有理数的收敛序列详细说明了无理数。
他正在进入一个让克罗内克感觉不舒服的领域。
康托尔对三角级数唯一性的证明也牵涉到实线上点集的性质，于是他开始探寻点集的复杂性和它们与其他数集之间的关系，并将它们扩展开来。
无穷集合论
自从古希腊以来，哲学家、神学家和数学家就已经开始努力摸索无穷这个观念和它的诸多寓意。
例如，伽利略在他经典的《关于两门新科学的对话》（DialoguesConcerningTwoNewSciences）中认为，很有必要指出平方数和自然数一样多，如他所说：
因为“每一个平方数都有它的根，每一个根都有他的平方数，但没有哪一个平方数不止一个根，也没有哪个根不止一个平方数。
”
换句话说，如果我们考虑到正整数这个类别或集合，我们得到一个很大、没有边界的数集——（就它本身来说）一个超越人们理解的数集。
然而，知觉上它应该存在。
那么，考虑到伽利略的说法，我们也得到一个平方数的集合，其中每一个数都是一个正整数的平方。
伽利略说，有多少个自然数就有多少个平方数。
但伽利略也知道有些整数不是平方数，比如2、3、5、7等等。
平方数怎么就比自然数少了呢？
伽利略把这仅仅看成是一个难解之谜、一个矛盾，就把它扔在一边，谈别的事去了。
康托尔继续钻研这个问题。
他从理查德·戴德金提出的一个观点出发，后者是他早期的崇拜者之一。
1872年，戴德金定义：
如果一个集合包含一个与它的元素一一对应的元素所组成的子集，那么这个集合是无穷的。
例如，如果我们列出所有的自然数，即：
1，2，3，…，n，…，我们可以很容易把它们直接一一对应的平方数1，4，9，…，n2，…，得到的集合放进这个自然数集合里。
康托尔从这里突飞猛进了。
他说：
这个全集（1，2，3，…，n，…）和子集（1，4，9，…，n2，…）都是“可数的无穷”，或者说是“可数的”。
他说，这种“可数的无穷”集有相同的“势”。
为了表示这个势的级别，他用了希伯来字母表的第一个字母阿列夫（aleph）和下标0，将这个术语读作阿列夫零（
）。
换句话说，自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应（同势）的子集。
因此整个集合与它的部分相等。
当然，这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
现在康托尔脑子转得飞快，他开始创造出一种新的数学。
例如，他向我们展示，如果我们把所有整数（阿列夫零）和所有整数的平方数（也是阿列夫零）加起来，结果仍然是阿列夫零！
而且，同样有
依此类推。
对于一些人来说，也许这看起来仅仅是一个游戏。
康托尔则认为这意味着需要一门新的数学，而这也是这门数学的开端。
他选择阿列夫符号是既聪明又恰当的做法。
他主要是这样认为的：
古希腊和罗马字母已经在数学和科学中被广泛运用，而他的数学值得用一个独特的符号。
但直到19世纪90年代，他认识到需要用一个标准化符号，才正式引入它。
在这之前，他试着用了不同的符号。
我们在这里用阿列夫简化了说明步骤。
集合论诞生了
19世纪70年代和80年代是集合论发展的时期。
1872年，戴德金已经在一一对应的无穷集和子集上做了一些工作。
康托尔继续钻研下一个逻辑问题：
有不可数的无穷吗？
就是说，有规模不一样的无穷吗？
他通过再次审视数的集合来开展这项研究。
他清楚有理数集可以一一对应于自然数集，代数数集也可以这样。
这样能得出实数集吗？
他花了些功夫，但在1873年年底，他写信给戴德金说，他已经成功地证明了实数集不能与自然数集一一对应。
它是“不可数的无穷”。
康托尔给这种集合取名“连续统”，用符号c表示。
这一刻，集合论诞生了，不同规模集合的观念形成了！
通过这个证明，他展示了实数的次序比自然数高。
他明白他必须发表这个结论。
他也明白很多数学家都对他的成果持有很大保留意见。
在这篇论文中，他将既解决无理数问题，又解决无穷的规模问题。
他希望论文发表在《克列尔杂志》上。
不幸的是，克罗内克作为那儿的编辑，有权拒绝任何论文。
克罗内克也已经流露过对康托尔研究方向的不满。
更何况，克罗内克的观点，包括他对无理数的认识，在数学界广为人知。
如果其他数学家看到一篇清楚陈述康托尔新成果的论文，仅仅是为了讨好克罗内克，他们也会坚决表示反对意见的。
康托尔决定耍个心眼。
他认为，业内的很多人，包括克罗内克，很可能是仅仅扫一下这篇论文的题目，看是否有什么值得反对的东西在里面。
他给他的论文取名为《关于所有实代数数集合的性质》（OnaProperyoftheCollectionofAllRealAlgebraicNumbers）。
因此，从这个题目来看，它仅仅像是对约瑟夫·刘维尔（JosephLiouville）一个早期定理的证明。
这个定理说的是：
非代数实数确实存在。
表面上看来，他似乎只是写代数数方面的问题。
这个策略成功了。
1874年，这篇论文蒙混过关，发表在《克列尔杂志》上了。
集合论崭露头角——但它不得不藏在一篇看起来说的是别的主题的论文里。
但是，现在麻烦要来了。
从这时开始，康托尔清楚，克罗内克会更加提防他的。
冲突开始了
事情平静了一段时间，康托尔继续准备迎接下一个挑战。
1877年，他发现甚至他自己也忽略了无穷的一个性质。
在1874年给戴德金的一封信中，他提出了下面的问题：
一个平面（比如一个包含边界的正方形）能和一条线（比如一条包含两个端点的直线段）一一对应吗？
这样，对于平面上的每个点，在线上都有一个对应点；反过来，对于线上的每个点，平面上都有一个点与之对应。
我认为解答这个问题不是一件容易的事，尽管事实上看起来，答案似乎很明显是“不能”，证明它显得几乎没有必要。
这个故事第一个值得注意的地方是：
康托尔应该提出了这样一个问题。
第二个值得注意的地方是：
3年后他再次写信给戴德金说，他已经阐释了这个问题的答案，是“能”。
概括一下，他说n维连续空间可以与一条线上的点集一一对应（具有相同的势）。
他写下“我看出了这一点，但我不敢相信。
”他的证明有点笨拙，但非常正确。
戴德金对康托尔的新发现表示祝贺，但提醒他将其发表会很难。
他说对了。
1877年7月12日，康托尔将阐释这个发现的论文送给《克列尔杂志》。
尽管这些发现——所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷——颇有争议，但杂志的编辑答应发表它，魏尔斯特拉斯也承诺在论文面世后宣传它。
然而随着时间的流逝，很显然杂志社方面没有采取任何行动去促成论文的发表。
康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼，阻挠论文的刊载。
他越来越不安，写信给戴德金说他考虑收回这篇论文，尽力在别的地方发表它——尽管《克列尔杂志》以前发表过他的成果。
戴德金说服他再等一段时间看，或许他对杂志施加了某些影响。
无论如何，这篇有时被称作康托尔的《稿子》（Beitrag）的重要论文，最后确实在第二年进入了公众的视野。
尽管杂志发表了他的论文，但时间拖得这么长，克罗内克竟能施展阴谋到如此程度，康托尔还是感到很不安。
克罗内克的阻挠行为背后有部分动力纯粹是出于数学目的，他只是实实在在地不同意康托尔的数学观点，理解这一点很重要。
克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念，不应该允许他发表这些没有结果的想法。
克罗内克不是第一次这样做，他曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。
况且，康托尔的证明建立在无理数和实数一一对应的关系上，而对于克罗内克来说，无理数纯粹就不存在。
可是康托尔的论文最后确实发表了，而且发表在《克列尔杂志》上，这使他成为备受尊敬的人。
尽管每个人都很不赞成他的理论，但很明显他正在成为一名革命性的思想者。
如果他的感觉和信念是对的，那么他正在创立一门全新的数学，显而易见他是这门新数学的大师。
他开始越来越感觉到孤独，对推动世界的无能为力也让他越来越不开心。
他无比渴望能成为德国一个重要大学——或者是哥廷根大学，或者最好是柏林大学——的教师。
他还认为对比诸如施瓦茨、L·富克斯（L.Fuchs），特别是克罗内克这些名师，他的工资低得太多。
实际上，他曾经申请过柏林大学的教职，但魏尔斯特拉斯告诉他：
他的申请被拒绝和克罗内克的高薪有关。
康托尔对此很是不快，但他怀疑此事另有蹊跷。
他是对的。
看到自己实在不能阻挠康托尔发表论文，克罗内克煞费苦心地抨击康托尔和他的成果。
其中一个手段是提出——尽管这些主张从来没有见诸报刊——不仅康托尔的成果是个骗局，他本人也是一个冒充内行的“牛皮匠”和一个带坏青年的“教唆者”，他在诱惑这帮年轻人进入一个“数学疯狂的危险世界”。
无论如何，在这场微妙的战争中，克罗内克的权威使他取的绰号成为打击康托尔的有力的武器。
照著名的数学史家莫里斯·克莱因的说法，克罗内克的抨击的的确确让数学家们怀疑康托尔的成果，康托尔没有被邀请去一个更有名望的大学任教，这很可能是个原因。
康托尔全部的研究生涯都在哈勒大学度过。
然而需要指出的是，哈勒校方对待康托尔很慷慨，在他需要的时候，他们就可以暂时不安排他上课。
像克罗内克一样，康托尔认为他们的冲突在某种程度上是一场关于谁的数学观点正确的战斗。
即使在这个表面看来不涉情感的角斗场，他也相信最终的结果并不取决于对真理的纯粹求索。
他把它
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